Conjunto generador

Un conjunto de vectores genera un espacio cuando todo elemento del espacio se puede escribir como combinación lineal de ellos.

El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados siempre es un subespacio, y se llama el subespacio generado por ellos. Es el más chico que los contiene.

Para verificar si un conjunto genera todo el espacio, se plantea un vector genérico como combinación lineal y se pide que el sistema sea compatible para cualquier término independiente. Eso equivale a que el rango sea máximo.

Un conjunto generador puede tener vectores de más. Si uno de ellos es combinación lineal de los otros, se puede sacar y el conjunto sigue generando lo mismo.

Sacar los vectores sobrantes hasta que no quede ninguno es lo que da una base.

Nunca se puede generar un espacio con menos vectores que su dimensión. Ese es un chequeo rápido: si hay dos vectores y el espacio tiene dimensión tres, seguro no generan.

gen{

v_{1}, \dots, v_{n}

}

=

todas sus combinaciones

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide verificar si unos vectores generan un espacio, o hallar el subespacio que generan. Contá primero: si son menos que la dimensión, ya sabés que no generan todo.

Ejemplo 1

Describir $gen{(1, 2)}$ en $R^{2}$ .

Escribimos las combinaciones. Con un solo vector, las combinaciones son $a(1, 2)$ con $a$ cualquier real.
Vemos qué conjunto forman. Son los pares $(a, 2a)$ , que cumplen $y = 2x$ .
Concluimos. Es la recta de pendiente $2$ que pasa por el origen, un subespacio de dimensión $1$ .
Respuesta: la recta $y = 2x$

Ejemplo 2

Decidir si $(1, 1)$ y $(2, 2)$ generan $R^{2}$ .

Comparamos los dos vectores. El segundo es el doble del primero, así que son paralelos.
Vemos qué aporta el segundo. Nada: cualquier combinación $a(1, 1) + b(2, 2)$ es $(a + 2b)(1, 1)$ , múltiplo del primero.
Concluimos. El generado es solo la recta $y = x$ , así que no generan $R^{2}$ . Falta cualquier vector de afuera de esa recta.
Respuesta: no generan $R^{2}$

Error típico

Confundir la cantidad de vectores con la dimensión del generado. Tres vectores de $R^{2}$ generan a lo sumo $R^{2}$ , que tiene dimensión $2$ . Y si son todos paralelos entre sí, generan apenas una recta.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .