Método

Ejercicios: Ecuación simétrica e implícita

(x−x0)/d1=(y−y0)/d2=(z−z0)/d3(x - x_{0})/d_{1} = (y - y_{0})/d_{2} = (z - z_{0})/d_{3}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Pasá a forma simétrica la recta x=−3−5t;y=7−3t;z=9+8tx = -3 - 5t; y = 7 - 3t; z = 9 + 8t.

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1. Vemos de dónde sale la simétrica. Se despeja el parámetro de cada ecuación paramétrica y se igualan las tres expresiones.

2. Despejamos de cada una. t=x+3−5t = \dfrac{x + 3}{-5}, t=y−7−3t = \dfrac{y - 7}{-3}, t=z−98t = \dfrac{z - 9}{8}

3. Igualamos todo. x+3−5=y−7−3=z−98\dfrac{x + 3}{-5} = \dfrac{y - 7}{-3} = \dfrac{z - 9}{8}

4. Verificamos leyendo los datos. Los números que restan a cada variable son las coordenadas del punto (−3;7;9)(-3; 7; 9), y los denominadores son las componentes del director (−5;−3;8)(-5; -3; 8).

Respuesta: x+3−5=y−7−3=z−98\dfrac{x + 3}{-5} = \dfrac{y - 7}{-3} = \dfrac{z - 9}{8}

2. Escribí la recta que pasa por P=(−8;−2;2)P = (-8; -2; 2) con director d=(1;0;4)d = (1; 0; 4) en forma simétrica, prestando atención a la componente nula.

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1. Detectamos el problema. La segunda componente del director es cero, así que no se puede dividir por ella. La forma simétrica completa no sirve tal cual.

2. Vemos qué significa geométricamente. Que la componente en yy sea cero quiere decir que la recta no avanza en esa dirección: la coordenada yy se mantiene constante en −2-2.

3. Escribimos la parte que sí se puede. x+81=z−24\dfrac{x + 8}{1} = \dfrac{z - 2}{4}

4. Agregamos la condición aparte. Y se aclara y=−2y = -2, que es la coordenada que no varía.

Respuesta: x+81=z−24\dfrac{x + 8}{1} = \dfrac{z - 2}{4}, con y=−2y = -2

3. La recta está dada en forma simétrica por x+4−8=y+2−5=z+22\dfrac{x + 4}{-8} = \dfrac{y + 2}{-5} = \dfrac{z + 2}{2}. Hallá su ecuación vectorial y un punto que le pertenezca.

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1. Leemos los datos de la expresión. En la forma simétrica los números que restan a cada variable dan el punto, y los denominadores dan el director.

2. Extraemos el punto. P0=(−4;−2;−2)P_0 = (-4; -2; -2)

3. Extraemos el director. d=(−8;−5;2)d = (-8; -5; 2)

4. Escribimos la vectorial. (x;y;z)=(−4;−2;−2)+t (−8;−5;2)(x; y; z) = (-4; -2; -2) + t\,(-8; -5; 2)

5. Damos otro punto. Con t=1t = 1 queda (−12;−7;0)(-12; -7; 0), que también pertenece a la recta.

Respuesta: (x;y;z)=(−4;−2;−2)+t (−8;−5;2)(x; y; z) = (-4; -2; -2) + t\,(-8; -5; 2), y por ejemplo el punto (−12;−7;0)(-12; -7; 0) le pertenece

4. Hallá la ecuación implícita de la recta del plano que pasa por P=(4;−1)P = (4; -1) con director d=(−6;2)d = (-6; 2).

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1. Recordamos la diferencia con el espacio. En el plano una recta se describe con una sola ecuación lineal. En el espacio harían falta dos, porque una recta espacial es la intersección de dos planos.

2. Hallamos un vector normal. Un vector perpendicular al director es n=(2;6)n = (2; 6), que sale de intercambiar las componentes y cambiarle el signo a una.

