Método

Ejercicios: Sistemas lineales y forma matricial

Ax=bA x = b

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Escribí en forma matricial el sistema {6x−y=−47x+6y=1\begin{cases} 6x - y = -4 \\ 7x + 6y = 1 \end{cases}

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1. Identificamos las tres piezas. Un sistema se escribe como AX=bAX = b: la matriz de coeficientes, el vector de incógnitas y el de términos independientes.

2. Armamos la matriz de coeficientes. A=[6−176]A = \begin{bmatrix}6 & -1 \\ 7 & 6\end{bmatrix}, poniendo cada ecuación en una fila.

3. Armamos los vectores. X=[xy]X = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} y b=[−41]b = \begin{bmatrix}-4 \\ 1\end{bmatrix}

4. Escribimos la ecuación matricial. [6−176][xy]=[−41]\begin{bmatrix}6 & -1 \\ 7 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 \\ 1\end{bmatrix}

5. Verificamos. Haciendo el producto se recuperan las dos ecuaciones originales.

Respuesta: [6−176][xy]=[−41]\begin{bmatrix}6 & -1 \\ 7 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 \\ 1\end{bmatrix}

2. Verificá si x=[−3−4]x = \begin{bmatrix}-3 \\ -4\end{bmatrix} es solución del sistema [−2−642]X=[30−20]\begin{bmatrix}-2 & -6 \\ 4 & 2\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}30 \\ -20\end{bmatrix}.

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1. Planteamos qué hay que hacer. Para verificar una solución se reemplaza en la ecuación matricial y se controla que se cumpla.

2. Hacemos el producto. [−2−642][−3−4]=[30−20]\begin{bmatrix}-2 & -6 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3 \\ -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}30 \\ -20\end{bmatrix}

3. Comparamos con el término independiente. El resultado coincide exactamente.

4. Concluimos. El vector propuesto es solución del sistema.

5. Observamos. Verificar es siempre más rápido que resolver, y conviene hacerlo al final de cualquier ejercicio de sistemas.

Respuesta: sí es solución del sistema

3. Escribí la matriz ampliada del sistema [2−44−2]X=[−1−6]\begin{bmatrix}2 & -4 \\ 4 & -2\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}-1 \\ -6\end{bmatrix} e indicá para qué sirve.

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1. Recordamos qué es. La matriz ampliada se arma agregándole a la de coeficientes una columna más con los términos independientes.

2. La escribimos. (A∣b)=[2−4−14−2−6](A|b) = \begin{bmatrix}2 & -4 & -1 \\ 4 & -2 & -6\end{bmatrix}

3. Explicamos para qué sirve. Concentra toda la información del sistema en un solo objeto, y permite trabajar con operaciones de filas sin arrastrar las incógnitas.

4. Anticipamos su uso. Comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada se decide si el sistema tiene solución. Ese es el teorema de Rouché-Frobenius.

Respuesta: (A∣b)=[2−4−14−2−6](A|b) = \begin{bmatrix}2 & -4 & -1 \\ 4 & -2 & -6\end{bmatrix}

4. Resolvé el sistema {−x−2y=−66x+6y=24\begin{cases} -x - 2y = -6 \\ 6x + 6y = 24 \end{cases} escribiéndolo primero en forma matricial.

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1. Pasamos a forma matricial. [−1−266][xy]=[−624]\begin{bmatrix}-1 & -2 \\ 6 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-6 \\ 24\end{bmatrix}

2. Verificamos que la matriz sea inversible. det⁡(A)=6≠0\det(A) = 6 \neq 0, así que el sistema tiene solución única.

3. Despejamos. X=A−1bX = A^{-1}b

4. Resolvemos. x=2x = 2 e y=2y = 2

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación: (−1)(2)+(−2)(2)=−6(-1)(2) + (-2)(2) = -6.

Respuesta: x=2x = 2 e y=2y = 2

5. Escribí en forma matricial el sistema {8x+4y=3−8x−3y=6\begin{cases} 8x + 4y = 3 \\ -8x - 3y = 6 \end{cases}

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1. Identificamos las tres piezas. Un sistema se escribe como AX=bAX = b: la matriz de coeficientes, el vector de incógnitas y el de términos independientes.

2. Armamos la matriz de coeficientes. A=[84−8−3]A = \begin{bmatrix}8 & 4 \\ -8 & -3\end{bmatrix}, poniendo cada ecuación en una fila.

3. Armamos los vectores. X=[xy]X = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} y b=[36]b = \begin{bmatrix}3 \\ 6\end{bmatrix}

4. Escribimos la ecuación matricial. [84−8−3][xy]=[36]\begin{bmatrix}8 & 4 \\ -8 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ 6\end{bmatrix}

5. Verificamos. Haciendo el producto se recuperan las dos ecuaciones originales.

Respuesta: [84−8−3][xy]=[36]\begin{bmatrix}8 & 4 \\ -8 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ 6\end{bmatrix}

6. Verificá si x=[21]x = \begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix} es solución del sistema [−6−1−14]X=[−132]\begin{bmatrix}-6 & -1 \\ -1 & 4\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}-13 \\ 2\end{bmatrix}.

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1. Planteamos qué hay que hacer. Para verificar una solución se reemplaza en la ecuación matricial y se controla que se cumpla.

2. Hacemos el producto. [−6−1−14][21]=[−132]\begin{bmatrix}-6 & -1 \\ -1 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-13 \\ 2\end{bmatrix}

3. Comparamos con el término independiente. El resultado coincide exactamente.

4. Concluimos. El vector propuesto es solución del sistema.

5. Observamos. Verificar es siempre más rápido que resolver, y conviene hacerlo al final de cualquier ejercicio de sistemas.

Respuesta: sí es solución del sistema

7. Escribí la matriz ampliada del sistema [−2−526]X=[−8−2]\begin{bmatrix}-2 & -5 \\ 2 & 6\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}-8 \\ -2\end{bmatrix} e indicá para qué sirve.

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1. Recordamos qué es. La matriz ampliada se arma agregándole a la de coeficientes una columna más con los términos independientes.

2. La escribimos. (A∣b)=[−2−5−826−2](A|b) = \begin{bmatrix}-2 & -5 & -8 \\ 2 & 6 & -2\end{bmatrix}

3. Explicamos para qué sirve. Concentra toda la información del sistema en un solo objeto, y permite trabajar con operaciones de filas sin arrastrar las incógnitas.

4. Anticipamos su uso. Comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada se decide si el sistema tiene solución. Ese es el teorema de Rouché-Frobenius.

Respuesta: (A∣b)=[−2−5−826−2](A|b) = \begin{bmatrix}-2 & -5 & -8 \\ 2 & 6 & -2\end{bmatrix}

8. Resolvé el sistema {5x−2y=1−x+2y=−5\begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ -x + 2y = -5 \end{cases} escribiéndolo primero en forma matricial.

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1. Pasamos a forma matricial. [5−2−12][xy]=[1−5]\begin{bmatrix}5 & -2 \\ -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ -5\end{bmatrix}

2. Verificamos que la matriz sea inversible. det⁡(A)=8≠0\det(A) = 8 \neq 0, así que el sistema tiene solución única.

3. Despejamos. X=A−1bX = A^{-1}b

4. Resolvemos. x=−1x = -1 e y=−3y = -3

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación: (5)(−1)+(−2)(−3)=1(5)(-1) + (-2)(-3) = 1.

Respuesta: x=−1x = -1 e y=−3y = -3

9. Escribí en forma matricial el sistema {−6x−2y=3−8x−5y=−6\begin{cases} -6x - 2y = 3 \\ -8x - 5y = -6 \end{cases}

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1. Identificamos las tres piezas. Un sistema se escribe como AX=bAX = b: la matriz de coeficientes, el vector de incógnitas y el de términos independientes.

2. Armamos la matriz de coeficientes. A=[−6−2−8−5]A = \begin{bmatrix}-6 & -2 \\ -8 & -5\end{bmatrix}, poniendo cada ecuación en una fila.

3. Armamos los vectores. X=[xy]X = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} y b=[3−6]b = \begin{bmatrix}3 \\ -6\end{bmatrix}

4. Escribimos la ecuación matricial. [−6−2−8−5][xy]=[3−6]\begin{bmatrix}-6 & -2 \\ -8 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ -6\end{bmatrix}

5. Verificamos. Haciendo el producto se recuperan las dos ecuaciones originales.

Respuesta: [−6−2−8−5][xy]=[3−6]\begin{bmatrix}-6 & -2 \\ -8 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ -6\end{bmatrix}

10. Verificá si x=[43]x = \begin{bmatrix}4 \\ 3\end{bmatrix} es solución del sistema [2−241]X=[219]\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 4 & 1\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}2 \\ 19\end{bmatrix}.

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1. Planteamos qué hay que hacer. Para verificar una solución se reemplaza en la ecuación matricial y se controla que se cumpla.

2. Hacemos el producto. [2−241][43]=[219]\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 4 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 \\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 19\end{bmatrix}

3. Comparamos con el término independiente. El resultado coincide exactamente.

4. Concluimos. El vector propuesto es solución del sistema.

5. Observamos. Verificar es siempre más rápido que resolver, y conviene hacerlo al final de cualquier ejercicio de sistemas.

Respuesta: sí es solución del sistema

11. Escribí la matriz ampliada del sistema [3−5−55]X=[−7−1]\begin{bmatrix}3 & -5 \\ -5 & 5\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}-7 \\ -1\end{bmatrix} e indicá para qué sirve.

Ver solución

1. Recordamos qué es. La matriz ampliada se arma agregándole a la de coeficientes una columna más con los términos independientes.

2. La escribimos. (A∣b)=[3−5−7−55−1](A|b) = \begin{bmatrix}3 & -5 & -7 \\ -5 & 5 & -1\end{bmatrix}

3. Explicamos para qué sirve. Concentra toda la información del sistema en un solo objeto, y permite trabajar con operaciones de filas sin arrastrar las incógnitas.

4. Anticipamos su uso. Comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada se decide si el sistema tiene solución. Ese es el teorema de Rouché-Frobenius.

Respuesta: (A∣b)=[3−5−7−55−1](A|b) = \begin{bmatrix}3 & -5 & -7 \\ -5 & 5 & -1\end{bmatrix}

12. Resolvé el sistema {−2x−3y=−3−5x+y=−16\begin{cases} -2x - 3y = -3 \\ -5x + y = -16 \end{cases} escribiéndolo primero en forma matricial.

Ver solución

1. Pasamos a forma matricial. [−2−3−51][xy]=[−3−16]\begin{bmatrix}-2 & -3 \\ -5 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 \\ -16\end{bmatrix}

2. Verificamos que la matriz sea inversible. det⁡(A)=−17≠0\det(A) = -17 \neq 0, así que el sistema tiene solución única.

3. Despejamos. X=A−1bX = A^{-1}b

4. Resolvemos. x=3x = 3 e y=−1y = -1

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación: (−2)(3)+(−3)(−1)=−3(-2)(3) + (-3)(-1) = -3.

Respuesta: x=3x = 3 e y=−1y = -1

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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