Ejercicios: Formas cuadráticas

2. Colocamos los coeficientes de los cuadrados. Los términos $x^2$ e $y^2$ van directo a la diagonal: $3$ y $5$.

3. Repartimos el término cruzado. El coeficiente de $xy$ se divide entre las dos posiciones fuera de la diagonal: $\dfrac{3}{2}$ en cada una.

4. Armamos la matriz. $A = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 5\end{bmatrix}$

5. Controlamos. Repartir el término cruzado por mitades es lo que hace que la matriz quede simétrica, y esa simetría es la que garantiza que se pueda diagonalizar.

Respuesta: $A = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 5\end{bmatrix}$

2. Miramos los signos. Los dos son positivos.

3. Aplicamos el criterio. Si todos los autovalores son positivos, la forma es definida positiva: vale más que cero para todo vector no nulo.

4. Concluimos. La forma es definida positiva.

5. Interpretamos. Geométricamente, sus curvas de nivel son elipses, y el origen es un mínimo.

Respuesta: es definida positiva

2. Miramos los signos. Uno es positivo y el otro negativo.

3. Aplicamos el criterio. Cuando hay autovalores de los dos signos, la forma es indefinida: toma valores positivos y negativos según la dirección.

4. Verificamos con ejemplos. En $(1; 0)$ vale $1$, positivo. En $(0; 1)$ vale $-4$, negativo.

5. Interpretamos. Sus curvas de nivel son hipérbolas, y el origen es un punto de silla: ni máximo ni mínimo.

Respuesta: es indefinida

2. Verificamos con la traza. La traza es $-7$, negativa, lo que es coherente con dos autovalores negativos.

3. Verificamos con el determinante. El determinante es $10$, positivo: el producto de dos negativos.

4. Aplicamos el criterio. Todos los autovalores negativos significa que la forma es definida negativa.

5. Interpretamos. La forma vale menos que cero para todo vector no nulo, y el origen es un máximo.

Respuesta: es definida negativa

2. Colocamos los coeficientes de los cuadrados. Los términos $x^2$ e $y^2$ van directo a la diagonal: $3$ y $3$.

3. Repartimos el término cruzado. El coeficiente de $xy$ se divide entre las dos posiciones fuera de la diagonal: $\dfrac{3}{2}$ en cada una.

4. Armamos la matriz. $A = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 3\end{bmatrix}$

5. Controlamos. Repartir el término cruzado por mitades es lo que hace que la matriz quede simétrica, y esa simetría es la que garantiza que se pueda diagonalizar.

Respuesta: $A = \begin{bmatrix}3 & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 3\end{bmatrix}$

2. Miramos los signos. Los dos son positivos.

3. Aplicamos el criterio. Todos los autovalores positivos significa forma definida positiva.

4. Escribimos la forma explícita. $q(x; y) = 5x^2 + y^2$, que es suma de cuadrados con coeficientes positivos: se ve directamente que nunca es negativa.

5. Verificamos el caso del nulo. $q$ vale cero solo en $(0; 0)$, que es lo que exige la definición de definida positiva.

6. Interpretamos. Las curvas de nivel son elipses más alargadas que en el caso anterior, porque los coeficientes son más distintos entre sí. La clasificación no cambia: lo que importa son los signos, no los tamaños.

Respuesta: es definida positiva

2. Hallamos los autovalores. $p(\lambda) = \lambda^2 - 1$, con raíces $1$ y $-1$.

3. Miramos los signos. Uno positivo y uno negativo.

4. Aplicamos el criterio. Con autovalores de los dos signos la forma es indefinida.

5. Verificamos con ejemplos. $q(1; 1) = 2$, positivo, y $q(1; -1) = -2$, negativo.

6. Observamos. Acá la diagonal de la matriz es toda cero, y aun así la forma no es nula: todo el peso lo lleva el término cruzado. Mirar solo la diagonal para clasificar es un error frecuente.

Respuesta: es indefinida

2. Calculamos la traza. $-1 + (-6) = -7$, negativa.

3. Aplicamos el criterio de $2 \times 2$. Determinante positivo significa que los dos autovalores tienen el mismo signo, y la traza negativa dice cuál es ese signo: los dos negativos.

4. Confirmamos con los autovalores. La matriz es diagonal, así que son $-1$ y $-6$: efectivamente los dos negativos.

5. Concluimos. La forma es definida negativa.

6. Damos el atajo. Para $2 \times 2$ alcanza con estos dos números: determinante positivo y traza positiva da definida positiva; determinante positivo y traza negativa, definida negativa; determinante negativo, indefinida.

Respuesta: es definida negativa

2. Colocamos los coeficientes de los cuadrados. Los términos $x^2$ e $y^2$ van directo a la diagonal: $2$ y $3$.

3. Repartimos el término cruzado. El coeficiente de $xy$ se divide entre las dos posiciones fuera de la diagonal: $- \dfrac{1}{2}$ en cada una.

4. Armamos la matriz. $A = \begin{bmatrix}2 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 3\end{bmatrix}$

5. Controlamos. Repartir el término cruzado por mitades es lo que hace que la matriz quede simétrica, y esa simetría es la que garantiza que se pueda diagonalizar.

Respuesta: $A = \begin{bmatrix}2 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 3\end{bmatrix}$

2. Miramos los signos. Uno es positivo y el otro es cero. No hay ninguno negativo.

3. Aplicamos el criterio. Cuando no hay autovalores negativos pero sí alguno nulo, la forma es semidefinida positiva: nunca es negativa, pero puede valer cero fuera del origen.

4. Escribimos la forma explícita. $q(x; y) = 4x^2$, que efectivamente nunca es negativa.

5. Exhibimos el caso de valor nulo. $q(0; 1) = 0$ con $(0; 1) \neq (0; 0)$: por eso no es definida positiva.

6. Interpretamos. Las curvas de nivel son pares de rectas verticales en vez de elipses. El autovalor cero indica una dirección donde la forma no crece nada.

Respuesta: es semidefinida positiva: nunca es negativa, pero se anula fuera del origen

2. Hallamos los autovalores. $p(\lambda) = (3-\lambda)^2 - 16$, con raíces $\lambda_1 = 7$ y $\lambda_2 = -1$.

3. Miramos los signos. Uno positivo y uno negativo.

4. Aplicamos el criterio. La forma es indefinida.

5. Verificamos con ejemplos. $q(1; 1) = 3 + 8 + 3 = 14$, positivo. $q(1; -1) = 3 - 8 + 3 = -2$, negativo.

6. Señalamos el error típico. Los dos coeficientes de la diagonal son positivos, así que a primera vista podría parecer definida positiva. El término cruzado, que es grande, la vuelve indefinida. Por eso hay que mirar los autovalores y no los coeficientes.

Respuesta: es indefinida: los autovalores son $7$ y $-1$

2. Aplicamos el criterio. Determinante negativo en una simétrica de $2 \times 2$ significa que los autovalores tienen signos opuestos, porque su producto es el determinante.

3. Concluimos de entrada. La forma es indefinida, y ni siquiera hizo falta mirar la traza.

4. Confirmamos con los autovalores. $p(\lambda) = (1-\lambda)^2 - 9$, con raíces $4$ y $-2$: uno de cada signo.

5. Verificamos con la traza. $4 + (-2) = 2$, que es la traza de $A$: coherente.

6. Damos la lectura. Cuando el determinante es negativo, el signo de la traza no aporta información sobre la clasificación: ya está decidido que es indefinida.

Respuesta: es indefinida: el determinante es negativo, así que los autovalores tienen signos opuestos