Ejercicios: Producto mixto y volumen

(u \times v) \cdot w

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el volumen del paralelepípedo que forman $u = (-5; 5; -7)$ , $v = (-4; -7; -9)$ y $w = (2; -6; -8)$ .

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1. Planteamos la herramienta. El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos primeros. $u \times v = (-94; -17; 55)$

3. Lo multiplicamos escalarmente por el tercero. $(u \times v) \cdot w = -526$

4. Tomamos valor absoluto. $V = |-526| = 526$

5. Controlamos. El producto mixto puede dar negativo según el orden de los vectores, pero un volumen nunca es negativo.

Respuesta: el volumen es $526$

2. Decidí si $u = (-9; -3; 6)$ , $v = (4; 6; 6)$ y $w = (6; -9; 4)$ son coplanares.

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1. Traducimos la pregunta. Tres vectores son coplanares cuando el paralelepípedo que forman es plano, o sea de volumen cero. Eso equivale a que el producto mixto dé cero.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos primeros. $u \times v = (-54; 78; -42)$

3. Multiplicamos escalarmente por el tercero. $(u \times v) \cdot w = -1194$

4. Concluimos. El producto mixto vale $-1194$ , distinto de cero, así que los tres vectores no son coplanares.

Respuesta: no son coplanares

3. Calculá el volumen del tetraedro que forman $u = (2; -7; 8)$ , $v = (2; 1; 1)$ y $w = (-3; -5; 3)$ .

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1. Relacionamos tetraedro y paralelepípedo. El tetraedro es la sexta parte del paralelepípedo que arman los tres vectores.

2. Calculamos el producto mixto. $(u \times v) \cdot w = 23$

3. Tomamos valor absoluto. El volumen del paralelepípedo es $23$ .

4. Dividimos por seis. $V_{\text{tetraedro}} = \dfrac{23}{6} \approx 3{,}8333$

5. Controlamos. Olvidarse de dividir por seis es el error más común de este tipo de ejercicio.

Respuesta: el volumen es $\dfrac{23}{6} \approx 3{,}8333$

4. Hallá el valor de $m$ para que $u = (6; -2; 5)$ , $v = (-7; 8; 6)$ y $w = (3; 3; m)$ sean coplanares.

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1. Escribimos la condición. Los tres son coplanares cuando el producto mixto da cero.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos conocidos. $u \times v = (-52; -71; 34)$

3. Planteamos el producto escalar con el tercero. $(u \times v) \cdot w = (-52) \cdot 3 + (-71) \cdot 3 + 34 \cdot m = -369 + 34m$

4. Igualamos a cero y despejamos. $-369 + 34m = 0 \Rightarrow m = \dfrac{369}{34}$

5. Verificamos. Con ese valor el producto mixto da cero, así que los tres vectores quedan en un mismo plano.

Respuesta: $m = \dfrac{369}{34}$

5. Calculá el volumen del paralelepípedo que forman $u = (-9; 4; 3)$ , $v = (5; -5; -8)$ y $w = (-4; 3; 1)$ .

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1. Planteamos la herramienta. El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos primeros. $u \times v = (-17; -57; 25)$

3. Lo multiplicamos escalarmente por el tercero. $(u \times v) \cdot w = -78$

4. Tomamos valor absoluto. $V = |-78| = 78$

5. Controlamos. El producto mixto puede dar negativo según el orden de los vectores, pero un volumen nunca es negativo.

Respuesta: el volumen es $78$

6. Decidí si $u = (-2; 9; 8)$ , $v = (-1; -4; 8)$ y $w = (-3; 22; 8)$ son coplanares.

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1. Traducimos la pregunta. Tres vectores son coplanares cuando el paralelepípedo que forman es plano, o sea de volumen cero. Eso equivale a que el producto mixto dé cero.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos primeros. $u \times v = (104; 8; 17)$

3. Multiplicamos escalarmente por el tercero. $(u \times v) \cdot w = 0$

4. Concluimos. El producto mixto da cero, así que los tres vectores son coplanares.

Respuesta: son coplanares

7. Calculá el volumen del tetraedro que forman $u = (4; -9; -6)$ , $v = (-3; 3; 1)$ y $w = (5; -7; 4)$ .

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1. Relacionamos tetraedro y paralelepípedo. El tetraedro es la sexta parte del paralelepípedo que arman los tres vectores.

2. Calculamos el producto mixto. $(u \times v) \cdot w = -113$

3. Tomamos valor absoluto. El volumen del paralelepípedo es $113$ .

4. Dividimos por seis. $V_{\text{tetraedro}} = \dfrac{113}{6} \approx 18{,}8333$

5. Controlamos. Olvidarse de dividir por seis es el error más común de este tipo de ejercicio.

Respuesta: el volumen es $\dfrac{113}{6} \approx 18{,}8333$

8. Hallá el valor de $m$ para que $u = (8; -8; -5)$ , $v = (-1; 9; 2)$ y $w = (-4; -9; m)$ sean coplanares.

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1. Escribimos la condición. Los tres son coplanares cuando el producto mixto da cero.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos conocidos. $u \times v = (29; -11; 64)$

3. Planteamos el producto escalar con el tercero. $(u \times v) \cdot w = 29 \cdot (-4) + (-11) \cdot (-9) + 64 \cdot m = -17 + 64m$

4. Igualamos a cero y despejamos. $-17 + 64m = 0 \Rightarrow m = \dfrac{17}{64}$

5. Verificamos. Con ese valor el producto mixto da cero, así que los tres vectores quedan en un mismo plano.

Respuesta: $m = \dfrac{17}{64}$

9. Calculá el volumen del paralelepípedo que forman $u = (-7; -6; 4)$ , $v = (1; 3; 4)$ y $w = (6; 7; -8)$ .

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1. Planteamos la herramienta. El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos primeros. $u \times v = (-36; 32; -15)$

3. Lo multiplicamos escalarmente por el tercero. $(u \times v) \cdot w = 128$

4. Tomamos valor absoluto. $V = |128| = 128$

5. Controlamos. El producto mixto puede dar negativo según el orden de los vectores, pero un volumen nunca es negativo.

Respuesta: el volumen es $128$

10. Decidí si $u = (5; -4; 2)$ , $v = (-5; 4; 7)$ y $w = (15; -12; -3)$ son coplanares.

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1. Traducimos la pregunta. Tres vectores son coplanares cuando el paralelepípedo que forman es plano, o sea de volumen cero. Eso equivale a que el producto mixto dé cero.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos primeros. $u \times v = (-36; -45; 0)$

3. Multiplicamos escalarmente por el tercero. $(u \times v) \cdot w = 0$

4. Concluimos. El producto mixto da cero, así que los tres vectores son coplanares.

Respuesta: son coplanares

11. Calculá el volumen del tetraedro que forman $u = (1; -6; -4)$ , $v = (9; -8; 3)$ y $w = (-9; -5; -8)$ .

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1. Relacionamos tetraedro y paralelepípedo. El tetraedro es la sexta parte del paralelepípedo que arman los tres vectores.

2. Calculamos el producto mixto. $(u \times v) \cdot w = 277$

3. Tomamos valor absoluto. El volumen del paralelepípedo es $277$ .

4. Dividimos por seis. $V_{\text{tetraedro}} = \dfrac{277}{6} \approx 46{,}1667$

5. Controlamos. Olvidarse de dividir por seis es el error más común de este tipo de ejercicio.

Respuesta: el volumen es $\dfrac{277}{6} \approx 46{,}1667$

12. Hallá el valor de $m$ para que $u = (-3; -6; 5)$ , $v = (4; 7; 1)$ y $w = (8; -3; m)$ sean coplanares.

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1. Escribimos la condición. Los tres son coplanares cuando el producto mixto da cero.

2. Calculamos el producto vectorial de los dos conocidos. $u \times v = (-41; 23; 3)$

3. Planteamos el producto escalar con el tercero. $(u \times v) \cdot w = (-41) \cdot 8 + 23 \cdot (-3) + 3 \cdot m = -397 + 3m$

4. Igualamos a cero y despejamos. $-397 + 3m = 0 \Rightarrow m = \dfrac{397}{3}$

5. Verificamos. Con ese valor el producto mixto da cero, así que los tres vectores quedan en un mismo plano.

Respuesta: $m = \dfrac{397}{3}$

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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