Determinante de $2 \times 2 y 3 \times 3$

El determinante es un número que se le asocia a cada matriz cuadrada y que concentra mucha información sobre ella.

Para una matriz de dos por dos se calcula multiplicando la diagonal principal y restando el producto de la otra diagonal. Es la fórmula más usada de todo el tema.

Para una de tres por tres está la regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras columnas al costado y sumar los productos de las tres diagonales que bajan, restando los de las tres que suben.

Sarrus tiene una limitación importante que conviene tener clara: vale solo para tres por tres. Intentar extenderla a matrices más grandes da resultados falsos, y es un error frecuente.

El significado geométrico es lindo: el valor absoluto del determinante es el área del paralelogramo que forman las filas en el plano, o el volumen del paralelepípedo en el espacio. Si da cero, esa figura es degenerada.

Esa es la razón profunda por la que el determinante decide si una matriz es inversible.

\det A = a \cdot d - b \cdot c

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular un determinante de dos o tres por tres. Sarrus solo sirve para tres por tres: para matrices más grandes hay que usar cofactores.

Ejemplo 1

Calcular el determinante de $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ .

Multiplicamos la diagonal principal. Es la que baja de izquierda a derecha: $3 \cdot 2 = 6$ .
Multiplicamos la otra diagonal. $1 \cdot 1 = 1$ .
Restamos en ese orden. $6 - 1 = 5$ . Como da distinto de cero, la matriz tiene inversa.
Respuesta: $\det = 5$

Ejemplo 2

Calcular el determinante de $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$ con la regla de Sarrus.

Sumamos los tres productos que bajan a la derecha. $1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ , $2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$ y $3 \cdot 0 \cdot 6 = 0$ , que suman $40$ .
Sumamos los tres que bajan a la izquierda. $3 \cdot 1 \cdot 5 = 15$ , $1 \cdot 4 \cdot 6 = 24$ y $2 \cdot 0 \cdot 0 = 0$ , que suman $39$ .
Restamos el segundo grupo al primero. $40 - 39 = 1$ . Sarrus sirve únicamente para $3 \times 3$ : con matrices más grandes no funciona.
Respuesta: $\det = 1$

Error típico

Restar al revés en el $2 \times 2$ . Va el producto de la diagonal principal menos el de la otra, en ese orden. Invertirlo cambia el signo del resultado, y aunque el módulo sirva para el área, el signo importa para todo lo demás.

Practicar

← Potencias de matrices Desarrollo por cofactores →

Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .