Producto mixto y volumen

El producto mixto combina los dos productos anteriores: se hace el producto vectorial de dos vectores y el resultado se multiplica escalarmente por un tercero. El resultado es un número.

En la práctica se calcula con un determinante de tres por tres, poniendo las componentes de cada vector en una fila.

Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores. Es el análogo espacial de lo que hacía el producto vectorial con el área.

La aplicación más usada es decidir si tres vectores son coplanares. Si el producto mixto da cero, el volumen es cero, y eso significa que los tres están en un mismo plano.

Como el determinante cambia de signo al intercambiar filas, el producto mixto también depende del orden. Pero como lo que suele interesar es el volumen o si vale cero, el signo casi nunca importa.

Para el volumen de un tetraedro hay que dividir por seis, porque un tetraedro es la sexta parte del paralelepípedo correspondiente.

(u \times v) \cdot w

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide decidir si tres vectores o cuatro puntos son coplanares: el producto mixto tiene que dar cero. También para volúmenes de paralelepípedos y tetraedros.

Ejemplo 1

Calcular el volumen del paralelepípedo que arman $u = (3, 0, 0)$ , $v = (1, 3, 0)$ y $w = (1, 1, 3)$ .

Primero el producto vectorial de u y v. Primera componente: $0 \cdot 0 \cdot 3 = 0$ . Segunda: $0 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 0$ . Tercera: $3 \cdot 3 \cdot 1 = 9$ .
Escribimos ese vector. $u \times v = (0, 0, 9)$ .
Ahora el producto escalar con w. $(0, 0, 9) \cdot (1, 1, 3) = 0 + 27 = 27$ .
Tomamos el valor absoluto. El mixto dio positivo, así que el volumen es $27$ .
Interpretamos el resultado. El $9$ es el área de la base que arman $u$ y $v$ , y el $3$ que aporta $w$ hace de altura.
Respuesta: el volumen es $27$

Ejemplo 2

Decidir si $u = (1, 2, 0)$ , $v = (0, 1, 1)$ y $w = (1, 3, 1)$ son coplanares.

Sabemos qué hay que calcular. Son coplanares si el producto mixto da cero.
Calculamos $u \times v$ . Primera: $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ . Segunda: $0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$ . Tercera: $1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 1$ .
Escribimos ese vector. $u \times v = (2, -1, 1)$ .
Producto escalar con w. $(2, -1, 1) \cdot (1, 3, 1) = 2 - 3 + 1 = 0$ .
Concluimos. Da cero, así que los tres entran en un mismo plano. Se puede confirmar de otra manera: $w = u + v$ .
Respuesta: sí, son coplanares

Error típico

Contestar con un volumen negativo. El producto mixto puede dar negativo según el orden en que se tomen los tres vectores, pero el volumen es el valor absoluto de ese número. Un volumen negativo no existe.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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