Integradores de La normal y el muestreo

1. Escribimos la combinación. El peso total es la suma de las dos variables, con coeficiente uno cada una.

2. Sumamos las medias. $50 + 200 = 250$ gramos.

3. Sumamos las varianzas, no los desvíos. $3^{2} + 4^{2} = 25$, y recién ahí se saca la raíz: $\sqrt{25} = 5$.

4. Anotamos el error típico. Sumar los desvíos daría $7$, que es más grande y está mal: lo que se suma son las varianzas.

Respuesta: el peso total es normal de media $250$ y desvío $5$

b)

1. Escribimos la estandarización. Se le resta la media y se divide por el desvío, así la variable queda con media cero y desvío uno.

2. Reemplazamos. $\dfrac{260 - 250}{5} = 2$.

3. Interpretamos. Los $260$ gramos están a $2$ desvíos por encima de la media.

Respuesta: $z = 2$

c)

1. Pasamos a la normal estándar. Pesar a lo sumo $260$ gramos es lo mismo que tener un valor estandarizado de a lo sumo $2$.

2. Buscamos en la tabla. El área a la izquierda de $2$ en la normal estándar es $0{,}9772$.

3. Escribimos la probabilidad. La probabilidad pedida vale $0{,}9772$.

4. Controlamos. Da bastante más que un medio, coherente con que el valor esté por encima de la media.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}9772$

d)

1. Separamos las dos distribuciones. La de a) describe el peso de UN envase lleno. Acá interesa el promedio de $9$, que se mueve mucho menos.

2. Escribimos el centro. El promedio se centra en la misma media $250$ gramos: es un estimador insesgado.

3. Escribimos el desvío. Es el desvío de a) dividido por la raíz del tamaño de muestra: $\dfrac{5}{\sqrt{9}} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}6667$.

4. Comparamos. Pasa de $5$ a $\dfrac{5}{3}$: promediar nueve envases achica la variabilidad a un tercio, porque la reducción va con la raíz del tamaño y no con el tamaño.

Respuesta: el peso promedio es normal de media $250$ y desvío $\dfrac{5}{3} \approx 1{,}6667$

1. Escribimos la combinación. La diferencia es la primera variable menos la segunda, con coeficientes uno y menos uno.

2. Restamos las medias. $30 - 22 = 8$ minutos.

3. Sumamos las varianzas. El coeficiente entra al cuadrado, así que el menos uno se pierde: $4^{2} + 3^{2} = 25$.

4. Sacamos el desvío. $\sqrt{25} = 5$ minutos. Restar las varianzas daría $7$, y es el error típico del tema: la variabilidad de una diferencia es mayor que la de cada parte, no menor.

Respuesta: la diferencia es normal de media $8$ y desvío $5$

b)

1. Escribimos qué representa el cero. La diferencia vale cero justo cuando los dos turnos tardan lo mismo.

2. Estandarizamos. $\dfrac{0 - 8}{5} = - \dfrac{8}{5} \approx -1{,}6$.

3. Leemos el signo. Da negativo porque el cero está por debajo de la media $8$: lo habitual es que el turno mañana tarde más.

Respuesta: $z = - \dfrac{8}{5}$

c)

1. Traducimos el suceso. Que el turno mañana tarde más quiere decir que la diferencia es positiva.

2. Pasamos a la estándar. Es el área a la derecha de $- \dfrac{8}{5}$.

3. Buscamos en la tabla. El área a la derecha de $- \dfrac{8}{5}$ vale $0{,}9452$.

4. Interpretamos. En casi el noventa y cinco por ciento de los días el turno mañana tarda más, aunque en algunos no.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}9452$

d)

1. Entramos a la tabla por el área. El $z$ que deja $90$ por ciento a su izquierda es $z = \dfrac{32}{25}$.

2. Deshacemos la estandarización. $8 + \dfrac{32}{25} \cdot 5 = \dfrac{72}{5} \approx 14{,}4$ minutos.

3. Interpretamos. En nueve de cada diez días la diferencia entre los dos turnos no supera los $14{,}4$ minutos.

Respuesta: la diferencia es $\dfrac{72}{5} \approx 14{,}4$ minutos

1. Chequeamos que la aproximación valga. $np = 100 \cdot 0{,}3 = 30$ y $n(1 - p) = 100 \cdot 0{,}7 = 70$, los dos por encima de cinco.

