Ejercicios: Interpretación geométrica

2. Usamos el determinante. $\det(A) = 223$, distinto de cero, así que el sistema es compatible determinado.

3. Interpretamos ese resultado. Solución única significa que los tres planos se cortan exactamente en un punto.

4. Descartamos las otras configuraciones. Si fueran paralelos no habría solución, y si se cortaran en una recta habría infinitas.

Respuesta: los tres planos se cortan en un único punto

2. Interpretamos el tipo de solución. Ese resultado significa que las soluciones forman una recta.

3. Describimos la configuración. Entonces los tres planos se cortan a lo largo de una misma recta.

4. Vemos qué implica sobre las ecuaciones. El rango de la matriz de coeficientes es $2$, así que una de las ecuaciones aporta información nueva más allá de las otras.

Respuesta: los tres planos se cortan a lo largo de una misma recta

2. Comparamos los coeficientes. La segunda ecuación tiene coeficientes que son el doble de los de la primera, así que las dos rectas tienen la misma pendiente: son paralelas.

3. Miramos los términos independientes. Si fueran la misma recta, el término independiente de la segunda tendría que ser el doble del primero, o sea $2$. Pero vale $5$.

4. Concluimos. Son dos rectas paralelas y distintas, así que no se cortan y el sistema es incompatible.

Respuesta: son dos rectas paralelas y distintas: el sistema es incompatible

2. Contamos los grados de libertad. El rango puede valer como mucho $2$, y hay $3$ incógnitas, así que siempre queda al menos un parámetro libre.

3. Describimos la intersección. Si los planos no son paralelos, se cortan en una recta. Si son coincidentes, la solución es todo un plano.

4. Concluimos. El sistema nunca puede tener solución única: dos planos jamás se cortan en un solo punto.

Respuesta: las soluciones forman una recta, o un plano entero si los dos planos son coincidentes

2. Usamos el determinante. $\det(A) = -28$, distinto de cero, así que el sistema es compatible determinado.

3. Interpretamos ese resultado. Solución única significa que los tres planos se cortan exactamente en un punto.

4. Descartamos las otras configuraciones. Si fueran paralelos no habría solución, y si se cortaran en una recta habría infinitas.

Respuesta: los tres planos se cortan en un único punto

2. Interpretamos el tipo de solución. Ese resultado significa que las soluciones forman un plano.

3. Describimos la configuración. Entonces los tres planos son coincidentes: son el mismo plano escrito de tres formas.

4. Vemos qué implica sobre las ecuaciones. El rango de la matriz de coeficientes es $1$, así que dos de las ecuaciones aporta información nueva más allá de las otras.

Respuesta: los tres planos son coincidentes: son el mismo plano escrito de tres formas

2. Comparamos los coeficientes. La segunda ecuación tiene coeficientes que son el doble de los de la primera, así que las dos rectas tienen la misma pendiente: son paralelas.

3. Miramos los términos independientes. Si fueran la misma recta, el término independiente de la segunda tendría que ser el doble del primero, o sea $2$. Pero vale $5$.

4. Concluimos. Son dos rectas paralelas y distintas, así que no se cortan y el sistema es incompatible.

Respuesta: son dos rectas paralelas y distintas: el sistema es incompatible

2. Contamos los grados de libertad. El rango vale $1$ y hay $3$ incógnitas, así que quedan dos parámetros libres.

3. Describimos el conjunto solución. Las soluciones son todos los puntos del plano, que se recorren con esos dos parámetros.

4. Concluimos. El conjunto solución es un plano entero.

Respuesta: las soluciones forman un plano entero

2. Usamos el determinante. $\det(A) = 210$, distinto de cero, así que el sistema es compatible determinado.

3. Interpretamos ese resultado. Solución única significa que los tres planos se cortan exactamente en un punto.

4. Descartamos las otras configuraciones. Si fueran paralelos no habría solución, y si se cortaran en una recta habría infinitas.

Respuesta: los tres planos se cortan en un único punto

2. Interpretamos el tipo de solución. Ese resultado significa que la solución es un único punto.

3. Describimos la configuración. Entonces los tres planos se cortan en un solo punto.

4. Vemos qué implica sobre las ecuaciones. El rango de la matriz de coeficientes es $3$, así que ninguna de las ecuaciones aporta información nueva más allá de las otras.

Respuesta: los tres planos se cortan en un solo punto

2. Comparamos los coeficientes. La segunda ecuación tiene coeficientes que son el doble de los de la primera, así que las dos rectas tienen la misma pendiente: son paralelas.

3. Miramos los términos independientes. Si fueran la misma recta, el término independiente de la segunda tendría que ser el doble del primero, o sea $2$. Pero vale $5$.

4. Concluimos. Son dos rectas paralelas y distintas, así que no se cortan y el sistema es incompatible.

Respuesta: son dos rectas paralelas y distintas: el sistema es incompatible

2. Vemos las configuraciones posibles. Dos rectas pueden cortarse en un punto, ser paralelas y distintas, o ser coincidentes.

3. Traducimos cada caso. Un punto de corte da solución única. Paralelas distintas dan sistema incompatible. Coincidentes dan infinitas soluciones.

4. Concluimos. Si el sistema es compatible, las soluciones son un punto o una recta entera, según si las rectas se cortan o coinciden.

Respuesta: las soluciones son un único punto, o una recta entera si las dos rectas coinciden