Método

Ejercicios: Determinante de $2 \times 2 y 3 \times 3$

det⁡A=a⋅d−b⋅c\det A = a \cdot d - b \cdot c

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el determinante de A=[446−3]A = \begin{bmatrix}4 & 4 \\ 6 & -3\end{bmatrix}.

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1. Escribimos la fórmula. Para una matriz de dos por dos, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la otra diagonal.

2. Calculamos el primer producto. (4)⋅(−3)=−12(4) \cdot (-3) = -12

3. Calculamos el segundo. (4)⋅(6)=24(4) \cdot (6) = 24

4. Restamos. det⁡(A)=−12−(24)=−36\det(A) = -12 - (24) = -36

5. Interpretamos. Como el determinante es distinto de cero, la matriz es inversible.

Respuesta: det⁡(A)=−36\det(A) = -36

2. Calculá el determinante de A=[5−2−21−5−3−4−2−2]A = \begin{bmatrix}5 & -2 & -2 \\ 1 & -5 & -3 \\ -4 & -2 & -2\end{bmatrix} por la regla de Sarrus.

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1. Recordamos la regla. Sarrus suma los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y resta los tres de las que bajan hacia la izquierda. Solo sirve para matrices de tres por tres.

2. Sumamos las tres primeras. (5)(−5)(−2)+(−2)(−3)(−4)+(−2)(1)(−2)=30(5)(-5)(-2) + (-2)(-3)(-4) + (-2)(1)(-2) = 30

3. Restamos las tres siguientes. (−2)(−5)(−4)+(5)(−3)(−2)+(−2)(1)(−2)=−6(-2)(-5)(-4) + (5)(-3)(-2) + (-2)(1)(-2) = -6

4. Obtenemos el resultado. det⁡(A)=36\det(A) = 36

5. Controlamos. Sarrus no funciona para matrices de cuatro por cuatro o más. Ahí hay que usar cofactores.

Respuesta: det⁡(A)=36\det(A) = 36

3. Con A=[3−1−55]A = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ -5 & 5\end{bmatrix}, calculá det⁡(A)\det(A) y det⁡(3A)\det(3A), y compará.

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1. Calculamos el primero. det⁡(A)=10\det(A) = 10

2. Armamos la matriz multiplicada. 3A=[9−3−1515]3A = \begin{bmatrix}9 & -3 \\ -15 & 15\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. det⁡(3A)=90\det(3A) = 90

4. Buscamos la relación. 9010=9=32\dfrac{90}{10} = 9 = 3^2

5. Concluimos. Multiplicar toda la matriz por 33 multiplica el determinante por 323^2, no por 33. El exponente es el orden de la matriz, porque cada una de las dos filas queda multiplicada.

Respuesta: det⁡(A)=10\det(A) = 10 y det⁡(3A)=90=32det⁡(A)\det(3A) = 90 = 3^2 \det(A)

4. Calculá el determinante de A=[6−612−12]A = \begin{bmatrix}6 & -6 \\ 12 & -12\end{bmatrix} e interpretá el resultado.

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1. Calculamos. det⁡(A)=(6)(−12)−(−6)(12)=0\det(A) = (6)(-12) - (-6)(12) = 0

2. Miramos las filas. La segunda fila es exactamente el doble de la primera: [12−12]=2⋅[6−6]\begin{bmatrix}12 & -12\end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix}6 & -6\end{bmatrix}.

3. Conectamos las dos cosas. Cuando una fila es combinación lineal de las otras, el determinante da cero. Acá pasa eso.

4. Interpretamos. Determinante cero significa que la matriz no es inversible y que sus filas no aportan información independiente.

5. Observamos. Detectar la dependencia a ojo ahorra la cuenta entera.

Respuesta: det⁡(A)=0\det(A) = 0, porque la segunda fila es múltiplo de la primera

5. Calculá el determinante de A=[4632]A = \begin{bmatrix}4 & 6 \\ 3 & 2\end{bmatrix}.

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1. Escribimos la fórmula. Para una matriz de dos por dos, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la otra diagonal.

2. Calculamos el primer producto. (4)⋅(2)=8(4) \cdot (2) = 8

3. Calculamos el segundo. (6)⋅(3)=18(6) \cdot (3) = 18

4. Restamos. det⁡(A)=8−(18)=−10\det(A) = 8 - (18) = -10

5. Interpretamos. Como el determinante es distinto de cero, la matriz es inversible.

Respuesta: det⁡(A)=−10\det(A) = -10

6. Calculá el determinante de A=[51−5−324−2−5−2]A = \begin{bmatrix}5 & 1 & -5 \\ -3 & 2 & 4 \\ -2 & -5 & -2\end{bmatrix} por la regla de Sarrus.

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1. Recordamos la regla. Sarrus suma los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y resta los tres de las que bajan hacia la izquierda. Solo sirve para matrices de tres por tres.

2. Sumamos las tres primeras. (5)(2)(−2)+(1)(4)(−2)+(−5)(−3)(−5)=−103(5)(2)(-2) + (1)(4)(-2) + (-5)(-3)(-5) = -103

3. Restamos las tres siguientes. (−5)(2)(−2)+(5)(4)(−5)+(1)(−3)(−2)=−74(-5)(2)(-2) + (5)(4)(-5) + (1)(-3)(-2) = -74

4. Obtenemos el resultado. det⁡(A)=−29\det(A) = -29

5. Controlamos. Sarrus no funciona para matrices de cuatro por cuatro o más. Ahí hay que usar cofactores.

Respuesta: det⁡(A)=−29\det(A) = -29

7. Con A=[312−6]A = \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 2 & -6\end{bmatrix}, calculá det⁡(A)\det(A) y det⁡(4A)\det(4A), y compará.

