Cambio de base

El cambio de base es el procedimiento para pasar las coordenadas de un vector de una base a otra.

Se hace con una matriz de cambio de base. Multiplicando esa matriz por las coordenadas viejas se obtienen las nuevas.

Para armarla se escriben los vectores de la base de partida en términos de la base de llegada, y esas coordenadas se ponen como columnas de la matriz. El detalle de que van como columnas y no como filas es el que más se equivoca.

La matriz de cambio siempre es inversible, porque las dos bases generan el mismo espacio. Su inversa es la matriz del cambio en sentido contrario.

Cuando una de las dos bases es la canónica, la matriz se arma directo: alcanza con poner los vectores de la otra base como columnas.

Para pasar entre dos bases no canónicas conviene ir por la canónica: se hace un cambio a canónica y después de canónica a la otra, componiendo las dos matrices.

v = P \cdot [v]

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Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da coordenadas en una base y las pide en otra. Armá la matriz poniendo como columnas los vectores de la base de partida escritos en la de llegada.

Ejemplo 1

Con $B = {(2, 1), (-1, 2)}$ y $[v]^{B} = (2, 1)$ , hallar $v$ en coordenadas canónicas.

Armamos P con la base como columnas. Primera columna $(2, 1)$ y segunda $(-1, 2)$ .
Multiplicamos por las coordenadas. Primera componente: $2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 3$ . Segunda: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$ .
Contestamos. $v = (3, 4)$ , que es la combinación $2b_{1} + b_{2}$ .
Respuesta: $v = (3, 4)$

Ejemplo 2

Con la misma base, hallar las coordenadas de $(3, 4)$ en $B$ usando la inversa.

Calculamos el determinante de P. $2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5$ , distinto de cero como tenía que ser.
Invertimos. Intercambiando la diagonal y cambiando los signos de la otra queda $P^{-1} = \tfrac{1}{5}$ por la matriz de filas $(2, 1)$ y $(-1, 2)$ .
Multiplicamos por el vector. Primera componente: $(2 \cdot 3 + 1 \cdot 4) / 5 = 2$ . Segunda: $(-3 + 2 \cdot 4) / 5 = 1$ . Las coordenadas son $(2, 1)$ , que coincide con el ejemplo anterior.
Respuesta: $[v]^{B} = (2, 1)$

Error típico

Usar P cuando hacía falta $P^{-1}$ . La matriz armada con la base como columnas lleva de B a la canónica. Si el ejercicio da el vector en coordenadas canónicas y pide las coordenadas en B, hay que invertir.

Practicar

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