Método

Ejercicios: Ecuación vectorial y paramétrica

P=P0+tdP = P_{0} + t d

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la ecuación vectorial y las paramétricas de la recta que pasa por P=(−3;−3;2)P = (-3; -3; 2) y Q=(−5;2;5)Q = (-5; 2; 5).

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1. Vemos qué datos hacen falta. Para una recta se necesitan un punto y una dirección. Tenemos dos puntos, así que el director sale de restarlos.

2. Calculamos el director. d=PQ⃗=Q−P=(−2;5;3)d = \vec{PQ} = Q - P = (-2; 5; 3)

3. Escribimos la ecuación vectorial. (x;y;z)=(−3;−3;2)+t (−2;5;3)(x; y; z) = (-3; -3; 2) + t\,(-2; 5; 3)

4. Separamos componente a componente. x=−3−2t;y=−3+5t;z=2+3tx = -3 - 2t; y = -3 + 5t; z = 2 + 3t

5. Controlamos. Cualquiera de los dos puntos sirve como punto base, y cualquier múltiplo del director sirve como dirección. Por eso la misma recta admite muchas escrituras.

Respuesta: (x;y;z)=(−3;−3;2)+t (−2;5;3)(x; y; z) = (-3; -3; 2) + t\,(-2; 5; 3)

2. La recta LL pasa por P=(−7;7;−4)P = (-7; 7; -4) con director d=(−7;1;−6)d = (-7; 1; -6). Hallá el punto que corresponde a t=−3t = -3.

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1. Escribimos la ecuación. (x;y;z)=(−7;7;−4)+t (−7;1;−6)(x; y; z) = (-7; 7; -4) + t\,(-7; 1; -6)

2. Reemplazamos el parámetro. Ponemos t=−3t = -3 en las tres coordenadas.

3. Hacemos las cuentas. x=−7+(−3)⋅(−7)=14x = -7 + (-3) \cdot (-7) = 14, y=7+(−3)⋅1=4y = 7 + (-3) \cdot 1 = 4, z=−4+(−3)⋅(−6)=14z = -4 + (-3) \cdot (-6) = 14

4. Escribimos el punto. El punto buscado es (14;4;14)(14; 4; 14).

5. Observamos. Cada valor del parámetro da un punto distinto de la recta. Con t=0t = 0 se recupera el punto base (−7;7;−4)(-7; 7; -4).

Respuesta: el punto es (14;4;14)(14; 4; 14)

3. Decidí si el punto A=(−3;25;−8)A = (-3; 25; -8) pertenece a la recta (x;y;z)=(−5;9;−4)+t (−1;−8;2)(x; y; z) = (-5; 9; -4) + t\,(-1; -8; 2).

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1. Planteamos qué hay que verificar. El punto pertenece si existe un valor del parámetro que reproduce sus tres coordenadas. Tiene que ser el mismo valor en las tres.

2. Igualamos coordenada a coordenada. −3=−5+t⋅(−1)-3 = -5 + t \cdot (-1), 25=9+t⋅(−8)25 = 9 + t \cdot (-8), −8=−4+t⋅2-8 = -4 + t \cdot 2

3. Despejamos de la primera y controlamos con las otras. De la primera: t=−3−(−5)−1=−2t = \dfrac{-3 - (-5)}{-1} = -2. Con ese valor las otras dos también se cumplen.

4. Concluimos. Entonces el punto pertenece a la recta.

Respuesta: el punto pertenece a la recta

4. Decidí si L1:(x;y;z)=(−3;−5;7)+t (9;5;2)L_1: (x;y;z) = (-3; -5; 7) + t\,(9; 5; 2) y L2:(x;y;z)=(6;0;9)+s (27;15;6)L_2: (x;y;z) = (6; 0; 9) + s\,(27; 15; 6) son la misma recta.

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1. Sabemos que la escritura no es única. Dos ecuaciones distintas pueden describir la misma recta, así que hay que comparar dirección y punto, no las ecuaciones.

2. Comparamos los directores. (27;15;6)=3 (9;5;2)(27; 15; 6) = 3\,(9; 5; 2), así que son paralelos.

3. Verificamos si un punto de una está en la otra. El punto (6;0;9)(6; 0; 9) se obtiene de L1L_1 con t=1t = 1.

4. Concluimos. Los directores son paralelos y comparten un punto, así que las dos ecuaciones describen la misma recta.

Respuesta: son la misma recta escrita de dos formas distintas

5. Hallá la ecuación vectorial y las paramétricas de la recta que pasa por P=(6;−5;−9)P = (6; -5; -9) y Q=(5;−2;−5)Q = (5; -2; -5).

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1. Vemos qué datos hacen falta. Para una recta se necesitan un punto y una dirección. Tenemos dos puntos, así que el director sale de restarlos.

2. Calculamos el director. d=PQ⃗=Q−P=(−1;3;4)d = \vec{PQ} = Q - P = (-1; 3; 4)

3. Escribimos la ecuación vectorial. (x;y;z)=(6;−5;−9)+t (−1;3;4)(x; y; z) = (6; -5; -9) + t\,(-1; 3; 4)

4. Separamos componente a componente. x=6−t;y=−5+3t;z=−9+4tx = 6 - t; y = -5 + 3t; z = -9 + 4t

5. Controlamos. Cualquiera de los dos puntos sirve como punto base, y cualquier múltiplo del director sirve como dirección. Por eso la misma recta admite muchas escrituras.

Respuesta: (x;y;z)=(6;−5;−9)+t (−1;3;4)(x; y; z) = (6; -5; -9) + t\,(-1; 3; 4)

6. La recta LL pasa por P=(5;−2;7)P = (5; -2; 7) con director d=(−8;−9;−4)d = (-8; -9; -4). Hallá el punto que corresponde a t=3t = 3.

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1. Escribimos la ecuación. (x;y;z)=(5;−2;7)+t (−8;−9;−4)(x; y; z) = (5; -2; 7) + t\,(-8; -9; -4)

2. Reemplazamos el parámetro. Ponemos t=3t = 3 en las tres coordenadas.

3. Hacemos las cuentas. x=5+3⋅(−8)=−19x = 5 + 3 \cdot (-8) = -19, y=−2+3⋅(−9)=−29y = -2 + 3 \cdot (-9) = -29, z=7+3⋅(−4)=−5z = 7 + 3 \cdot (-4) = -5

4. Escribimos el punto. El punto buscado es (−19;−29;−5)(-19; -29; -5).

5. Observamos. Cada valor del parámetro da un punto distinto de la recta. Con t=0t = 0 se recupera el punto base (5;−2;7)(5; -2; 7).

Respuesta: el punto es (−19;−29;−5)(-19; -29; -5)

7. Decidí si el punto A=(10;24;22)A = (10; 24; 22) pertenece a la recta (x;y;z)=(3;1;−4)+t (2;7;8)(x; y; z) = (3; 1; -4) + t\,(2; 7; 8).

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1. Planteamos qué hay que verificar. El punto pertenece si existe un valor del parámetro que reproduce sus tres coordenadas. Tiene que ser el mismo valor en las tres.

2. Igualamos coordenada a coordenada. 10=3+t⋅210 = 3 + t \cdot 2, 24=1+t⋅724 = 1 + t \cdot 7, 22=−4+t⋅822 = -4 + t \cdot 8

3. Despejamos de la primera y controlamos con las otras. De la primera sale t=72t = \dfrac{7}{2}, pero con ese valor la segunda coordenada no da 2424.

4. Concluimos. Entonces el punto no pertenece a la recta.

Respuesta: el punto no pertenece a la recta

8. Decidí si L1:(x;y;z)=(−5;6;5)+t (5;4;5)L_1: (x;y;z) = (-5; 6; 5) + t\,(5; 4; 5) y L2:(x;y;z)=(5;14;15)+s (10;8;10)L_2: (x;y;z) = (5; 14; 15) + s\,(10; 8; 10) son la misma recta.

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1. Sabemos que la escritura no es única. Dos ecuaciones distintas pueden describir la misma recta, así que hay que comparar dirección y punto, no las ecuaciones.

2. Comparamos los directores. (10;8;10)=2 (5;4;5)(10; 8; 10) = 2\,(5; 4; 5), así que son paralelos.

3. Verificamos si un punto de una está en la otra. El punto (5;14;15)(5; 14; 15) se obtiene de L1L_1 con t=2t = 2.

4. Concluimos. Los directores son paralelos y comparten un punto, así que las dos ecuaciones describen la misma recta.

Respuesta: son la misma recta escrita de dos formas distintas

9. Hallá la ecuación vectorial y las paramétricas de la recta que pasa por P=(−6;3;−2)P = (-6; 3; -2) y Q=(−5;−2;3)Q = (-5; -2; 3).

Ver solución

1. Vemos qué datos hacen falta. Para una recta se necesitan un punto y una dirección. Tenemos dos puntos, así que el director sale de restarlos.

2. Calculamos el director. d=PQ⃗=Q−P=(1;−5;5)d = \vec{PQ} = Q - P = (1; -5; 5)

3. Escribimos la ecuación vectorial. (x;y;z)=(−6;3;−2)+t (1;−5;5)(x; y; z) = (-6; 3; -2) + t\,(1; -5; 5)

4. Separamos componente a componente. x=−6+t;y=3−5t;z=−2+5tx = -6 + t; y = 3 - 5t; z = -2 + 5t

5. Controlamos. Cualquiera de los dos puntos sirve como punto base, y cualquier múltiplo del director sirve como dirección. Por eso la misma recta admite muchas escrituras.

Respuesta: (x;y;z)=(−6;3;−2)+t (1;−5;5)(x; y; z) = (-6; 3; -2) + t\,(1; -5; 5)

10. La recta LL pasa por P=(−5;−2;−4)P = (-5; -2; -4) con director d=(−5;−7;7)d = (-5; -7; 7). Hallá el punto que corresponde a t=−2t = -2.

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1. Escribimos la ecuación. (x;y;z)=(−5;−2;−4)+t (−5;−7;7)(x; y; z) = (-5; -2; -4) + t\,(-5; -7; 7)

2. Reemplazamos el parámetro. Ponemos t=−2t = -2 en las tres coordenadas.

3. Hacemos las cuentas. x=−5+(−2)⋅(−5)=5x = -5 + (-2) \cdot (-5) = 5, y=−2+(−2)⋅(−7)=12y = -2 + (-2) \cdot (-7) = 12, z=−4+(−2)⋅7=−18z = -4 + (-2) \cdot 7 = -18

4. Escribimos el punto. El punto buscado es (5;12;−18)(5; 12; -18).

5. Observamos. Cada valor del parámetro da un punto distinto de la recta. Con t=0t = 0 se recupera el punto base (−5;−2;−4)(-5; -2; -4).

Respuesta: el punto es (5;12;−18)(5; 12; -18)

11. Decidí si el punto A=(18;12;−17)A = (18; 12; -17) pertenece a la recta (x;y;z)=(7;7;−7)+t (4;1;−4)(x; y; z) = (7; 7; -7) + t\,(4; 1; -4).

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1. Planteamos qué hay que verificar. El punto pertenece si existe un valor del parámetro que reproduce sus tres coordenadas. Tiene que ser el mismo valor en las tres.

2. Igualamos coordenada a coordenada. 18=7+t⋅418 = 7 + t \cdot 4, 12=7+t⋅112 = 7 + t \cdot 1, −17=−7+t⋅(−4)-17 = -7 + t \cdot (-4)

3. Despejamos de la primera y controlamos con las otras. De la primera sale t=114t = \dfrac{11}{4}, pero con ese valor la segunda coordenada no da 1212.

4. Concluimos. Entonces el punto no pertenece a la recta.

Respuesta: el punto no pertenece a la recta

12. Decidí si L1:(x;y;z)=(−6;−8;−4)+t (8;−1;−1)L_1: (x;y;z) = (-6; -8; -4) + t\,(8; -1; -1) y L2:(x;y;z)=(2;−9;−5)+s (16;−2;−2)L_2: (x;y;z) = (2; -9; -5) + s\,(16; -2; -2) son la misma recta.

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1. Sabemos que la escritura no es única. Dos ecuaciones distintas pueden describir la misma recta, así que hay que comparar dirección y punto, no las ecuaciones.

2. Comparamos los directores. (16;−2;−2)=2 (8;−1;−1)(16; -2; -2) = 2\,(8; -1; -1), así que son paralelos.

3. Verificamos si un punto de una está en la otra. El punto (2;−9;−5)(2; -9; -5) se obtiene de L1L_1 con t=1t = 1.

4. Concluimos. Los directores son paralelos y comparten un punto, así que las dos ecuaciones describen la misma recta.

Respuesta: son la misma recta escrita de dos formas distintas

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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