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1. Calculamos el primero. det⁡(A)=−20\det(A) = -20

2. Armamos la matriz multiplicada. 4A=[1248−24]4A = \begin{bmatrix}12 & 4 \\ 8 & -24\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. det⁡(4A)=−320\det(4A) = -320

4. Buscamos la relación. −320−20=16=42\dfrac{-320}{-20} = 16 = 4^2

5. Concluimos. Multiplicar toda la matriz por 44 multiplica el determinante por 424^2, no por 44. El exponente es el orden de la matriz, porque cada una de las dos filas queda multiplicada.

Respuesta: det⁡(A)=−20\det(A) = -20 y det⁡(4A)=−320=42det⁡(A)\det(4A) = -320 = 4^2 \det(A)

8. Calculá el determinante de A=[3−66−12]A = \begin{bmatrix}3 & -6 \\ 6 & -12\end{bmatrix} e interpretá el resultado.

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1. Calculamos. det⁡(A)=(3)(−12)−(−6)(6)=0\det(A) = (3)(-12) - (-6)(6) = 0

2. Miramos las filas. La segunda fila es exactamente el doble de la primera: [6−12]=2⋅[3−6]\begin{bmatrix}6 & -12\end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix}3 & -6\end{bmatrix}.

3. Conectamos las dos cosas. Cuando una fila es combinación lineal de las otras, el determinante da cero. Acá pasa eso.

4. Interpretamos. Determinante cero significa que la matriz no es inversible y que sus filas no aportan información independiente.

5. Observamos. Detectar la dependencia a ojo ahorra la cuenta entera.

Respuesta: det⁡(A)=0\det(A) = 0, porque la segunda fila es múltiplo de la primera

9. Calculá el determinante de A=[−4−6−5−4]A = \begin{bmatrix}-4 & -6 \\ -5 & -4\end{bmatrix}.

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1. Escribimos la fórmula. Para una matriz de dos por dos, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la otra diagonal.

2. Calculamos el primer producto. (−4)⋅(−4)=16(-4) \cdot (-4) = 16

3. Calculamos el segundo. (−6)⋅(−5)=30(-6) \cdot (-5) = 30

4. Restamos. det⁡(A)=16−(30)=−14\det(A) = 16 - (30) = -14

5. Interpretamos. Como el determinante es distinto de cero, la matriz es inversible.

Respuesta: det⁡(A)=−14\det(A) = -14

10. Calculá el determinante de A=[−15−5−2−1−5−422]A = \begin{bmatrix}-1 & 5 & -5 \\ -2 & -1 & -5 \\ -4 & 2 & 2\end{bmatrix} por la regla de Sarrus.

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1. Recordamos la regla. Sarrus suma los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y resta los tres de las que bajan hacia la izquierda. Solo sirve para matrices de tres por tres.

2. Sumamos las tres primeras. (−1)(−1)(2)+(5)(−5)(−4)+(−5)(−2)(2)=122(-1)(-1)(2) + (5)(-5)(-4) + (-5)(-2)(2) = 122

3. Restamos las tres siguientes. (−5)(−1)(−4)+(−1)(−5)(2)+(5)(−2)(2)=−30(-5)(-1)(-4) + (-1)(-5)(2) + (5)(-2)(2) = -30

4. Obtenemos el resultado. det⁡(A)=152\det(A) = 152

5. Controlamos. Sarrus no funciona para matrices de cuatro por cuatro o más. Ahí hay que usar cofactores.

Respuesta: det⁡(A)=152\det(A) = 152

11. Con A=[−1116]A = \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 6\end{bmatrix}, calculá det⁡(A)\det(A) y det⁡(2A)\det(2A), y compará.

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1. Calculamos el primero. det⁡(A)=−7\det(A) = -7

2. Armamos la matriz multiplicada. 2A=[−22212]2A = \begin{bmatrix}-2 & 2 \\ 2 & 12\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. det⁡(2A)=−28\det(2A) = -28

4. Buscamos la relación. −28−7=4=22\dfrac{-28}{-7} = 4 = 2^2

5. Concluimos. Multiplicar toda la matriz por 22 multiplica el determinante por 222^2, no por 22. El exponente es el orden de la matriz, porque cada una de las dos filas queda multiplicada.

Respuesta: det⁡(A)=−7\det(A) = -7 y det⁡(2A)=−28=22det⁡(A)\det(2A) = -28 = 2^2 \det(A)

12. Calculá el determinante de A=[−53−106]A = \begin{bmatrix}-5 & 3 \\ -10 & 6\end{bmatrix} e interpretá el resultado.

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1. Calculamos. det⁡(A)=(−5)(6)−(3)(−10)=0\det(A) = (-5)(6) - (3)(-10) = 0

2. Miramos las filas. La segunda fila es exactamente el doble de la primera: [−106]=2⋅[−53]\begin{bmatrix}-10 & 6\end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix}-5 & 3\end{bmatrix}.

3. Conectamos las dos cosas. Cuando una fila es combinación lineal de las otras, el determinante da cero. Acá pasa eso.

4. Interpretamos. Determinante cero significa que la matriz no es inversible y que sus filas no aportan información independiente.

5. Observamos. Detectar la dependencia a ojo ahorra la cuenta entera.

Respuesta: det⁡(A)=0\det(A) = 0, porque la segunda fila es múltiplo de la primera

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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