Ejercicios: Qué es un espacio vectorial

2. Verificamos la conmutatividad de la suma. $(x_1; y_1) + (x_2; y_2) = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$, y al invertir el orden da lo mismo porque la suma de números es conmutativa.

3. Verificamos que exista el neutro. El par $(0; 0)$ sumado a cualquier otro lo deja igual, así que es el vector nulo.

4. Concluimos. Las demás propiedades se verifican igual, heredadas de las propiedades de los números reales. El conjunto es un espacio vectorial.

5. Observamos. Este es el ejemplo básico, y casi todos los demás espacios se entienden por analogía con él.

Respuesta: sí es un espacio vectorial

2. Probamos con el producto por un escalar negativo. Tomamos $(3; 1)$, que está en el conjunto, y lo multiplicamos por $-1$.

3. Vemos el resultado. Queda $(-3; -1)$, que tiene la primera componente negativa y por lo tanto no pertenece al conjunto.

4. Concluimos. El conjunto no es cerrado bajo el producto por escalares, así que no es un espacio vectorial.

5. Observamos. Tampoco existe el opuesto de cada elemento, que es otra de las propiedades que falla por el mismo motivo.

Respuesta: no es un espacio vectorial: no es cerrado bajo el producto por escalares

2. Vemos que es obligatorio. Sin ese elemento la estructura no cumple la definición, así que ni siquiera hace falta revisar las otras siete.

3. Damos el criterio práctico. Si un conjunto no contiene el vector nulo, no es espacio vectorial. Es lo primero que conviene chequear.

4. Damos un ejemplo. El conjunto de los pares con $x + y = 1$ no contiene a $(0; 0)$, porque $0 + 0 = 0 \neq 1$. Queda descartado de entrada.

Respuesta: el vector nulo siempre tiene que estar, y si falta el conjunto no es espacio vectorial

2. Probamos la suma. Sumamos $x^2 + x$ y $-x^2 + 3$. Los dos tienen grado dos.

3. Vemos el resultado. La suma da $x + 3$, que tiene grado uno y por lo tanto no pertenece al conjunto.

4. Concluimos. No es cerrado bajo la suma, así que no es espacio vectorial.

5. Corregimos el enunciado. Si en vez de exactamente dijera grado menor o igual que dos, sí sería un espacio vectorial. Esa palabra cambia todo.

Respuesta: no es un espacio vectorial: la suma de dos polinomios de grado dos puede tener grado menor

2. Verificamos que exista el neutro. La matriz con las cuatro entradas en cero sumada a cualquier otra la deja igual: es el vector nulo del espacio.

3. Verificamos la distributividad. $k(A + B)$ multiplica por $k$ cada entrada de la suma, y eso es lo mismo que $kA + kB$, porque en cada lugar vale la distributividad de los números.

4. Concluimos. Cumple las ocho propiedades, heredadas entrada por entrada de los reales. Es un espacio vectorial.

5. Observamos. Los vectores de un espacio vectorial no tienen por qué ser flechas ni listas de números. Acá son matrices, y funciona igual.

Respuesta: sí es un espacio vectorial

2. Probamos con un escalar no entero. Tomamos $(3; 1)$, que está en el conjunto, y lo multiplicamos por $\dfrac{1}{2}$.

3. Vemos el resultado. Queda $\left(\dfrac{3}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$, que no tiene componentes enteras.

4. Concluimos. No es cerrado bajo el producto por escalares, así que no es un espacio vectorial.

5. Señalamos el detalle. La suma sí funciona: dos pares enteros suman un par entero. Falla solo el producto, y con eso alcanza para descartarlo.

Respuesta: no es un espacio vectorial: multiplicar por un escalar no entero se sale del conjunto

2. Vemos para qué sirve. Sin opuesto no se puede restar. Restar es sumar el opuesto, así que la resta deja de estar definida dentro del conjunto.

3. Damos un ejemplo. Los pares con las dos componentes mayores o iguales que cero contienen al nulo, pero $(3; 1)$ no tiene opuesto adentro: $(-3; -1)$ se sale.

4. Vemos la relación con el producto. El opuesto siempre es $(-1)v$, así que si el conjunto es cerrado bajo el producto por escalares, los opuestos vienen solos.

5. Damos el criterio práctico. Cuando un conjunto se define pidiendo que algo sea positivo o mayor que un número, casi siempre falla por acá.

Respuesta: sin opuesto no se puede restar dentro del conjunto, y la definición de espacio vectorial no se cumple

2. Concluimos de entrada. Sin vector nulo no hay espacio vectorial. Alcanza con eso.

3. Lo confirmamos con la suma. Si $p(0) = 1$ y $q(0) = 1$, entonces $(p+q)(0) = 2$, que tampoco cumple la condición.

4. Corregimos el enunciado. Si la condición fuera $p(0) = 0$, sí sería un espacio vectorial: el nulo la cumple y la suma la preserva.

5. Damos la regla general. Una condición igualada a cero suele dar subespacio. Igualada a otro número, casi nunca.

Respuesta: no es un espacio vectorial: el polinomio nulo no cumple la condición

2. Verificamos que exista el neutro. La función que vale cero en todo el intervalo sumada a cualquier otra la deja igual. Es el vector nulo.

3. Verificamos el opuesto. Dada $f$, la función $-f$ definida por $(-f)(x) = -f(x)$ está en el conjunto y suma cero con $f$.

4. Concluimos. Todas las propiedades se verifican en cada punto $x$, donde valen las de los números reales. Es un espacio vectorial.

5. Observamos. Este espacio no tiene dimensión finita: no hay una lista finita de funciones que genere a todas. La definición no exige dimensión finita.

Respuesta: sí es un espacio vectorial

2. Probamos la suma. Tomamos $(1; 1)$ y $(2; 4)$, que cumplen la condición.

3. Vemos el resultado. La suma es $(3; 5)$, pero $3^2 = 9 \neq 5$: no pertenece al conjunto.

4. Concluimos. No es cerrado bajo la suma, así que no es un espacio vectorial.

5. Interpretamos. El conjunto es una parábola, y las parábolas se curvan. Un subespacio de $\mathbb{R}^2$ solo puede ser el origen, una recta por el origen o todo el plano.

Respuesta: no es un espacio vectorial: la suma de dos elementos se sale de la parábola

2. Partimos de una propiedad de los números. $0 + 0 = 0$, porque es una igualdad entre números reales.

3. Multiplicamos por el vector. $(0 + 0)v = 0v$, y por la distributividad del producto respecto de la suma de escalares, el lado izquierdo es $0v + 0v$.

4. Igualamos. Queda $0v + 0v = 0v$.

5. Restamos $0v$ de los dos lados. Se puede porque todo vector tiene opuesto. Queda $0v = 0$, el vector nulo.

6. Observamos. La demostración usa solo dos propiedades: la distributividad y la existencia del opuesto. Nada de esto es automático, todo sale de la lista de ocho.

Respuesta: porque de $(0+0)v = 0v$ sale $0v + 0v = 0v$, y restando $0v$ queda $0v = 0$

2. Concluimos de entrada. Sin vector nulo ya queda descartado.

3. Lo confirmamos con la suma. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ son las dos invertibles, pero suman la matriz nula, que no lo es.

4. Concluimos. No es cerrado bajo la suma ni contiene al nulo: no es espacio vectorial.

5. Observamos. Las matrices invertibles son un buen grupo para el producto, pero no un espacio vectorial para la suma. Son estructuras distintas.

Respuesta: no es un espacio vectorial: la matriz nula no es invertible y la suma de dos invertibles puede no serlo