2. Escribimos la normal que aproxima. Media $np = 30$ y varianza $np(1 - p) = 21$, o sea desvío $\sqrt{21} \approx 4{,}5826$.

3. Aplicamos la corrección por continuidad. Se pasa de una variable que solo toma enteros a una continua, así que a lo sumo $35$ se convierte en menor o igual que $35{,}5$.

4. Buscamos en la tabla. El área correspondiente vale $0{,}8850$.

Respuesta: la probabilidad aproximada es $0{,}8850$

b)

1. Tomamos la media y el desvío de a). Media $30$ y desvío $\sqrt{21}$.

2. Estandarizamos. $\dfrac{24 - 30}{\sqrt{21}} = - \dfrac{2 \sqrt{21}}{7} \approx -1{,}3093$.

3. Leemos el resultado. El valor $24$ está a poco más de un desvío por debajo de la media.

Respuesta: $z = - \dfrac{2 \sqrt{21}}{7} \approx -1{,}3093$

c)

1. Traducimos el suceso. Al menos $24$ es el área a la derecha del valor estandarizado de b).

2. Buscamos en la tabla. El área a la derecha de $-1{,}3093$ vale $0{,}9048$.

3. Controlamos. Da alto, coherente con que $24$ esté por debajo de la media $30$.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}9048$

d)

1. Vinculamos las dos variables. La proporción muestral es la cantidad dividida por $100$, así que las dos preguntas son la misma con otra escala.

2. Escribimos la distribución de la proporción. Media $0{,}3$ y error estándar $\sqrt{\dfrac{0{,}3 \cdot 0{,}7}{100}} = \dfrac{\sqrt{21}}{100} \approx 0{,}0458$.

3. Estandarizamos y buscamos en la tabla. El área correspondiente vale $0{,}8624$.

4. Comparamos con a). Da parecido a $0{,}8850$ y no idéntico, porque acá no se aplica la corrección por continuidad.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}8624$

1. Chequeamos las condiciones. $np = 60$ y $n(1 - p) = 90$, los dos bien por encima de cinco, así que la aproximación normal es razonable.

2. Escribimos los parámetros. Media $60$ y varianza $36$, o sea desvío $6$.

3. Corregimos por continuidad. Al menos $70$ hogares pasa a ser mayor o igual que $69{,}5$ en la variable continua.

4. Buscamos en la tabla. El área a la derecha vale $0{,}0567$.

Respuesta: la probabilidad aproximada es $0{,}0567$

b)

1. Escribimos la media. La proporción muestral tiene por media la proporción poblacional, $0{,}4$: es un estimador insesgado.

2. Escribimos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{150}} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$.

3. Chequeamos que se pueda usar la normal. Con $np$ y $n(1 - p)$ por encima de cinco, como se vio en a), la distribución de la proporción se aproxima bien por una normal.

Respuesta: media $0{,}4$ y error estándar $0{,}04$

c)

1. Estandarizamos. $\dfrac{0{,}46 - 0{,}4}{0{,}04} = \dfrac{3}{2}$.

2. Buscamos el área a la derecha. En la tabla, el área a la derecha de $1{,}5$ vale $0{,}0668$.

3. Comparamos con a). Da del mismo orden que $0{,}0567$: preguntar por al menos $70$ hogares y por una proporción de al menos $0{,}46$ es casi lo mismo, y la diferencia viene de la corrección por continuidad.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}0668$

d)

1. Usamos la normal de a). Media $60$ y desvío $6$.

2. Entramos a la tabla por el área. El $z$ que deja $95$ por ciento a su izquierda es $z = \dfrac{329}{200}$.

3. Deshacemos la estandarización. $60 + \dfrac{329}{200} \cdot 6 = \dfrac{6987}{100} = 69{,}87$ hogares.

4. Interpretamos. En diecinueve de cada veinte muestras, la cantidad de hogares con fibra no pasa de $69{,}87$.

Respuesta: el valor es $69{,}87$ hogares

1. Separamos parámetro de estadístico. El parámetro es la edad media de los $500$ socios, un número fijo que vale $40$ años. El estadístico se calcula sobre la muestra y cambia de muestra en muestra.

2. Leemos el estadístico. En esta muestra la media muestral vale $38$ años.

3. Anotamos por qué no coinciden. La diferencia no es un error de medición: es la variabilidad propia del muestreo, y es lo que se va a cuantificar en las consignas siguientes.

Respuesta: el estadístico es la media muestral y vale $38$ años

b)

1. Vemos que la pregunta va al revés. En a) se leyó un estadístico. Acá se conoce la probabilidad y se busca el valor, así que se entra a la tabla por el área y se sale con el $z$.

2. Buscamos el $z$ de la tabla. El valor que deja $90$ por ciento a su izquierda es $z = 1{,}28$.

3. Deshacemos la estandarización. $40 + 1{,}28 \cdot 12 = \dfrac{1384}{25} = 55{,}36$ años.

4. Marcamos sobre qué distribución se trabajó. Este cálculo es sobre la edad de UN socio, con desvío $12$. La distribución del promedio de la muestra es otra y es la que se usa en las consignas siguientes.

Respuesta: la edad es $\dfrac{1384}{25} = 55{,}36$ años

c)

1. Definimos el error estándar. Es el desvío de la distribución del estadístico, no el de la población.

2. Lo calculamos. $\dfrac{12}{\sqrt{50}} = \dfrac{6 \sqrt{2}}{5} \approx 1{,}6971$.

3. Lo distinguimos de b). En b) se trabajó con el desvío de un socio, $12$. Este otro número es el desvío del PROMEDIO, y es el que se usa en todos los intervalos y todos los tests.

4. Anotamos qué mide. Mide cuánto se mueve la media muestral de muestra en muestra, no cuánto se dispersan las edades de los socios.

Respuesta: el error estándar vale $\dfrac{6 \sqrt{2}}{5} \approx 1{,}6971$

d)

1. Calculamos qué fracción de la población se muestreó. $\dfrac{50}{500} = 0{,}1$, o sea el $10$ por ciento.

2. Aplicamos el criterio. Cuando la muestra supera el cinco por ciento de la población, el muestreo sin reposición reduce la variabilidad y hay que corregir.

3. Calculamos el factor. $\sqrt{\dfrac{500 - 50}{500 - 1}} = \sqrt{\dfrac{450}{499}} = \dfrac{15 \sqrt{998}}{499} \approx 0{,}9496$.

4. Vemos el efecto sobre b). El error estándar de c) se multiplica por ese factor, que es menor que uno, así que la variabilidad real es algo menor que la calculada sin corregir.

Respuesta: corresponde corregir, y el factor vale $\dfrac{15 \sqrt{998}}{499} \approx 0{,}9496$

1. Definimos muestra aleatoria. Es un conjunto de $80$ expedientes elegidos de modo que todos los expedientes tengan la misma chance de entrar, y que la elección de uno no condicione la de otro.

2. Distinguimos el estadístico. Un estadístico es cualquier número calculado solo con los datos de la muestra, sin usar valores poblacionales.

