Método

Ejercicios: Ángulo entre vectores y ortogonalidad

cos⁡θ=(u⋅v)/(∣u∣⋅∣v∣)\cos \theta = (u \cdot v) / (|u| \cdot |v|)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el ángulo entre u=(−4;7;−5)u = (-4; 7; -5) y v=(−8;7;7)v = (-8; 7; 7), en grados.

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1. Escribimos la fórmula. El coseno del ángulo es el producto escalar dividido por el producto de los módulos.

2. Calculamos el producto escalar. u⋅v=46u \cdot v = 46

3. Calculamos los dos módulos. ∣u∣=90|u| = \sqrt{90} y ∣v∣=162|v| = \sqrt{162}

4. Armamos el coseno. cos⁡θ=4690⋅162≈0,381\cos\theta = \dfrac{46}{\sqrt{90}\cdot\sqrt{162}} \approx 0{,}381

5. Tomamos arcocoseno. θ≈67,61∘\theta \approx 67{,}61^\circ

6. Controlamos. El coseno siempre queda entre −1-1 y 11. Si da fuera de ese rango, faltó dividir por algún módulo.

Respuesta: θ≈67,61∘\theta \approx 67{,}61^\circ

2. Decidí si u=(−5;2;−9)u = (-5; 2; -9) y v=(−9;−5;9)v = (-9; -5; 9) son ortogonales.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son ortogonales cuando el ángulo entre ellos es recto, y eso equivale a que el producto escalar valga cero.

2. Calculamos el producto escalar. u⋅v=(−5)⋅(−9)+2⋅(−5)+(−9)⋅9=−46u \cdot v = (-5) \cdot (-9) + 2 \cdot (-5) + (-9) \cdot 9 = -46

3. Leemos el resultado. El producto escalar vale −46-46, distinto de cero.

4. Concluimos. Los vectores no son ortogonales. No hace falta calcular el ángulo: con el signo del producto escalar alcanza.

Respuesta: no son ortogonales

3. Hallá un vector perpendicular a u=(−5;6)u = (-5; 6) en el plano, y verificalo.

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1. Usamos el truco del plano. En dos dimensiones alcanza con intercambiar las componentes y cambiarle el signo a una de las dos.

2. Lo aplicamos. Intercambiando y cambiando el signo de la primera queda v=(−6;−5)v = (-6; -5).

3. Verificamos con el producto escalar. u⋅v=(−5)⋅(−6)+6⋅(−5)=30−30=0u \cdot v = (-5) \cdot (-6) + 6 \cdot (-5) = 30 - 30 = 0

4. Observamos. El opuesto (6;5)(6; 5) también sirve, y cualquier múltiplo de estos. En el plano hay una sola dirección perpendicular, pero infinitos vectores en ella.

Respuesta: v=(−6;−5)v = (-6; -5) es perpendicular a uu, porque u⋅v=0u \cdot v = 0

4. Calculá el ángulo interior en el vértice AA del triángulo de vértices A=(−3;−6;−6)A = (-3; -6; -6), B=(−8;8;−1)B = (-8; 8; -1) y C=(4;8;−3)C = (4; 8; -3).

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1. Elegimos los vectores correctos. El ángulo en AA lo forman los dos lados que salen de AA, así que hay que usar AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}, los dos con origen en AA.

2. Armamos los vectores. AB⃗=(−5;14;5)\vec{AB} = (-5; 14; 5) y AC⃗=(7;14;3)\vec{AC} = (7; 14; 3)

3. Calculamos producto escalar y módulos. AB⃗⋅AC⃗=176\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 176, ∣AB⃗∣=246|\vec{AB}| = \sqrt{246}, ∣AC⃗∣=254|\vec{AC}| = \sqrt{254}

4. Hallamos el ángulo. θ≈45,24∘\theta \approx 45{,}24^\circ

5. Controlamos. Si hubiéramos usado BA⃗\vec{BA} en vez de AB⃗\vec{AB}, el ángulo daría el suplementario, que no es el interior del triángulo.

Respuesta: el ángulo en AA es de aproximadamente 45,24∘45{,}24^\circ

5. Calculá el ángulo entre u=(3;−9;5)u = (3; -9; 5) y v=(3;4;2)v = (3; 4; 2), en grados.

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1. Escribimos la fórmula. El coseno del ángulo es el producto escalar dividido por el producto de los módulos.

2. Calculamos el producto escalar. u⋅v=−17u \cdot v = -17

3. Calculamos los dos módulos. ∣u∣=115|u| = \sqrt{115} y ∣v∣=29|v| = \sqrt{29}

4. Armamos el coseno. cos⁡θ=−17115⋅29≈−0,2944\cos\theta = \dfrac{-17}{\sqrt{115}\cdot\sqrt{29}} \approx -0{,}2944

5. Tomamos arcocoseno. θ≈107,12∘\theta \approx 107{,}12^\circ

6. Controlamos. El coseno siempre queda entre −1-1 y 11. Si da fuera de ese rango, faltó dividir por algún módulo.

Respuesta: θ≈107,12∘\theta \approx 107{,}12^\circ

6. Decidí si u=(−5;−9;4)u = (-5; -9; 4) y v=(−9;5;0)v = (-9; 5; 0) son ortogonales.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son ortogonales cuando el ángulo entre ellos es recto, y eso equivale a que el producto escalar valga cero.

2. Calculamos el producto escalar. u⋅v=(−5)⋅(−9)+(−9)⋅5+4⋅0=0u \cdot v = (-5) \cdot (-9) + (-9) \cdot 5 + 4 \cdot 0 = 0

3. Leemos el resultado. El producto escalar da cero.

4. Concluimos. Los vectores son ortogonales. No hace falta calcular el ángulo: con el signo del producto escalar alcanza.

Respuesta: son ortogonales

7. Hallá un vector perpendicular a u=(2;−5)u = (2; -5) en el plano, y verificalo.

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1. Usamos el truco del plano. En dos dimensiones alcanza con intercambiar las componentes y cambiarle el signo a una de las dos.

2. Lo aplicamos. Intercambiando y cambiando el signo de la primera queda v=(5;2)v = (5; 2).

3. Verificamos con el producto escalar. u⋅v=2⋅5+(−5)⋅2=10−10=0u \cdot v = 2 \cdot 5 + (-5) \cdot 2 = 10 - 10 = 0

4. Observamos. El opuesto (−5;−2)(-5; -2) también sirve, y cualquier múltiplo de estos. En el plano hay una sola dirección perpendicular, pero infinitos vectores en ella.

Respuesta: v=(5;2)v = (5; 2) es perpendicular a uu, porque u⋅v=0u \cdot v = 0

8. Calculá el ángulo interior en el vértice AA del triángulo de vértices A=(6;4;−8)A = (6; 4; -8), B=(3;5;4)B = (3; 5; 4) y C=(3;−6;−3)C = (3; -6; -3).

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1. Elegimos los vectores correctos. El ángulo en AA lo forman los dos lados que salen de AA, así que hay que usar AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}, los dos con origen en AA.

2. Armamos los vectores. AB⃗=(−3;1;12)\vec{AB} = (-3; 1; 12) y AC⃗=(−3;−10;5)\vec{AC} = (-3; -10; 5)

3. Calculamos producto escalar y módulos. AB⃗⋅AC⃗=59\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 59, ∣AB⃗∣=154|\vec{AB}| = \sqrt{154}, ∣AC⃗∣=134|\vec{AC}| = \sqrt{134}

4. Hallamos el ángulo. θ≈65,75∘\theta \approx 65{,}75^\circ

5. Controlamos. Si hubiéramos usado BA⃗\vec{BA} en vez de AB⃗\vec{AB}, el ángulo daría el suplementario, que no es el interior del triángulo.

Respuesta: el ángulo en AA es de aproximadamente 65,75∘65{,}75^\circ

9. Calculá el ángulo entre u=(−8;−5;6)u = (-8; -5; 6) y v=(−3;−8;6)v = (-3; -8; 6), en grados.

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1. Escribimos la fórmula. El coseno del ángulo es el producto escalar dividido por el producto de los módulos.

2. Calculamos el producto escalar. u⋅v=100u \cdot v = 100

3. Calculamos los dos módulos. ∣u∣=125|u| = \sqrt{125} y ∣v∣=109|v| = \sqrt{109}

4. Armamos el coseno. cos⁡θ=100125⋅109≈0,8567\cos\theta = \dfrac{100}{\sqrt{125}\cdot\sqrt{109}} \approx 0{,}8567

5. Tomamos arcocoseno. θ≈31,05∘\theta \approx 31{,}05^\circ

6. Controlamos. El coseno siempre queda entre −1-1 y 11. Si da fuera de ese rango, faltó dividir por algún módulo.

Respuesta: θ≈31,05∘\theta \approx 31{,}05^\circ

10. Decidí si u=(−4;1;3)u = (-4; 1; 3) y v=(1;4;0)v = (1; 4; 0) son ortogonales.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son ortogonales cuando el ángulo entre ellos es recto, y eso equivale a que el producto escalar valga cero.

2. Calculamos el producto escalar. u⋅v=(−4)⋅1+1⋅4+3⋅0=0u \cdot v = (-4) \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 0

3. Leemos el resultado. El producto escalar da cero.

4. Concluimos. Los vectores son ortogonales. No hace falta calcular el ángulo: con el signo del producto escalar alcanza.

Respuesta: son ortogonales

11. Hallá un vector perpendicular a u=(−3;−2)u = (-3; -2) en el plano, y verificalo.

Ver solución

1. Usamos el truco del plano. En dos dimensiones alcanza con intercambiar las componentes y cambiarle el signo a una de las dos.

2. Lo aplicamos. Intercambiando y cambiando el signo de la primera queda v=(2;−3)v = (2; -3).

3. Verificamos con el producto escalar. u⋅v=(−3)⋅2+(−2)⋅(−3)=−6+6=0u \cdot v = (-3) \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) = -6 + 6 = 0

4. Observamos. El opuesto (−2;3)(-2; 3) también sirve, y cualquier múltiplo de estos. En el plano hay una sola dirección perpendicular, pero infinitos vectores en ella.

Respuesta: v=(2;−3)v = (2; -3) es perpendicular a uu, porque u⋅v=0u \cdot v = 0

12. Calculá el ángulo interior en el vértice AA del triángulo de vértices A=(−1;1;6)A = (-1; 1; 6), B=(5;−3;−1)B = (5; -3; -1) y C=(3;9;7)C = (3; 9; 7).

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1. Elegimos los vectores correctos. El ángulo en AA lo forman los dos lados que salen de AA, así que hay que usar AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}, los dos con origen en AA.

2. Armamos los vectores. AB⃗=(6;−4;−7)\vec{AB} = (6; -4; -7) y AC⃗=(4;8;1)\vec{AC} = (4; 8; 1)

3. Calculamos producto escalar y módulos. AB⃗⋅AC⃗=−15\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -15, ∣AB⃗∣=101|\vec{AB}| = \sqrt{101}, ∣AC⃗∣=81|\vec{AC}| = \sqrt{81}

4. Hallamos el ángulo. θ≈99,55∘\theta \approx 99{,}55^\circ

5. Controlamos. Si hubiéramos usado BA⃗\vec{BA} en vez de AB⃗\vec{AB}, el ángulo daría el suplementario, que no es el interior del triángulo.

Respuesta: el ángulo en AA es de aproximadamente 99,55∘99{,}55^\circ

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