3. Planteamos la ecuación. 2x+6y=c2x + 6y = c, y el valor de cc sale de reemplazar el punto.

4. Calculamos cc. 2⋅4+6⋅(−1)=22 \cdot 4 + 6 \cdot (-1) = 2

5. Escribimos el resultado. La ecuación es 2x+6y=22x + 6y = 2.

Respuesta: 2x+6y=22x + 6y = 2

5. Pasá a forma simétrica la recta x=3+t;y=−1+9t;z=−3+3tx = 3 + t; y = -1 + 9t; z = -3 + 3t.

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1. Vemos de dónde sale la simétrica. Se despeja el parámetro de cada ecuación paramétrica y se igualan las tres expresiones.

2. Despejamos de cada una. t=x−31t = \dfrac{x - 3}{1}, t=y+19t = \dfrac{y + 1}{9}, t=z+33t = \dfrac{z + 3}{3}

3. Igualamos todo. x−31=y+19=z+33\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y + 1}{9} = \dfrac{z + 3}{3}

4. Verificamos leyendo los datos. Los números que restan a cada variable son las coordenadas del punto (3;−1;−3)(3; -1; -3), y los denominadores son las componentes del director (1;9;3)(1; 9; 3).

Respuesta: x−31=y+19=z+33\dfrac{x - 3}{1} = \dfrac{y + 1}{9} = \dfrac{z + 3}{3}

6. Escribí la recta que pasa por P=(1;−7;8)P = (1; -7; 8) con director d=(1;0;4)d = (1; 0; 4) en forma simétrica, prestando atención a la componente nula.

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1. Detectamos el problema. La segunda componente del director es cero, así que no se puede dividir por ella. La forma simétrica completa no sirve tal cual.

2. Vemos qué significa geométricamente. Que la componente en yy sea cero quiere decir que la recta no avanza en esa dirección: la coordenada yy se mantiene constante en −7-7.

3. Escribimos la parte que sí se puede. x−11=z−84\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{z - 8}{4}

4. Agregamos la condición aparte. Y se aclara y=−7y = -7, que es la coordenada que no varía.

Respuesta: x−11=z−84\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{z - 8}{4}, con y=−7y = -7

7. La recta está dada en forma simétrica por x+5−2=y+18=z−7−7\dfrac{x + 5}{-2} = \dfrac{y + 1}{8} = \dfrac{z - 7}{-7}. Hallá su ecuación vectorial y un punto que le pertenezca.

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1. Leemos los datos de la expresión. En la forma simétrica los números que restan a cada variable dan el punto, y los denominadores dan el director.

2. Extraemos el punto. P0=(−5;−1;7)P_0 = (-5; -1; 7)

3. Extraemos el director. d=(−2;8;−7)d = (-2; 8; -7)

4. Escribimos la vectorial. (x;y;z)=(−5;−1;7)+t (−2;8;−7)(x; y; z) = (-5; -1; 7) + t\,(-2; 8; -7)

5. Damos otro punto. Con t=1t = 1 queda (−7;7;0)(-7; 7; 0), que también pertenece a la recta.

Respuesta: (x;y;z)=(−5;−1;7)+t (−2;8;−7)(x; y; z) = (-5; -1; 7) + t\,(-2; 8; -7), y por ejemplo el punto (−7;7;0)(-7; 7; 0) le pertenece

8. Hallá la ecuación implícita de la recta del plano que pasa por P=(8;1)P = (8; 1) con director d=(2;6)d = (2; 6).

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1. Recordamos la diferencia con el espacio. En el plano una recta se describe con una sola ecuación lineal. En el espacio harían falta dos, porque una recta espacial es la intersección de dos planos.

2. Hallamos un vector normal. Un vector perpendicular al director es n=(6;−2)n = (6; -2), que sale de intercambiar las componentes y cambiarle el signo a una.

3. Planteamos la ecuación. 6x−2y=c6x - 2y = c, y el valor de cc sale de reemplazar el punto.

4. Calculamos cc. 6⋅8+(−2)⋅1=466 \cdot 8 + (-2) \cdot 1 = 46

5. Escribimos el resultado. La ecuación es 6x−2y=466x - 2y = 46.

Respuesta: 6x−2y=466x - 2y = 46

9. Pasá a forma simétrica la recta x=−7+3t;y=−1+2t;z=−6+8tx = -7 + 3t; y = -1 + 2t; z = -6 + 8t.

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1. Vemos de dónde sale la simétrica. Se despeja el parámetro de cada ecuación paramétrica y se igualan las tres expresiones.

2. Despejamos de cada una. t=x+73t = \dfrac{x + 7}{3}, t=y+12t = \dfrac{y + 1}{2}, t=z+68t = \dfrac{z + 6}{8}

3. Igualamos todo. x+73=y+12=z+68\dfrac{x + 7}{3} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z + 6}{8}

4. Verificamos leyendo los datos. Los números que restan a cada variable son las coordenadas del punto (−7;−1;−6)(-7; -1; -6), y los denominadores son las componentes del director (3;2;8)(3; 2; 8).

Respuesta: x+73=y+12=z+68\dfrac{x + 7}{3} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z + 6}{8}

10. Escribí la recta que pasa por P=(−6;−1;6)P = (-6; -1; 6) con director d=(−6;0;−9)d = (-6; 0; -9) en forma simétrica, prestando atención a la componente nula.

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1. Detectamos el problema. La segunda componente del director es cero, así que no se puede dividir por ella. La forma simétrica completa no sirve tal cual.

2. Vemos qué significa geométricamente. Que la componente en yy sea cero quiere decir que la recta no avanza en esa dirección: la coordenada yy se mantiene constante en −1-1.

3. Escribimos la parte que sí se puede. x+6−6=z−6−9\dfrac{x + 6}{-6} = \dfrac{z - 6}{-9}

4. Agregamos la condición aparte. Y se aclara y=−1y = -1, que es la coordenada que no varía.

Respuesta: x+6−6=z−6−9\dfrac{x + 6}{-6} = \dfrac{z - 6}{-9}, con y=−1y = -1

11. La recta está dada en forma simétrica por x+27=y+86=z+52\dfrac{x + 2}{7} = \dfrac{y + 8}{6} = \dfrac{z + 5}{2}. Hallá su ecuación vectorial y un punto que le pertenezca.

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1. Leemos los datos de la expresión. En la forma simétrica los números que restan a cada variable dan el punto, y los denominadores dan el director.

2. Extraemos el punto. P0=(−2;−8;−5)P_0 = (-2; -8; -5)

3. Extraemos el director. d=(7;6;2)d = (7; 6; 2)

4. Escribimos la vectorial. (x;y;z)=(−2;−8;−5)+t (7;6;2)(x; y; z) = (-2; -8; -5) + t\,(7; 6; 2)

5. Damos otro punto. Con t=1t = 1 queda (5;−2;−3)(5; -2; -3), que también pertenece a la recta.

Respuesta: (x;y;z)=(−2;−8;−5)+t (7;6;2)(x; y; z) = (-2; -8; -5) + t\,(7; 6; 2), y por ejemplo el punto (5;−2;−3)(5; -2; -3) le pertenece

12. Hallá la ecuación implícita de la recta del plano que pasa por P=(−1;3)P = (-1; 3) con director d=(−6;3)d = (-6; 3).

Ver solución

1. Recordamos la diferencia con el espacio. En el plano una recta se describe con una sola ecuación lineal. En el espacio harían falta dos, porque una recta espacial es la intersección de dos planos.

2. Hallamos un vector normal. Un vector perpendicular al director es n=(3;6)n = (3; 6), que sale de intercambiar las componentes y cambiarle el signo a una.

3. Planteamos la ecuación. 3x+6y=c3x + 6y = c, y el valor de cc sale de reemplazar el punto.

4. Calculamos cc. 3⋅(−1)+6⋅3=153 \cdot (-1) + 6 \cdot 3 = 15

5. Escribimos el resultado. La ecuación es 3x+6y=153x + 6y = 15.

Respuesta: 3x+6y=153x + 6y = 15

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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