Método

Ejercicios: Definida sobre una base

T(ab1+bb2)=aT(b1)+bT(b2)T(a b_{1} + b b_{2}) = a T(b_{1}) + b T(b_{2})

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Una transformación lineal cumple T(1;0)=(−4;−2)T(1; 0) = (-4; -2) y T(0;1)=(3;−4)T(0; 1) = (3; -4). Hallá T(−1;−3)T(-1; -3).

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1. Usamos el resultado clave. Una transformación lineal queda determinada por lo que le hace a los vectores de una base.

2. Escribimos el vector en esa base. (−1;−3)=−1(1;0)−3(0;1)(-1; -3) = -1(1; 0) - 3(0; 1)

3. Aplicamos la linealidad. T(−1;−3)=−1 T(1;0)−3 T(0;1)T(-1; -3) = -1\,T(1; 0) - 3\,T(0; 1)

4. Reemplazamos y calculamos. −1(−4;−2)−3(3;−4)=(−5;14)-1(-4; -2) - 3(3; -4) = (-5; 14)

5. Observamos. Con solo dos datos queda determinada la transformación en todo el plano.

Respuesta: T(−1;−3)=(−5;14)T(-1; -3) = (-5; 14)

2. Una transformación lineal cumple T(1;0)=(−3;−5)T(1; 0) = (-3; -5) y T(0;1)=(2;4)T(0; 1) = (2; 4). Hallá su fórmula general.

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1. Escribimos un vector genérico en la base. (x;y)=x(1;0)+y(0;1)(x; y) = x(1; 0) + y(0; 1)

2. Aplicamos la linealidad. T(x;y)=x T(1;0)+y T(0;1)T(x; y) = x\,T(1; 0) + y\,T(0; 1)

3. Reemplazamos los datos. T(x;y)=x(−3;−5)+y(2;4)T(x; y) = x(-3; -5) + y(2; 4)

4. Agrupamos por componente. T(x;y)=(−3x+2y;−5x+4y)T(x; y) = (-3x + 2y; -5x + 4y)

5. Observamos. Los coeficientes de la fórmula son exactamente las componentes de las imágenes de la base, colocadas por columnas.

Respuesta: T(x;y)=(−3x+2y;−5x+4y)T(x; y) = (-3x + 2y; -5x + 4y)

3. Se sabe que T(1;1)=(2;0)T(1; 1) = (2; 0) y T(1;−1)=(0;2)T(1; -1) = (0; 2). Hallá T(1;0)T(1; 0).

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1. Vemos qué falta. No nos dan las imágenes de la base canónica, sino de otros dos vectores. Hay que escribir (1;0)(1; 0) en función de ellos.

2. Planteamos la combinación. (1;0)=α(1;1)+β(1;−1)(1; 0) = \alpha(1; 1) + \beta(1; -1)

3. Resolvemos el sistema. α+β=1\alpha + \beta = 1 y α−β=0\alpha - \beta = 0, de donde α=β=12\alpha = \beta = \dfrac{1}{2}.

4. Aplicamos la linealidad. T(1;0)=12(2;0)+12(0;2)=(1;1)T(1; 0) = \dfrac{1}{2}(2; 0) + \dfrac{1}{2}(0; 2) = (1; 1)

5. Observamos. Sirve cualquier base, no hace falta que sea la canónica. Lo único que se necesita es escribir el vector en la base que nos dieron.

Respuesta: T(1;0)=(1;1)T(1; 0) = (1; 1)

4. Decidí si puede existir una transformación lineal con T(1;0)=(1;2)T(1; 0) = (1; 2), T(0;1)=(3;4)T(0; 1) = (3; 4) y T(1;1)=(5;5)T(1; 1) = (5; 5).

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1. Vemos el problema. Los dos primeros datos ya determinan la transformación por completo, así que el tercero no puede ser cualquiera.

2. Calculamos lo que obliga la linealidad. T(1;1)=T(1;0)+T(0;1)=(1;2)+(3;4)=(4;6)T(1; 1) = T(1; 0) + T(0; 1) = (1; 2) + (3; 4) = (4; 6)

3. Comparamos con el dato. El enunciado dice (5;5)(5; 5), pero la linealidad obliga a (4;6)(4; 6).

4. Concluimos. Los tres datos son incompatibles: no existe ninguna transformación lineal que los cumpla.

5. Observamos. Una vez fijadas las imágenes de una base, las de todos los demás vectores quedan determinadas. No hay libertad para elegirlas.

Respuesta: no puede existir: la linealidad obliga a que T(1;1)=(4;6)T(1; 1) = (4; 6)

5. Una transformación lineal cumple T(1;0)=(4;5)T(1; 0) = (4; 5) y T(0;1)=(−5;1)T(0; 1) = (-5; 1). Hallá T(1;−3)T(1; -3).

