Método

Ejercicios: Regla de Cramer

xi=det⁡(Ai)/det⁡(A)x_{i} = \det(A_{i}) / \det(A)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Resolvé por la regla de Cramer el sistema {3x−5y=−14x−3y=−5\begin{cases} 3x - 5y = -1 \\ 4x - 3y = -5 \end{cases}

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1. Verificamos que se pueda aplicar. Cramer necesita que el determinante de la matriz de coeficientes no sea cero. Acá det⁡(A)=11≠0\det(A) = 11 \neq 0.

2. Armamos el determinante de xx. Reemplazamos la columna de xx por los términos independientes: det⁡(Ax)=det⁡[−1−5−5−3]=−22\det(A_x) = \det\begin{bmatrix}-1 & -5 \\ -5 & -3\end{bmatrix} = -22.

3. Armamos el de yy. det⁡(Ay)=det⁡[3−14−5]=−11\det(A_y) = \det\begin{bmatrix}3 & -1 \\ 4 & -5\end{bmatrix} = -11

4. Dividimos. x=−2211=−2x = \dfrac{-22}{11} = -2 e y=−1111=−1y = \dfrac{-11}{11} = -1

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación se obtiene −1-1.

Respuesta: x=−2x = -2 e y=−1y = -1

2. Usando Cramer, hallá solo el valor de xx en el sistema de matriz ampliada [2−15−17−55−3311−14−13]\begin{bmatrix}2 & -1 & 5 & -17 \\ -5 & 5 & -3 & 31 \\ 1 & -1 & 4 & -13\end{bmatrix}.

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1. Vemos la ventaja del método. Cramer da una fórmula directa para cada incógnita, así que se puede calcular una sola sin resolver todo el sistema.

2. Calculamos el determinante del sistema. det⁡(A)=17≠0\det(A) = 17 \neq 0, así que hay solución única.

3. Armamos el determinante de xx. Reemplazamos la primera columna por los términos independientes: det⁡(Ax)=−34\det(A_x) = -34.

4. Dividimos. x=−3417=−2x = \dfrac{-34}{17} = -2

5. Observamos. Para las otras incógnitas el procedimiento es el mismo, cambiando qué columna se reemplaza.

Respuesta: x=−2x = -2

3. Decidí si se puede aplicar la regla de Cramer al sistema {6x−4y=−212x−8y=−3\begin{cases} 6x - 4y = -2 \\ 12x - 8y = -3 \end{cases}

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1. Recordamos la condición. Cramer solo sirve cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=(6)(−8)−(−4)(12)=0\det(A) = (6)(-8) - (-4)(12) = 0

3. Concluimos. No se puede aplicar: las fórmulas dividirían por cero.

4. Indicamos el camino correcto. Hay que resolverlo por Gauss o clasificarlo con Rouché-Frobenius. El sistema va a ser incompatible o indeterminado, nunca de solución única.

5. Observamos. Que Cramer no se pueda aplicar no significa que el sistema no tenga solución: significa que si la tiene, no es única.

Respuesta: no se puede aplicar Cramer, porque el determinante del sistema vale 00

4. Resolvé por Cramer el sistema {−5x−5y=−44x+2y=5\begin{cases} -5x - 5y = -4 \\ 4x + 2y = 5 \end{cases}, dejando el resultado como fracción.

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1. Calculamos el determinante del sistema. det⁡(A)=10\det(A) = 10

2. Calculamos el de xx. det⁡(Ax)=17\det(A_x) = 17

3. Calculamos el de yy. det⁡(Ay)=−9\det(A_y) = -9

4. Armamos los cocientes. x=1710x = \dfrac{17}{10} e y=−910=−910y = \dfrac{-9}{10} = - \dfrac{9}{10}

5. Observamos. Las soluciones de un sistema no tienen por qué ser enteras. Dejarlas como fracción es más exacto que redondear.

