Producto interno y norma

El producto interno generaliza el producto escalar a cualquier espacio vectorial. Toma dos vectores y devuelve un número, cumpliendo ciertas propiedades.

Esas propiedades son que sea simétrico, que distribuya sobre la suma, que las constantes salgan afuera, y que el producto de un vector consigo mismo sea positivo salvo para el vector nulo.

Esa última es la clave, porque permite definir la norma: la raíz del producto interno de un vector consigo mismo. La norma es la generalización del módulo.

Con la norma se define la distancia entre dos vectores como la norma de su diferencia. Así, conceptos geométricos como longitud y distancia se trasladan a espacios de matrices o polinomios.

También se puede definir el ángulo, despejándolo del producto interno igual que con vectores geométricos. Y de ahí sale la ortogonalidad: producto interno cero.

Un mismo espacio admite varios productos internos distintos, y cada uno da una noción de distancia y ángulo diferente. El más común es el que generaliza al producto escalar.

u \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \dots + u_{n}v_{n}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio trabaja con normas, distancias u ortogonalidad en espacios de matrices o polinomios. La norma sale de la raíz del producto interno del vector consigo mismo.

Ejemplo 1

Calcular $u \cdot v$ con $u = (1, 2, 3)$ y $v = (4, 0, -1)$ .

Multiplicamos componente a componente. $1 \cdot 4 = 4$ , $2 \cdot 0 = 0$ y $3 \cdot (-1) = -3$ .
Sumamos. $4 - 3 = 1$ .
Leemos el resultado. Da un número positivo, así que el ángulo entre los dos es agudo.
Respuesta: $u \cdot v = 1$

Ejemplo 2

Calcular la distancia entre $(1, 2)$ y $(4, 6)$ .

Restamos los dos vectores. $(4, 6) - (1, 2) = (3, 4)$ .
Calculamos la norma de esa diferencia. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Contestamos. La distancia es $5$ . El orden de la resta no importa: el opuesto tiene la misma norma.
Respuesta: la distancia es $5$

Error típico

Confundir el producto interno con el producto vectorial. El interno devuelve un número y existe en cualquier $R^{n}$ . El vectorial devuelve un vector y solo existe en $R^{3}$ .

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

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