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1. Usamos el resultado clave. Una transformación lineal queda determinada por lo que le hace a los vectores de una base.

2. Escribimos el vector en esa base. (1;−3)=1(1;0)−3(0;1)(1; -3) = 1(1; 0) - 3(0; 1)

3. Aplicamos la linealidad. T(1;−3)=1 T(1;0)−3 T(0;1)T(1; -3) = 1\,T(1; 0) - 3\,T(0; 1)

4. Reemplazamos y calculamos. 1(4;5)−3(−5;1)=(19;2)1(4; 5) - 3(-5; 1) = (19; 2)

5. Observamos. Con solo dos datos queda determinada la transformación en todo el plano.

Respuesta: T(1;−3)=(19;2)T(1; -3) = (19; 2)

6. Una transformación lineal cumple T(1;0)=(−1;3)T(1; 0) = (-1; 3) y T(0;1)=(3;4)T(0; 1) = (3; 4). Hallá su fórmula general.

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1. Escribimos un vector genérico en la base. (x;y)=x(1;0)+y(0;1)(x; y) = x(1; 0) + y(0; 1)

2. Aplicamos la linealidad. T(x;y)=x T(1;0)+y T(0;1)T(x; y) = x\,T(1; 0) + y\,T(0; 1)

3. Reemplazamos los datos. T(x;y)=x(−1;3)+y(3;4)T(x; y) = x(-1; 3) + y(3; 4)

4. Agrupamos por componente. T(x;y)=(−x+3y;3x+4y)T(x; y) = (-x + 3y; 3x + 4y)

5. Observamos. Los coeficientes de la fórmula son exactamente las componentes de las imágenes de la base, colocadas por columnas.

Respuesta: T(x;y)=(−x+3y;3x+4y)T(x; y) = (-x + 3y; 3x + 4y)

7. Se sabe que T(1;1)=(2;0)T(1; 1) = (2; 0) y T(1;−1)=(0;2)T(1; -1) = (0; 2). Hallá T(3;1)T(3; 1).

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1. Planteamos la combinación. (3;1)=α(1;1)+β(1;−1)(3; 1) = \alpha(1; 1) + \beta(1; -1)

2. Escribimos el sistema. α+β=3\alpha + \beta = 3 y α−β=1\alpha - \beta = 1.

3. Resolvemos. Sumando las dos ecuaciones queda 2α=42\alpha = 4, así que α=2\alpha = 2 y β=1\beta = 1.

4. Aplicamos la linealidad. T(3;1)=2(2;0)+1(0;2)=(4;2)T(3; 1) = 2(2; 0) + 1(0; 2) = (4; 2)

5. Verificamos la combinación. 2(1;1)+1(1;−1)=(3;1)2(1; 1) + 1(1; -1) = (3; 1): correcto.

6. Observamos. Los datos son los mismos que en el caso anterior, pero el vector a transformar cambia, así que hay que rehacer el sistema. Lo único reutilizable son las imágenes.

Respuesta: T(3;1)=(4;2)T(3; 1) = (4; 2)

8. Decidí si puede existir una transformación lineal con T(1;0)=(2;1)T(1; 0) = (2; 1), T(0;1)=(0;3)T(0; 1) = (0; 3) y T(2;1)=(4;5)T(2; 1) = (4; 5).

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1. Vemos qué determina la transformación. Los dos primeros datos son las imágenes de la base canónica, así que ya determinan todo.

2. Escribimos el tercer vector en la base. (2;1)=2(1;0)+1(0;1)(2; 1) = 2(1; 0) + 1(0; 1).

3. Calculamos lo que obliga la linealidad. T(2;1)=2(2;1)+1(0;3)=(4;2)+(0;3)=(4;5)T(2; 1) = 2(2; 1) + 1(0; 3) = (4; 2) + (0; 3) = (4; 5).

4. Comparamos con el dato. El enunciado dice (4;5)(4; 5), exactamente lo mismo.

5. Concluimos. Los tres datos son compatibles: sí existe, y es única.

6. La escribimos. T(x;y)=(2x;x+3y)T(x; y) = (2x; x + 3y), que se obtiene poniendo las imágenes de la base como columnas de la matriz.

Respuesta: sí puede existir, y es única: T(x;y)=(2x;x+3y)T(x; y) = (2x; x + 3y)

9. Una transformación lineal cumple T(1;0)=(2;−5)T(1; 0) = (2; -5) y T(0;1)=(5;−4)T(0; 1) = (5; -4). Hallá T(−2;−3)T(-2; -3).

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1. Usamos el resultado clave. Una transformación lineal queda determinada por lo que le hace a los vectores de una base.

2. Escribimos el vector en esa base. (−2;−3)=−2(1;0)−3(0;1)(-2; -3) = -2(1; 0) - 3(0; 1)

3. Aplicamos la linealidad. T(−2;−3)=−2 T(1;0)−3 T(0;1)T(-2; -3) = -2\,T(1; 0) - 3\,T(0; 1)

4. Reemplazamos y calculamos. −2(2;−5)−3(5;−4)=(−19;22)-2(2; -5) - 3(5; -4) = (-19; 22)

5. Observamos. Con solo dos datos queda determinada la transformación en todo el plano.

Respuesta: T(−2;−3)=(−19;22)T(-2; -3) = (-19; 22)

10. Una transformación lineal cumple T(1;0)=(−2;1)T(1; 0) = (-2; 1) y T(0;1)=(2;5)T(0; 1) = (2; 5). Hallá su fórmula general.

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1. Escribimos un vector genérico en la base. (x;y)=x(1;0)+y(0;1)(x; y) = x(1; 0) + y(0; 1)

2. Aplicamos la linealidad. T(x;y)=x T(1;0)+y T(0;1)T(x; y) = x\,T(1; 0) + y\,T(0; 1)

3. Reemplazamos los datos. T(x;y)=x(−2;1)+y(2;5)T(x; y) = x(-2; 1) + y(2; 5)

4. Agrupamos por componente. T(x;y)=(−2x+2y;x+5y)T(x; y) = (-2x + 2y; x + 5y)

5. Observamos. Los coeficientes de la fórmula son exactamente las componentes de las imágenes de la base, colocadas por columnas.

Respuesta: T(x;y)=(−2x+2y;x+5y)T(x; y) = (-2x + 2y; x + 5y)

11. Se sabe que T(2;0)=(1;3)T(2; 0) = (1; 3) y T(0;5)=(0;10)T(0; 5) = (0; 10). Hallá T(4;5)T(4; 5).

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1. Miramos los datos. No nos dan las imágenes de la base canónica, pero los dos vectores son múltiplos de ella, así que conviene reducirlos primero.

2. Calculamos la imagen de (1;0)(1; 0). (1;0)=12(2;0)(1; 0) = \dfrac{1}{2}(2; 0), así que T(1;0)=12(1;3)=(12;32)T(1; 0) = \dfrac{1}{2}(1; 3) = \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right).

3. Calculamos la imagen de (0;1)(0; 1). (0;1)=15(0;5)(0; 1) = \dfrac{1}{5}(0; 5), así que T(0;1)=15(0;10)=(0;2)T(0; 1) = \dfrac{1}{5}(0; 10) = (0; 2).

4. Escribimos el vector pedido. (4;5)=4(1;0)+5(0;1)(4; 5) = 4(1; 0) + 5(0; 1).

5. Aplicamos la linealidad. T(4;5)=4(12;32)+5(0;2)=(2;6)+(0;10)=(2;16)T(4; 5) = 4\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right) + 5(0; 2) = (2; 6) + (0; 10) = (2; 16).

6. Observamos. Cuando los datos vienen sobre múltiplos de la base canónica, conviene normalizarlos primero: después cualquier vector sale de una sola cuenta.

Respuesta: T(4;5)=(2;16)T(4; 5) = (2; 16)

12. Decidí si puede existir una transformación lineal con T(1;1)=(2;0)T(1; 1) = (2; 0), T(2;2)=(4;0)T(2; 2) = (4; 0) y T(1;0)=(7;9)T(1; 0) = (7; 9).

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1. Miramos los dos primeros datos. (2;2)=2(1;1)(2; 2) = 2(1; 1), así que el segundo vector es múltiplo del primero: no aportan información independiente.

2. Verificamos la compatibilidad entre ellos. La linealidad obliga a T(2;2)=2 T(1;1)=2(2;0)=(4;0)T(2; 2) = 2\,T(1; 1) = 2(2; 0) = (4; 0), que es justo lo que dice el dato. No hay contradicción.

3. Contamos cuánta información hay. En realidad hay dos datos útiles: la imagen de (1;1)(1; 1) y la de (1;0)(1; 0).

4. Verificamos que esos dos formen base. (1;1)(1; 1) y (1;0)(1; 0) no son múltiplos uno del otro, así que son base de R2\mathbb{R}^2.

5. Concluimos. Los datos son compatibles y determinan una única transformación lineal.

6. Señalamos la lección. Un dato repetido no genera contradicción mientras sea coherente. Lo que hay que chequear es si los vectores de los que dan imagen son independientes y si las imágenes respetan las relaciones entre ellos.

Respuesta: sí puede existir: el segundo dato es consecuencia del primero, y los datos independientes forman una base

Integradores de Transformaciones lineales y diagonalización: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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