Respuesta: x=1710x = \dfrac{17}{10} e y=−910y = - \dfrac{9}{10}

5. Resolvé por la regla de Cramer el sistema {−4x+3y=05x−y=11\begin{cases} -4x + 3y = 0 \\ 5x - y = 11 \end{cases}

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1. Verificamos que se pueda aplicar. Cramer necesita que el determinante de la matriz de coeficientes no sea cero. Acá det⁡(A)=−11≠0\det(A) = -11 \neq 0.

2. Armamos el determinante de xx. Reemplazamos la columna de xx por los términos independientes: det⁡(Ax)=det⁡[0311−1]=−33\det(A_x) = \det\begin{bmatrix}0 & 3 \\ 11 & -1\end{bmatrix} = -33.

3. Armamos el de yy. det⁡(Ay)=det⁡[−40511]=−44\det(A_y) = \det\begin{bmatrix}-4 & 0 \\ 5 & 11\end{bmatrix} = -44

4. Dividimos. x=−33−11=3x = \dfrac{-33}{-11} = 3 e y=−44−11=4y = \dfrac{-44}{-11} = 4

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación se obtiene 00.

Respuesta: x=3x = 3 e y=4y = 4

6. Usando Cramer, hallá solo el valor de xx en el sistema de matriz ampliada [2−44−14333−94−1−2−11]\begin{bmatrix}2 & -4 & 4 & -14 \\ 3 & 3 & 3 & -9 \\ 4 & -1 & -2 & -11\end{bmatrix}.

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1. Vemos la ventaja del método. Cramer da una fórmula directa para cada incógnita, así que se puede calcular una sola sin resolver todo el sistema.

2. Calculamos el determinante del sistema. det⁡(A)=−138≠0\det(A) = -138 \neq 0, así que hay solución única.

3. Armamos el determinante de xx. Reemplazamos la primera columna por los términos independientes: det⁡(Ax)=414\det(A_x) = 414.

4. Dividimos. x=414−138=−3x = \dfrac{414}{-138} = -3

5. Observamos. Para las otras incógnitas el procedimiento es el mismo, cambiando qué columna se reemplaza.

Respuesta: x=−3x = -3

7. Decidí si se puede aplicar la regla de Cramer al sistema {−5x+y=−2−10x+2y=9\begin{cases} -5x + y = -2 \\ -10x + 2y = 9 \end{cases}

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1. Recordamos la condición. Cramer solo sirve cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=(−5)(2)−(1)(−10)=0\det(A) = (-5)(2) - (1)(-10) = 0

3. Concluimos. No se puede aplicar: las fórmulas dividirían por cero.

4. Indicamos el camino correcto. Hay que resolverlo por Gauss o clasificarlo con Rouché-Frobenius. El sistema va a ser incompatible o indeterminado, nunca de solución única.

5. Observamos. Que Cramer no se pueda aplicar no significa que el sistema no tenga solución: significa que si la tiene, no es única.

Respuesta: no se puede aplicar Cramer, porque el determinante del sistema vale 00

8. Resolvé por Cramer el sistema {x−6y=−8−4x−2y=−7\begin{cases} x - 6y = -8 \\ -4x - 2y = -7 \end{cases}, dejando el resultado como fracción.

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1. Calculamos el determinante del sistema. det⁡(A)=−26\det(A) = -26

2. Calculamos el de xx. det⁡(Ax)=−26\det(A_x) = -26

3. Calculamos el de yy. det⁡(Ay)=−39\det(A_y) = -39

4. Armamos los cocientes. x=−26−26=1x = \dfrac{-26}{-26} = 1 e y=−39−26=32y = \dfrac{-39}{-26} = \dfrac{3}{2}

5. Observamos. Las soluciones de un sistema no tienen por qué ser enteras. Dejarlas como fracción es más exacto que redondear.

