Gram-Schmidt

Gram-Schmidt es el procedimiento para convertir una base cualquiera en una ortogonal, sin cambiar el subespacio que genera.

La idea es ir de a un vector. El primero se toma tal como está. Al segundo se le resta su proyección sobre el primero, y lo que queda es perpendicular a él.

Al tercero se le restan las proyecciones sobre los dos anteriores ya ortogonalizados, y así sucesivamente. Cada vector nuevo se limpia de todas las direcciones que ya estaban cubiertas.

El detalle clave es que las proyecciones se hacen sobre los vectores ya ortogonalizados, no sobre los originales. Confundir eso rompe el procedimiento y es el error más frecuente.

Al terminar se obtiene una base ortogonal. Si se quiere ortonormal, hay un paso más: dividir cada vector por su norma.

El resultado depende del orden en que se toman los vectores. Cambiando el orden se obtiene una base ortogonal distinta, aunque las dos generen lo mismo.

Las cuentas suelen dar fracciones feas, y eso es normal. Se puede multiplicar cualquier vector por una constante para simplificar sin perder la ortogonalidad.

w_{2} = v_{2} -

proyección de

v_{2}

sobre

w_{1}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide ortogonalizar una base o hallar una base ortonormal de un subespacio. Proyectá siempre sobre los vectores ya ortogonalizados, no sobre los originales.

Ejemplo 1

Ortogonalizar $v_{1} = (5, 0)$ y $v_{2} = (3, 4)$ .

Dejamos el primero como está. $w_{1} = (5, 0)$ .
Calculamos la proyección del segundo sobre el primero. El producto interno es $15$ y $|w_{1}|^{2} = 25$ , así que la proyección es $(15/25)(5, 0) = (3, 0)$ .
Restamos y verificamos. $w_{2} = (3, 4) - (3, 0) = (0, 4)$ . El producto interno con $w_{1}$ da $5 \cdot 0 \cdot 4 = 0$ : son ortogonales.
Respuesta: ${(5, 0), (0, 4)}$

Ejemplo 2

Ortogonalizar $v_{1} = (1, 1)$ y $v_{2} = (1, 0)$ y después normalizar.

Calculamos la proyección. El producto interno es $1$ y $|v_{1}|^{2} = 2$ , así que la proyección es $(1/2)(1, 1)$ .
Restamos. $w_{2} = (1, 0) - (1/2, 1/2) = (1/2, -1/2)$ . Verificamos: $1/2 - 1/2 = 0$ .
Normalizamos los dos. Las normas son $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2} / 2$ , así que la base ortonormal queda ${(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}), (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})}$ .
Respuesta: ortogonal: ${(1, 1), (1/2, -1/2)}$

Error típico

Restar el vector en lugar de su proyección. Lo que hay que sacarle a v es únicamente la parte que va en la dirección de u, que es la proyección. Restar u entero deja un resultado que no es perpendicular a nada.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .