Independencia con matrices

Verificar independencia lineal se reduce a resolver un sistema homogéneo, y para eso las matrices son la herramienta más eficiente.

Se arma una matriz poniendo los vectores como filas o como columnas, y se calcula su rango. Si el rango es igual a la cantidad de vectores, son independientes. Si es menor, son dependientes.

La razón es que el rango cuenta cuántas filas aportan información nueva, que es exactamente lo que mide la independencia.

Cuando la cantidad de vectores coincide con la dimensión del espacio, la matriz es cuadrada y alcanza con el determinante. Si no es cero, son independientes.

Ese criterio es el más rápido cuando aplica, y por eso conviene verificar primero si la matriz queda cuadrada.

Poniendo los vectores como filas hay una ventaja extra: al escalonar, las filas no nulas que quedan forman una base del subespacio generado, así que el mismo trabajo resuelve dos preguntas.

rango

=

cantidad de vectores independientes

Cuándo se usa

Es el método práctico para cualquier problema de independencia. Armá la matriz con los vectores como filas y escaloná. Si queda cuadrada, el determinante lo resuelve más rápido.

Ejemplo 1

Decidir si $(1, 2, 3)$ , $(2, 4, 6)$ y $(1, 1, 1)$ son independientes.

Armamos la matriz con los vectores como filas. Y escalonamos con $F_{2} - 2F_{1}$ y $F_{3} - F_{1}$ .
Miramos qué quedó. La segunda fila se anula entera y la tercera queda $(0, -1, -2)$ .
Contamos y concluimos. Quedaron dos filas no nulas, así que el rango es $2$ . Son tres vectores con rango $2$ : dependientes, sobra uno, y generan un plano.
Respuesta: son dependientes, $\operatorname{rg} = 2$

Ejemplo 2

Decidir si $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ son independientes.

Armamos la matriz. Las tres filas juntas forman la identidad de $3 \times 3$ .
Calculamos el rango. Ya está escalonada y ninguna fila es nula: el rango es $3$ .
Concluimos. Rango igual a la cantidad de vectores, así que son independientes. Además generan un subespacio de dimensión $3$ , que es todo $R^{3}$ .
Respuesta: son independientes, $\operatorname{rg} = 3$

Error típico

Contar las filas de la matriz sin escalonar. El rango se cuenta después: tres filas que parecen distintas pueden reducirse a dos. Es el mismo error que aparecía al calcular rangos en el volumen anterior.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .