Integradores de Variables aleatorias

Un integrador junta varios temas de la unidad en un solo ejercicio, con consignas encadenadas a), b), c) y d) — como en un parcial.

Una variable aleatoria $X$ cuenta cuántas veces se traba una impresora por día, y su tabla de probabilidad puntual depende de una constante: 0: $k$ · 1: $2k$ · 2: $3k$ · 3: $2k$ .

a)Hallá el valor de $k$ para que la tabla sea una función de probabilidad puntual.
b)Con el valor de a), calculá $F(1)$ , la función de distribución acumulada evaluada en uno.
c)Con la tabla completa de b), calculá la esperanza de $X$ .
d)Con la esperanza de c), calculá la varianza y el desvío estándar de $X$ .

Ver solución

1. Escribimos la condición. Una función de probabilidad puntual tiene que sumar uno sobre todos los valores posibles, y ninguna de sus probabilidades puede ser negativa.

2. Sumamos la columna. $k + 2k + 3k + 2k = 8k$ .

3. Despejamos. $8k = 1$ , así que $k = \dfrac{1}{8}$ .

4. Verificamos el signo. Con $k = \dfrac{1}{8}$ las cuatro probabilidades quedan positivas, así que la solución sirve.

Respuesta: $k = \dfrac{1}{8}$

1. Escribimos qué es la acumulada. $F(t)$ es la probabilidad de que la variable no supere a $t$ , así que se suman todas las probabilidades de los valores menores o iguales.

2. Reemplazamos las probabilidades. Con $k = \dfrac{1}{8}$ la tabla queda $0$ : $\dfrac{1}{8}$ · $1$ : $\dfrac{1}{4}$ · $2$ : $\dfrac{3}{8}$ · $3$ : $\dfrac{1}{4}$ .

3. Sumamos hasta uno. $F(1) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}$ .

4. Controlamos. El valor queda entre cero y uno y es mayor que la probabilidad puntual de cero, como corresponde a una acumulada.

Respuesta: $F(1) = \dfrac{3}{8}$

1. Escribimos la definición. La esperanza es la suma de cada valor por su probabilidad.

2. Armamos la suma. $0 \cdot \dfrac{1}{8}$ + $1 \cdot \dfrac{1}{4}$ + $2 \cdot \dfrac{3}{8}$ + $3 \cdot \dfrac{1}{4}$ da $\dfrac{7}{4}$ .

3. Interpretamos. En promedio la impresora se traba $\dfrac{7}{4}$ veces por día, un número que no es ninguno de los valores posibles y no tiene por qué serlo.

Respuesta: $E(X) = \dfrac{7}{4}$

1. Calculamos la esperanza del cuadrado. $0^{2} \cdot \dfrac{1}{8}$ + $1^{2} \cdot \dfrac{1}{4}$ + $2^{2} \cdot \dfrac{3}{8}$ + $3^{2} \cdot \dfrac{1}{4}$ da $4$ .

2. Restamos el cuadrado de la esperanza. $V(X) = 4 - \dfrac{7}{4}^{2} = \dfrac{15}{16}$ .

3. Sacamos la raíz. El desvío estándar es $\sqrt{\dfrac{15}{16}} = \dfrac{\sqrt{15}}{4} \approx 0{,}9682$ .

4. Controlamos. La varianza da positiva y el desvío queda del orden de la distancia típica entre los valores, que es lo esperable.

Respuesta: $V(X) = \dfrac{15}{16}$ y desvío $\dfrac{\sqrt{15}}{4} \approx 0{,}9682$

Repasá: Función de probabilidad puntual · La función de distribución acumulada · Esperanza · Varianza y desvío estándar

En una guardia se anota la cantidad de ambulancias disponibles al empezar el turno, con esta tabla: 0: $0{,}1$ · 1: $0{,}2$ · 2: $0{,}4$ · 3: $0{,}2$ · 4: $0{,}1$ .

a)Escribí el recorrido de la variable aleatoria y decí cuántos valores distintos puede tomar.
b)Verificá que la tabla del enunciado es una función de probabilidad puntual válida.
c)Con la tabla validada en b), calculá $F(2)$ .
d)Calculá la varianza y el desvío estándar de la cantidad de ambulancias.

Ver solución

1. Reconocemos la variable aleatoria. A cada turno posible se le asigna un número, la cantidad de ambulancias disponibles. Esa asignación es la variable aleatoria.

2. Vemos que es discreta. Los valores posibles se pueden listar uno por uno y no hay nada entre dos valores consecutivos: la variable es discreta.

3. Listamos el recorrido. Los valores son $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , o sea $5$ valores distintos.

Respuesta: el recorrido es $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , en total $5$ valores

1. Escribimos las dos condiciones. Ninguna probabilidad puede ser negativa y la suma sobre todo el recorrido de a) tiene que dar uno.

2. Chequeamos los signos. Las cinco probabilidades de la tabla son positivas.

3. Sumamos. $0{,}1$ + $0{,}2$ + $0{,}4$ + $0{,}2$ + $0{,}1$ da $1$ .

4. Cerramos. Se cumplen las dos condiciones, así que la tabla define una función de probabilidad puntual.

Respuesta: las probabilidades son no negativas y suman $1$ : sí es una función de probabilidad puntual

1. Escribimos la definición. $F(2)$ es la probabilidad de que haya a lo sumo dos ambulancias disponibles.

2. Sumamos las probabilidades correspondientes. $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}4 = 0{,}7$ .

3. Interpretamos. En el $70$ por ciento de los turnos hay dos ambulancias o menos.

Respuesta: $F(2) = 0{,}7$

1. Calculamos primero la esperanza. $0 \cdot 0{,}1$ + $1 \cdot 0{,}2$ + $2 \cdot 0{,}4$ + $3 \cdot 0{,}2$ + $4 \cdot 0{,}1$ da $2$ .

2. Calculamos la esperanza del cuadrado. $0^{2} \cdot 0{,}1$ + $1^{2} \cdot 0{,}2$ + $2^{2} \cdot 0{,}4$ + $3^{2} \cdot 0{,}2$ + $4^{2} \cdot 0{,}1$ da $5{,}2$ .

3. Restamos. $V(X) = 5{,}2 - 2^{2} = \dfrac{6}{5}$ .

4. Sacamos la raíz. El desvío es $\sqrt{\dfrac{6}{5}} = \dfrac{\sqrt{30}}{5} \approx 1{,}0954$ ambulancias.

Respuesta: $V(X) = \dfrac{6}{5}$ y desvío $\dfrac{\sqrt{30}}{5} \approx 1{,}0954$

Repasá: Variable aleatoria discreta · Función de probabilidad puntual · La función de distribución acumulada · Varianza y desvío estándar

De un lote de $20$ piezas hay $8$ falladas. Se eligen $5$ piezas al azar sin reposición, y en un segundo control se eligen otras $5$ pero devolviendo cada pieza antes de sacar la siguiente.

a)En el primer control, calculá la probabilidad de que salgan exactamente dos piezas falladas.
b)En el segundo control, donde se devuelve cada pieza, calculá la probabilidad de que salgan exactamente dos falladas.
c)Calculá la esperanza de la cantidad de piezas falladas del segundo control.
d)Con la esperanza de c), calculá la varianza y el desvío estándar del segundo control.

Ver solución

1. Elegimos el modelo. Se saca sin reposición de una población finita con dos clases, así que la cantidad de falladas sigue una hipergeométrica.

2. Contamos las formas favorables. Elegir $2$ falladas entre $8$ y $3$ sanas entre $12$ : $\dbinom{8}{2} \cdot \dbinom{12}{3} = 6160$ .

3. Contamos las formas posibles. $\dbinom{20}{5} = 15504$ .

4. Dividimos. $\dfrac{6160}{15504} = \dfrac{385}{969} \approx 0{,}3973$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{385}{969} \approx 0{,}3973$

1. Vemos qué cambia con la reposición. Al devolver la pieza, la proporción de falladas se mantiene en $\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}$ en cada extracción, y las extracciones se vuelven independientes.

2. Elegimos el modelo. Con $5$ intentos independientes y probabilidad constante, la cantidad de falladas es binomial.

3. Aplicamos la fórmula. $\dbinom{5}{2} \cdot \dfrac{2}{5}^{2} \cdot \dfrac{3}{5}^{3} = \dfrac{216}{625} \approx 0{,}3456$ .

4. Comparamos con a). Da parecido a $0{,}3973$ pero no igual: sin reposición cada extracción cambia la composición del lote y las extracciones dejan de ser independientes.

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{216}{625} \approx 0{,}3456$

1. Usamos el modelo de b). Es una binomial de $5$ intentos con probabilidad $\dfrac{2}{5}$ .

2. Aplicamos la fórmula de la esperanza. $5 \cdot \dfrac{2}{5} = 2$ .

3. Interpretamos. En promedio salen $2$ piezas falladas de cada $5$ , que es exactamente la proporción del lote llevada al tamaño de la muestra.

Respuesta: $E(X) = 2$ piezas falladas

1. Escribimos la fórmula. En una binomial la varianza es la cantidad de intentos por la probabilidad de éxito por la de fracaso.

2. Reemplazamos. $5 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{5}$ .

3. Sacamos la raíz. El desvío es $\sqrt{\dfrac{6}{5}} = \dfrac{\sqrt{30}}{5} \approx 1{,}0954$ piezas.

4. Controlamos. La varianza es menor que la esperanza $2$ , cosa que siempre pasa en una binomial porque el factor que multiplica es menor que uno.

Respuesta: $V(X) = \dfrac{6}{5}$ y desvío $\dfrac{\sqrt{30}}{5} \approx 1{,}0954$

Repasá: La hipergeométrica · Bernoulli y la binomial · Esperanza · Varianza y desvío estándar

Una máquina produce piezas de forma independiente y cada una sale fallada con probabilidad $0{,}25$ . Se controlan $6$ piezas seguidas y, aparte, se van revisando piezas hasta encontrar la primera fallada.

a)Decidí qué modelo corresponde a la cantidad de piezas falladas entre las controladas, justificando con la situación.
b)Con el modelo de a), calculá la probabilidad de que haya exactamente dos piezas falladas entre las controladas.
c)En la revisión que sigue hasta encontrar la primera fallada, calculá la probabilidad de que la primera fallada sea la tercera pieza revisada.
d)Volviendo a la binomial de a), acotá con la desigualdad de Chebyshev la probabilidad de que la cantidad de falladas caiga a menos de dos desvíos de su esperanza.

Ver solución

1. Miramos si la cantidad de intentos está fijada. Sí: se controlan $6$ piezas, ni una más ni una menos.

2. Miramos si los intentos son independientes con probabilidad constante. Cada pieza sale fallada con probabilidad $0{,}25$ sin depender de las anteriores, porque la máquina produce de forma independiente.

3. Elegimos el modelo. Cantidad fija de intentos independientes con dos resultados y probabilidad constante: la variable es binomial.

4. Descartamos las otras. No es hipergeométrica porque no se saca de una población finita sin reponer, y no es geométrica porque la cantidad de intentos no depende de cuándo aparece la primera fallada.

Respuesta: corresponde una binomial con $6$ intentos y probabilidad $0{,}25$

1. Escribimos la fórmula. La probabilidad de tener exactamente dos éxitos es la cantidad de formas de elegir cuáles son, por la probabilidad de esos dos, por la de que las otras salgan bien.

2. Contamos las posiciones. $\dbinom{6}{2} = 15$ formas de elegir cuáles dos piezas fallan.

3. Multiplicamos las probabilidades. $15 \cdot 0{,}25^{2} \cdot 0{,}75^{4} = \dfrac{1215}{4096} \approx 0{,}2966$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{1215}{4096} \approx 0{,}2966$

1. Vemos qué cambia respecto de a). Ahora la cantidad de intentos no está fijada: se revisa hasta que aparece la primera fallada, así que el número de piezas revisadas es la variable.

2. Elegimos el modelo. Contar intentos hasta el primer éxito, con probabilidad constante, es una geométrica.

3. Armamos el suceso. Que la tercera sea la primera fallada quiere decir que las dos primeras salieron bien y la tercera falló.

4. Calculamos. $0{,}75^{2} \cdot 0{,}25 = \dfrac{9}{64} \approx 0{,}1406$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{9}{64} \approx 0{,}1406$

1. Calculamos esperanza y desvío. $E(X) = 6 \cdot 0{,}25 = \dfrac{3}{2}$ y $V(X) = 6 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = \dfrac{9}{8}$ , así que el desvío es $\dfrac{3 \sqrt{2}}{4} \approx 1{,}0607$ .

2. Escribimos la desigualdad. Chebyshev dice que la probabilidad de alejarse más de $k$ desvíos de la esperanza es a lo sumo uno sobre $k$ al cuadrado, cualquiera sea la distribución.

3. Reemplazamos con $k = 2$ . La probabilidad de quedar dentro es al menos $1 - \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{3}{4}$ .

4. Anotamos el alcance de la cota. Es una cota, no el valor exacto: sirve sin conocer la distribución, y por eso suele quedar holgada cuando sí se la conoce, como acá.

Respuesta: la probabilidad es al menos $\dfrac{3}{4}$

Repasá: Cuál modelo corresponde · Bernoulli y la binomial · La geométrica · La desigualdad de Chebyshev

A una mesa de ayuda llegan en promedio $2$ reclamos por hora, de forma independiente y a tasa constante. Además, cada reclamo que entra se resuelve en el primer contacto con probabilidad $0{,}2$ .

a)Decidí qué modelo corresponde a la cantidad de reclamos que llegan en una hora.
b)Con el modelo de a), calculá la probabilidad de que en una hora lleguen exactamente tres reclamos.
c)Usando la acumulada de la Poisson, calculá la probabilidad de que en una hora lleguen al menos tres reclamos.
d)Comparando con la probabilidad de c), decidí cuál es menos probable: que en una hora lleguen al menos tres reclamos, o que el primero que se resuelve en el primer contacto sea el cuarto reclamo que entra.

Ver solución

1. Miramos qué se cuenta. Se cuentan eventos que ocurren en un intervalo de tiempo, sin un tope de intentos: no hay un número fijo de oportunidades.

2. Miramos qué dato da el enunciado. Da una tasa media por unidad de tiempo, $2$ reclamos por hora, y dice que llegan de forma independiente y a tasa constante.

3. Elegimos el modelo. Contar eventos en un intervalo con tasa constante e independencia es una Poisson.

4. Descartamos la binomial. Para que fuera binomial habría que poder decir cuántos intentos hubo, y acá no hay intentos sino tiempo.

Respuesta: corresponde una Poisson de tasa $2$ por hora

1. Escribimos la fórmula. La probabilidad de $k$ eventos es la tasa elevada a $k$ , por la exponencial de menos la tasa, dividido el factorial de $k$ .

2. Reemplazamos. $\dfrac{2^{3}}{3!} \cdot e^{-2} = \dfrac{8}{6} \cdot e^{-2}$ .

3. Simplificamos. Queda $\dfrac{4}{3 e^{2}} \approx 0{,}1804$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{4}{3 e^{2}} \approx 0{,}1804$

1. Damos vuelta el suceso. Al menos tres es el complemento de a lo sumo dos, y la acumulada da directamente esa segunda parte.

2. Armamos la acumulada hasta dos. $F(2)$ suma las probabilidades puntuales de cero, uno y dos: $(1 + 2 + 2) e^{-2} = \dfrac{5}{e^{2}} \approx 0{,}6767$ .

3. Restamos de uno. $1 - \dfrac{5}{e^{2}} = 1 - \dfrac{5}{e^{2}} \approx 0{,}3233$ .

4. Controlamos contra b). Tiene que ser mayor que la probabilidad puntual de exactamente tres, $0{,}1804$ , porque el suceso de b) está contenido en este.

Respuesta: la probabilidad es $1 - \dfrac{5}{e^{2}} \approx 0{,}3233$

1. Vemos qué se cuenta ahora. Ya no se cuentan reclamos por hora sino reclamos hasta que ocurre el primer éxito, así que el modelo cambia.

2. Elegimos el modelo. Intentos independientes con probabilidad constante $0{,}2$ hasta el primer éxito: es una geométrica.

3. Armamos el suceso. Los tres primeros no se resuelven en el primer contacto y el cuarto sí.

4. Calculamos. $0{,}8^{3} \cdot 0{,}2 = \dfrac{64}{625} \approx 0{,}1024$ .

5. Comparamos con c). La de c) dio $\approx 0{,}3233$ y esta da $\approx 0{,}1024$ : es menos probable que el cuarto reclamo sea el primero resuelto en el primer contacto que que lleguen al menos tres reclamos en una hora.

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{64}{625} \approx 0{,}1024$ , menor que la de c) ( $\approx 0{,}3233$ )

Repasá: Cuál modelo corresponde · La Poisson · La acumulada y el cálculo de probabilidades · La geométrica

Una comisión tiene $12$ integrantes, de los cuales $5$ son de primer año. Se sortean $4$ para una tarea, sin reponer a los ya sorteados.

a)Definí la variable aleatoria que cuenta los sorteados de primer año y escribí su recorrido.
b)Decidí qué modelo corresponde a esa variable.
c)Con el modelo de b), calculá la probabilidad de que se sorteen exactamente dos personas de primer año.
d)Con esperanza y desvío de esa hipergeométrica, acotá con Chebyshev la probabilidad de quedar a menos de dos desvíos de la esperanza.

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1. Definimos la variable. A cada resultado del sorteo le asignamos cuántos de los sorteados son de primer año. Eso es una variable aleatoria discreta.

2. Buscamos el valor más chico posible. Podrían salir todos de años superiores, y hay $7$ , más que los $4$ que se sortean, así que el mínimo es $0$ .

3. Buscamos el valor más grande posible. No pueden salir más de $5$ de primer año ni más de $4$ en total, así que el máximo es $4$ .

Respuesta: el recorrido va de $0$ a $4$

1. Miramos si hay reposición. No: una vez sorteada, la persona no vuelve a la urna, así que las extracciones no son independientes.

2. Miramos la población. Es finita y tiene dos clases: $5$ de primer año y $7$ del resto.

3. Elegimos el modelo. Muestra sin reposición de una población finita con dos clases: es una hipergeométrica.

4. Descartamos la binomial. La binomial pediría probabilidad constante en cada extracción, y acá cambia en cuanto sale la primera persona.

Respuesta: corresponde una hipergeométrica con $12$ personas, $5$ de primer año y $4$ sorteadas

1. Contamos los casos favorables. $\dbinom{5}{2} \cdot \dbinom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210$ .

2. Contamos los casos posibles. $\dbinom{12}{4} = 495$ .

3. Dividimos. $\dfrac{210}{495} = \dfrac{14}{33} \approx 0{,}4242$ .

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{14}{33} \approx 0{,}4242$

1. Calculamos la esperanza. $4 \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{3}$ .

2. Calculamos la varianza. Con el factor de corrección por población finita queda $V(X) = \dfrac{70}{99} \approx 0{,}7071$ , y el desvío $\dfrac{\sqrt{770}}{33} \approx 0{,}8409$ .

3. Aplicamos la desigualdad. Con $k = 2$ , la probabilidad de quedar a menos de dos desvíos es al menos $1 - \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{3}{4}$ .

4. Anotamos por qué sirve. El recorrido de a) tiene apenas $5$ valores y la cota vale igual, sin necesidad de sumar la tabla entera.

Respuesta: la probabilidad es al menos $\dfrac{3}{4}$

Repasá: Variable aleatoria discreta · Cuál modelo corresponde · La hipergeométrica · La desigualdad de Chebyshev

Los micros de una línea pasan por una parada según un proceso de Poisson, con una tasa media de $3$ micros por hora.

a)Calculá la probabilidad de que en una hora no pase ningún micro.
b)Calculá la esperanza de la cantidad de micros por hora y explicá qué relación tiene con el dato del enunciado.
c)El tiempo entre dos micros consecutivos es exponencial con la misma tasa. Calculá la probabilidad de esperar más de una hora.
d)Calculá la esperanza y la varianza del tiempo de espera entre micros.

Ver solución

1. Elegimos el modelo. La cantidad de micros en una hora es Poisson de tasa $3$ .

2. Escribimos la probabilidad puntual de cero. $\dfrac{3^{0}}{0!} \cdot e^{-3}$ , y el primer factor vale uno.

3. Calculamos. Queda $e^{-3} \approx 0{,}0498$ .

4. Interpretamos. Alrededor de $5$ de cada $100$ horas no pasa ningún micro.

Respuesta: la probabilidad es $e^{-3} \approx 0{,}0498$

1. Escribimos la esperanza de una Poisson. En una Poisson la esperanza es la propia tasa.

2. Reemplazamos. $E(X) = 3$ micros por hora.

3. Explicamos la coincidencia. No es casualidad: el parámetro de la Poisson se define justamente como la cantidad media de eventos por unidad de tiempo, así que el dato del enunciado ya es la esperanza.

Respuesta: $E(X) = 3$ micros por hora

1. Vinculamos los dos modelos. Si los eventos siguen un proceso de Poisson, el tiempo entre eventos consecutivos es exponencial con la misma tasa.

2. Escribimos la probabilidad de la cola. Para una exponencial, la probabilidad de superar un tiempo $t$ es $e^{-3 t}$ .

3. Reemplazamos en una hora. $e^{-3} = e^{-3} \approx 0{,}0498$ .

4. Comparamos con a). Da el mismo número que la probabilidad de que en una hora no pase ningún micro, y tiene que ser así: esperar más de una hora es exactamente que en esa hora no haya pasado ninguno.

Respuesta: la probabilidad es $e^{-3} \approx 0{,}0498$

1. Escribimos la esperanza de una exponencial. Es la inversa de la tasa, porque la tasa cuenta eventos por hora y la esperanza mide horas por evento.

2. Reemplazamos. $E(T) = \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$ de hora, o sea $20$ minutos.

3. Calculamos la varianza. Es la inversa del cuadrado de la tasa: $V(T) = \dfrac{1}{3^{2}} = \dfrac{1}{9}$ .

4. Controlamos con c). El desvío coincide con la esperanza, cosa típica de la exponencial, y explica que esperar más de una hora, tres veces la media, siga siendo posible.

Respuesta: $E(T) = \dfrac{1}{3}$ de hora y $V(T) = \dfrac{1}{9}$

Repasá: La Poisson · Esperanza · La uniforme y la exponencial · Esperanza y varianza de una continua

El tiempo de reacción de un sensor, en segundos, tiene densidad $f(x) = k x^{2}$ en el intervalo $[0; 2]$ y vale cero fuera de ahí.

a)Hallá el valor de $k$ para que $f$ sea una densidad.
b)Con la densidad de a), escribí la función de distribución acumulada dentro del intervalo.
c)Calculá la esperanza y la varianza del tiempo de reacción.
d)Con la esperanza y la varianza de c), acotá con Chebyshev la probabilidad de que el tiempo caiga a menos de dos desvíos de la esperanza.

Ver solución

1. Escribimos la condición. Una densidad tiene que ser no negativa en todo su soporte y su integral sobre el soporte tiene que valer uno.

2. Integramos. $\displaystyle\int_{0}^{2} k x^{2} \, dx = k \cdot \dfrac{2^{3}}{3} = \dfrac{8k}{3}$ .

3. Despejamos. $\dfrac{8k}{3} = 1$ da $k = \dfrac{3}{8}$ .

4. Chequeamos el signo. Con $k = \dfrac{3}{8}$ la función es positiva en todo el intervalo, así que sirve como densidad.

Respuesta: $k = \dfrac{3}{8}$

1. Escribimos la definición. La acumulada en un punto es la integral de la densidad desde el extremo izquierdo del soporte hasta ese punto.

2. Integramos. $\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{3}{8} t^{2} \, dt = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{x^{3}}{3}$ .

3. Simplificamos. Queda $F(x) = \dfrac{x^{3}}{8}$ para $x$ entre $0$ y $2$ .

4. Controlamos los extremos. En $x = 0$ da cero y en $x = 2$ da uno, que es lo que tiene que cumplir una acumulada.

Respuesta: $F(x) = \dfrac{x^{3}}{8}$ dentro del intervalo

1. Escribimos la esperanza. $\displaystyle\int_{0}^{2} x \cdot \dfrac{3}{8} x^{2} \, dx = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2^{4}}{4} = \dfrac{3}{2}$ .

2. Calculamos la esperanza del cuadrado. $\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2} \cdot \dfrac{3}{8} x^{2} \, dx = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2^{5}}{5} = \dfrac{12}{5}$ .

3. Restamos. $V(X) = \dfrac{12}{5} - \dfrac{3}{2}^{2} = \dfrac{3}{20}$ .

4. Controlamos. La esperanza $\dfrac{3}{2}$ cae dentro del intervalo y está corrida hacia la derecha, lo cual es coherente con una densidad que crece con el cuadrado.

Respuesta: $E(X) = \dfrac{3}{2}$ y $V(X) = \dfrac{3}{20}$

1. Calculamos el desvío. $\sqrt{\dfrac{3}{20}} = \dfrac{\sqrt{15}}{10} \approx 0{,}3873$ segundos.

2. Escribimos la desigualdad. La probabilidad de alejarse más de $k$ desvíos de la esperanza es a lo sumo uno sobre $k$ al cuadrado, valga la distribución que valga.

3. Reemplazamos con $k = 2$ . La probabilidad de quedar dentro es al menos $1 - \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{3}{4}$ .

4. Anotamos qué gana y qué pierde la cota. Con la densidad de a) se puede calcular el valor exacto integrando, y va a dar más que la cota. Chebyshev sirve porque no necesita la densidad.

Respuesta: la probabilidad es al menos $\dfrac{3}{4}$

Repasá: De lo discreto a lo continuo: la densidad · La acumulada y el cálculo de probabilidades · Esperanza y varianza de una continua · La desigualdad de Chebyshev

El tiempo que tarda un colectivo en cubrir un tramo, en minutos, se reparte parejo entre $2$ y $7$ : su densidad es $f(x) = \dfrac{1}{5}$ en el intervalo $[2; 7]$ y cero fuera.

a)Verificá que la función del enunciado es una densidad.
b)Calculá la probabilidad de que el tramo tarde entre tres y cinco minutos.
c)Con la densidad de a), escribí la función de distribución acumulada dentro del intervalo y verificá con ella el resultado de b).
d)Calculá la esperanza y la varianza del tiempo del tramo.

Ver solución

1. Escribimos las dos condiciones. Tiene que ser no negativa en todo el soporte y su integral sobre el soporte tiene que dar uno.

2. Chequeamos el signo. La función vale $\dfrac{1}{5}$ en todo el intervalo, que es positivo.

3. Integramos. El área es la de un rectángulo de base $5$ y altura $\dfrac{1}{5}$ : $5 \cdot \dfrac{1}{5} = 1$ .

4. Cerramos. Se cumplen las dos condiciones, así que sí es una densidad, y es la de una distribución uniforme.

Respuesta: es no negativa y su integral vale $1$ : sí es una densidad

1. Usamos que la densidad es constante. En una uniforme la probabilidad de un intervalo es proporcional a su largo, así que alcanza con multiplicar por la altura.

2. Medimos el intervalo. De $3$ a $5$ hay $2$ minutos.

3. Multiplicamos. $2 \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$ .

4. Controlamos. Ese intervalo ocupa $\dfrac{2}{5}$ del soporte total, y en una uniforme la probabilidad coincide con esa proporción.

Respuesta: la probabilidad es $\dfrac{2}{5}$

1. Integramos desde el extremo izquierdo. $\displaystyle\int_{2}^{x} \dfrac{1}{5} \, dt = \dfrac{1}{5} (x - 2)$ .

2. Escribimos la acumulada. $F(x) = \dfrac{x - 2}{5}$ para $x$ entre $2$ y $7$ .

3. Verificamos b). $F(5) - F(3) = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$ , el mismo número.

4. Controlamos los extremos. En $2$ la acumulada da cero y en $7$ da uno.

Respuesta: $F(x) = \dfrac{x - 2}{5}$ dentro del intervalo

1. Usamos la simetría. La densidad es constante, así que la esperanza cae justo en el punto medio del intervalo.

2. Calculamos la esperanza. $\dfrac{2 + 7}{2} = \dfrac{9}{2}$ minutos.

3. Calculamos la varianza. Para una uniforme es el largo al cuadrado sobre doce: $\dfrac{5^{2}}{12} = \dfrac{25}{12}$ .

4. Sacamos el desvío. $\sqrt{\dfrac{25}{12}} = \dfrac{5 \sqrt{3}}{6} \approx 1{,}4434$ minutos, poco menos de un tercio del largo del intervalo.

Respuesta: $E(X) = \dfrac{9}{2}$ minutos y $V(X) = \dfrac{25}{12}$

Repasá: De lo discreto a lo continuo: la densidad · La uniforme y la exponencial · La acumulada y el cálculo de probabilidades · Esperanza y varianza de una continua

10.

Se registran dos indicadores binarios de una máquina, $X$ e $Y$ , y su distribución conjunta celda por celda es: $(0; 0)$ : $0{,}3$ · $(0; 1)$ : $0{,}1$ · $(1; 0)$ : $0{,}2$ · $(1; 1)$ : $0{,}4$ .

a)Leyendo la distribución conjunta, escribí la probabilidad de que los dos indicadores valgan cero y verificá que la tabla suma uno.
b)Con la tabla de a), calculá las distribuciones marginales y decidí si $X$ e $Y$ son independientes.
c)Con las marginales de b), calculá la covarianza entre $X$ e $Y$ .
d)Tomando la marginal de $X$ de b) como una variable aleatoria por sí sola, escribí su recorrido y cuántos valores distintos toma.

Ver solución

1. Ubicamos la celda. El cruce del primer valor de $X$ con el primero de $Y$ vale $0{,}3$ .

2. Escribimos qué significa. Es la probabilidad de que las dos variables tomen a la vez esos valores, no la de cada una por separado.

3. Sumamos toda la tabla. $0{,}3$ + $0{,}1$ + $0{,}2$ + $0{,}4$ da $1$ .

4. Cerramos. Que la suma dé uno es la condición para que la tabla sea una distribución conjunta.

Respuesta: la celda vale $0{,}3$ y la tabla suma $1$

1. Sumamos por filas para la marginal de $X$ . $0{,}4$ · $0{,}6$ .

2. Sumamos por columnas para la marginal de $Y$ . $0{,}5$ · $0{,}5$ .

3. Comparamos celda por celda. La primera celda tendría que valer $0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$ si hubiera independencia, y la tabla dice $0{,}3$ .

4. Concluimos. La celda observada no coincide con el producto de las marginales, así que las dos variables no son independientes: alcanza con que falle una celda.

Respuesta: marginales de $X$ : $0{,}4$ , $0{,}6$ ; marginales de $Y$ : $0{,}5$ , $0{,}5$ ; no son independientes

1. Calculamos las dos esperanzas. $E(X) = 0{,}6$ y $E(Y) = 0{,}5$ , cada una con su marginal.

2. Calculamos la esperanza del producto. Sumando el producto de los dos valores por su probabilidad conjunta queda $E(XY) = 0{,}4$ .

3. Restamos. $\text{Cov}(X, Y) = 0{,}4 - 0{,}6 \cdot 0{,}5 = \dfrac{1}{10}$ .

4. Leemos el signo. Da positiva, así que cuando una variable toma su valor alto la otra tiende a acompañarla.

Respuesta: la covarianza vale $\dfrac{1}{10}$

1. Aislamos la marginal. La marginal de $X$ que salió en b) es, por sí sola, la distribución de una variable aleatoria discreta: le asigna una probabilidad a cada valor posible de $X$ y esas probabilidades suman uno.

2. Listamos los valores. $X$ toma $0$ y $1$ , con probabilidades $0{,}4$ y $0{,}6$ .

3. Contamos. El recorrido tiene $2$ valores distintos, y entre los dos cubren todo lo que puede pasar.

4. Anotamos qué se perdió. Mirando solo la marginal se pierde toda la información sobre $Y$ : por eso la independencia de b) no se puede decidir con las marginales solas, hacen falta las celdas.

Respuesta: el recorrido es $0$ y $1$ , o sea $2$ valores

Repasá: Distribución conjunta · Marginales e independencia · Covarianza · Variable aleatoria discreta

11.

Un tablero registra la cantidad de alarmas de dos tipos, $X$ e $Y$ , y la distribución conjunta celda por celda es: $(0; 0)$ : $0{,}1$ · $(0; 1)$ : $0{,}2$ · $(0; 2)$ : $0{,}1$ · $(1; 0)$ : $0{,}2$ · $(1; 1)$ : $0{,}1$ · $(1; 2)$ : $0{,}3$ .

a)Identificá en la distribución conjunta la celda donde ninguna de las dos alarmas se activa y comprobá que las seis probabilidades suman uno.
b)Sumando por filas y por columnas, obtené las distribuciones marginales de $X$ y de $Y$ , y decidí si hay independencia.
c)Tomando la marginal de $Y$ de b), calculá $F(1)$ , su función de distribución acumulada evaluada en uno.
d)Con las marginales de b) y la acumulada de c), obtené el coeficiente de correlación lineal entre las dos alarmas.

Ver solución

1. Ubicamos la celda. El cruce del primer valor de $X$ con el primero de $Y$ vale $0{,}1$ .

2. Escribimos qué significa. Es la probabilidad de que las dos variables tomen a la vez esos valores, no la de cada una por separado.

3. Sumamos toda la tabla. $0{,}1$ + $0{,}2$ + $0{,}1$ + $0{,}2$ + $0{,}1$ + $0{,}3$ da $1$ .

4. Cerramos. Que la suma dé uno es la condición para que la tabla sea una distribución conjunta.

Respuesta: la celda vale $0{,}1$ y la tabla suma $1$

1. Sumamos por filas para la marginal de $X$ . $0{,}4$ · $0{,}6$ .

2. Sumamos por columnas para la marginal de $Y$ . $0{,}3$ · $0{,}3$ · $0{,}4$ .

3. Comparamos celda por celda. La primera celda tendría que valer $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ si hubiera independencia, y la tabla dice $0{,}1$ .

4. Concluimos. La celda observada no coincide con el producto de las marginales, así que las variables no son independientes.

Respuesta: marginales de $X$ : $0{,}4$ , $0{,}6$ ; marginales de $Y$ : $0{,}3$ , $0{,}3$ , $0{,}4$ ; no son independientes

1. Recuperamos la marginal. De b) sale que $Y$ toma $0$ , $1$ y $2$ con probabilidades $0{,}3$ , $0{,}3$ y $0{,}4$ .

2. Escribimos la definición. $F(1)$ es la probabilidad de que $Y$ no supere a uno, así que se suman las probabilidades de los valores menores o iguales.

3. Sumamos. $0{,}3 + 0{,}3 = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ .

4. Controlamos. Queda entre cero y uno y es menor que uno, porque todavía falta el último valor del recorrido.

Respuesta: $F(1) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$

1. Calculamos las dos varianzas. $V(X) = 0{,}24$ y $V(Y) = 0{,}69$ .

2. Escribimos el coeficiente. Es la covarianza dividida por el producto de los dos desvíos.

3. Reemplazamos. $\dfrac{\dfrac{1}{25}}{\sqrt{0{,}24 \cdot 0{,}69}} = \dfrac{\sqrt{46}}{69} \approx 0{,}0983$ .

4. Interpretamos. Es positivo pero chico: hay asociación lineal, aunque débil.

Respuesta: el coeficiente de correlación vale $\dfrac{\sqrt{46}}{69}$ $\approx 0{,}0983$

Repasá: Distribución conjunta · Marginales e independencia · La función de distribución acumulada · Coeficiente de correlación lineal

12.

Dos controles de un proceso se resumen en las variables $X$ e $Y$ , con distribución conjunta celda por celda: $(1; 0)$ : $0{,}12$ · $(1; 1)$ : $0{,}28$ · $(2; 0)$ : $0{,}18$ · $(2; 1)$ : $0{,}42$ .

a)Tomá de la distribución conjunta la primera celda de la tabla y verificá que el total de las cuatro probabilidades es uno.
b)Obtené las dos distribuciones marginales y usalas para decidir si las variables $X$ e $Y$ son independientes.
c)A partir de las marginales de b), calculá la covarianza del par.
d)Con la covarianza de c) y los dos desvíos, calculá el coeficiente de correlación lineal e interpretá el resultado.

Ver solución

1. Ubicamos la celda. El cruce del primer valor de $X$ con el primero de $Y$ vale $0{,}12$ .

2. Escribimos qué significa. Es la probabilidad de que las dos variables tomen a la vez esos valores, no la de cada una por separado.

3. Sumamos toda la tabla. $0{,}12$ + $0{,}28$ + $0{,}18$ + $0{,}42$ da $1$ .

4. Cerramos. Que la suma dé uno es la condición para que la tabla sea una distribución conjunta.

Respuesta: la celda vale $0{,}12$ y la tabla suma $1$

1. Sumamos por filas para la marginal de $X$ . $0{,}4$ · $0{,}6$ .

2. Sumamos por columnas para la marginal de $Y$ . $0{,}3$ · $0{,}7$ .

3. Comparamos celda por celda. La primera celda tendría que valer $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ si hubiera independencia, y la tabla dice $0{,}12$ . Recorriendo las demás pasa lo mismo.

4. Concluimos. El producto de las marginales reproduce la celda, y recorriendo las cuatro pasa lo mismo, así que $X$ e $Y$ son independientes.

Respuesta: marginales de $X$ : $0{,}4$ , $0{,}6$ ; marginales de $Y$ : $0{,}3$ , $0{,}7$ ; son independientes

1. Calculamos las dos esperanzas. $E(X) = 1{,}6$ y $E(Y) = 0{,}7$ , cada una con su marginal.

2. Calculamos la esperanza del producto. Sumando el producto de los dos valores por su probabilidad conjunta queda $E(XY) = 1{,}12$ .

3. Restamos. $\text{Cov}(X, Y) = 1{,}12 - 1{,}6 \cdot 0{,}7 = 0$ .

4. Leemos el signo. Da cero, que es lo que tiene que pasar cuando las variables son independientes.

Respuesta: la covarianza vale $0$

1. Calculamos las dos varianzas. $V(X) = 0{,}24$ y $V(Y) = 0{,}21$ .

2. Escribimos el coeficiente. Es la covarianza dividida por el producto de los dos desvíos.

3. Reemplazamos. $\dfrac{0}{\sqrt{0{,}24 \cdot 0{,}21}} = 0$ .

4. Interpretamos. Vale cero. Cuidado con la vuelta: la independencia implica correlación nula, pero correlación nula no implica independencia, porque el coeficiente solo mide asociación lineal.

Respuesta: el coeficiente de correlación vale $0$

Repasá: Distribución conjunta · Marginales e independencia · Covarianza · Coeficiente de correlación lineal

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