Respuesta: x=1x = 1 e y=32y = \dfrac{3}{2}

9. Resolvé por la regla de Cramer el sistema {−x−4y=−17−2x+3y=10\begin{cases} -x - 4y = -17 \\ -2x + 3y = 10 \end{cases}

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1. Verificamos que se pueda aplicar. Cramer necesita que el determinante de la matriz de coeficientes no sea cero. Acá det⁡(A)=−11≠0\det(A) = -11 \neq 0.

2. Armamos el determinante de xx. Reemplazamos la columna de xx por los términos independientes: det⁡(Ax)=det⁡[−17−4103]=−11\det(A_x) = \det\begin{bmatrix}-17 & -4 \\ 10 & 3\end{bmatrix} = -11.

3. Armamos el de yy. det⁡(Ay)=det⁡[−1−17−210]=−44\det(A_y) = \det\begin{bmatrix}-1 & -17 \\ -2 & 10\end{bmatrix} = -44

4. Dividimos. x=−11−11=1x = \dfrac{-11}{-11} = 1 e y=−44−11=4y = \dfrac{-44}{-11} = 4

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación se obtiene −17-17.

Respuesta: x=1x = 1 e y=4y = 4

10. Usando Cramer, hallá solo el valor de xx en el sistema de matriz ampliada [5−2−4−11−4−1−316−5157]\begin{bmatrix}5 & -2 & -4 & -11 \\ -4 & -1 & -3 & 16 \\ -5 & 1 & 5 & 7\end{bmatrix}.

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1. Vemos la ventaja del método. Cramer da una fórmula directa para cada incógnita, así que se puede calcular una sola sin resolver todo el sistema.

2. Calculamos el determinante del sistema. det⁡(A)=−44≠0\det(A) = -44 \neq 0, así que hay solución única.

3. Armamos el determinante de xx. Reemplazamos la primera columna por los términos independientes: det⁡(Ax)=132\det(A_x) = 132.

4. Dividimos. x=132−44=−3x = \dfrac{132}{-44} = -3

5. Observamos. Para las otras incógnitas el procedimiento es el mismo, cambiando qué columna se reemplaza.

Respuesta: x=−3x = -3

11. Decidí si se puede aplicar la regla de Cramer al sistema {5x−6y=−610x−12y=−3\begin{cases} 5x - 6y = -6 \\ 10x - 12y = -3 \end{cases}

Ver solución

1. Recordamos la condición. Cramer solo sirve cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=(5)(−12)−(−6)(10)=0\det(A) = (5)(-12) - (-6)(10) = 0

3. Concluimos. No se puede aplicar: las fórmulas dividirían por cero.

4. Indicamos el camino correcto. Hay que resolverlo por Gauss o clasificarlo con Rouché-Frobenius. El sistema va a ser incompatible o indeterminado, nunca de solución única.

5. Observamos. Que Cramer no se pueda aplicar no significa que el sistema no tenga solución: significa que si la tiene, no es única.

Respuesta: no se puede aplicar Cramer, porque el determinante del sistema vale 00

12. Resolvé por Cramer el sistema {x+4y=−6−6x+5y=−8\begin{cases} x + 4y = -6 \\ -6x + 5y = -8 \end{cases}, dejando el resultado como fracción.

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1. Calculamos el determinante del sistema. det⁡(A)=29\det(A) = 29

2. Calculamos el de xx. det⁡(Ax)=2\det(A_x) = 2

3. Calculamos el de yy. det⁡(Ay)=−44\det(A_y) = -44

4. Armamos los cocientes. x=229x = \dfrac{2}{29} e y=−4429=−4429y = \dfrac{-44}{29} = - \dfrac{44}{29}

5. Observamos. Las soluciones de un sistema no tienen por qué ser enteras. Dejarlas como fracción es más exacto que redondear.

Respuesta: x=229x = \dfrac{2}{29} e y=−4429y = - \dfrac{44}{29}

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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