3. Leemos el valor observado. Acá el estadístico es la demora media muestral y vale $16$ días.

4. Calculamos la proporción. $\dfrac{80}{800} = 0{,}1$: la muestra es el $10$ por ciento del total de expedientes.

Respuesta: el estadístico observado es la demora media muestral, $16$ días; la muestra es el $10$ por ciento del total

b)

1. Escribimos el centro. La distribución de la media muestral se centra en el parámetro poblacional, $15$ días.

2. Escribimos la dispersión. $\dfrac{6}{\sqrt{80}} = \dfrac{3 \sqrt{5}}{10} \approx 0{,}6708$ días.

3. Justificamos la forma. Con $80$ expedientes, bastante más de treinta, el teorema central del límite permite tratarla como normal aunque las demoras individuales no lo sean.

Respuesta: se centra en $15$ días con desvío $\dfrac{3 \sqrt{5}}{10} \approx 0{,}6708$

c)

1. Nombramos. El desvío de la distribución de un estadístico se llama error estándar de ese estadístico.

2. Calculamos. Para la media es $\dfrac{6}{\sqrt{80}} = \dfrac{3 \sqrt{5}}{10} \approx 0{,}6708$ días, el mismo número de b).

3. Marcamos la confusión frecuente. No hay que confundirlo con el desvío poblacional $6$: uno mide cuánto varían los expedientes entre sí y el otro cuánto varía el promedio de muestra en muestra.

Respuesta: el error estándar de la media vale $\dfrac{3 \sqrt{5}}{10} \approx 0{,}6708$ días

d)

1. Usamos la proporción de a). Ya vimos que la muestra es el $10$ por ciento del total de expedientes.

2. Aplicamos el criterio. Supera el cinco por ciento, así que la corrección corresponde: al muestrear sin reposición una parte importante del total, la variabilidad real baja.

3. Calculamos el factor. $\sqrt{\dfrac{720}{799}} = \dfrac{12 \sqrt{3995}}{799} \approx 0{,}9493$.

4. Vemos el efecto sobre c). El error estándar de c) queda multiplicado por ese factor, que es menor que uno. Si la muestra fuera una fracción chica del total, el factor daría casi uno y corregir no cambiaría nada.

Respuesta: hay que corregir, con un factor de $\dfrac{12 \sqrt{3995}}{799} \approx 0{,}9493$

1. Contamos la muestra. Son $10$ envases medidos.

2. Escribimos el centro. La media muestral se centra en el parámetro poblacional, $50$ mililitros.

3. Escribimos el desvío. $\dfrac{6}{\sqrt{10}} = \dfrac{3 \sqrt{10}}{5} \approx 1{,}8974$.

4. Justificamos la forma. Con $10$ datos no alcanzaría el teorema central del límite, pero el enunciado dice que la población es normal, y entonces la media muestral es normal exacta para cualquier tamaño.

Respuesta: media $50$ y desvío $\dfrac{3 \sqrt{10}}{5} \approx 1{,}8974$

b)

1. Lo calculamos. $\dfrac{6}{\sqrt{10}} = \dfrac{3 \sqrt{10}}{5} \approx 1{,}8974$ mililitros.

2. Comparamos. El desvío poblacional es $6$ y el error estándar alrededor de $1{,}8974$: promediar diez envases achica la variabilidad a poco más de un tercio.

3. Anotamos la regla. La reducción va con la raíz del tamaño de muestra, no con el tamaño: para achicar el error a la mitad hacen falta cuatro veces más envases.

Respuesta: el error estándar vale $\dfrac{3 \sqrt{10}}{5} \approx 1{,}8974$ mililitros

c)

1. Retomamos lo de a). En a) quedó establecido que la población es normal, así que la media muestral también lo es, sin necesidad de invocar el teorema central del límite.

2. Estandarizamos. $\dfrac{52 - 50}{1{,}8974} \approx 1{,}0541$.

3. Buscamos en la tabla. El área a la izquierda vale $0{,}8541$.

4. Interpretamos. En alrededor de $0{,}8541$ de las muestras de diez envases el promedio no pasa de $52$ mililitros.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}8541$

d)

1. Calculamos la media de los datos. La suma de los $10$ contenidos da $500$, así que la media muestral es $50$.

2. Calculamos la varianza muestral. Los desvíos al cuadrado suman $78$, y dividido por $n - 1 = 9$ queda $\dfrac{26}{3} \approx 8{,}6667$.

3. Armamos el estadístico. $\dfrac{9 \cdot \dfrac{26}{3}}{6^{2}} = \dfrac{13}{6} \approx 2{,}1667$.

4. Escribimos los grados de libertad. Son $n - 1 = 9$, porque la media muestral se estimó de los mismos datos.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{13}{6} \approx 2{,}1667$ con $9$ grados de libertad

1. Miramos el tamaño de muestra. Son $12$ ciclos, bastante menos de los treinta que se suelen pedir para invocar el teorema central del límite.

2. Miramos qué dice el enunciado sobre la población. Dice que la duración de un ciclo es normal.

3. Concluimos. Si la población es normal, la media muestral es normal exacta para cualquier tamaño de muestra, así que no hace falta el teorema central del límite.

4. Anotamos el caso contrario. Si el enunciado no dijera que la población es normal, con $12$ datos no habría forma de sostener la normalidad y habría que decirlo.

Respuesta: la población es normal, así que la media muestral es normal para cualquier $n$

b)

1. Usamos la normalidad establecida en a). Como la población es normal, la media muestral también lo es y se puede estandarizar directamente.

2. Calculamos la media y el desvío muestral. La suma da $246$, así que la media muestral es $\dfrac{41}{2}$. Los desvíos al cuadrado suman $31$ y la varianza muestral queda $\dfrac{31}{11} \approx 2{,}8182$.

3. Calculamos el error estándar. $\dfrac{1{,}6787}{\sqrt{12}} \approx 0{,}4846$ segundos.

4. Estandarizamos. $\dfrac{21 - 20}{0{,}4846} \approx 2{,}0635$.

5. Buscamos en la tabla. El área a la izquierda vale $0{,}9805$.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}9805$

c)

1. Escribimos el estadístico. Es $n - 1$ por la varianza muestral, dividido por la varianza de referencia.

2. Reemplazamos con la varianza de b). $\dfrac{11 \cdot \dfrac{31}{11}}{2^{2}} = \dfrac{31}{4} = 7{,}75$.

3. Escribimos los grados de libertad. $n - 1 = 11$.

4. Anotamos el supuesto. Este estadístico sigue una chi cuadrado solo si la población es normal, cosa que en a) quedó establecida.

Respuesta: el estadístico vale $7{,}75$ con $11$ grados de libertad

d)

1. Vemos por qué va t y no z. El enunciado no da el desvío poblacional: hay que estimarlo con el desvío muestral, y esa estimación agrega incertidumbre. Ese es exactamente el motivo por el que existe la t.

2. Escribimos el estadístico. Es la diferencia entre la media muestral y la media de referencia, dividida por el error estándar estimado.

3. Reemplazamos. $\dfrac{\dfrac{41}{2} - 20}{0{,}4846} \approx 1{,}0318$.

4. Escribimos los grados de libertad. $n - 1 = 11$. Con esos grados, la t es algo más ancha que la normal, y esa diferencia se achica a medida que crece la muestra.

Respuesta: el estadístico t vale $\dfrac{\sqrt{1023}}{31} \approx 1{,}0318$ con $11$ grados de libertad

1. Calculamos la proporción de referencia. $\dfrac{60}{200} = 0{,}3$.

2. Escribimos la media. La proporción muestral se centra en $0{,}3$: es insesgada.

3. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{0{,}3 \cdot 0{,}7}{200}} = \dfrac{\sqrt{42}}{200} \approx 0{,}0324$.

Respuesta: media $0{,}3$ y error estándar $\dfrac{\sqrt{42}}{200} \approx 0{,}0324$

b)

1. Miramos el tamaño de muestra. Son $200$ vecinos, muy por encima de treinta.

2. Retomamos la proporción de a). Con la proporción de referencia $0{,}3$ calculada en a), se pueden chequear las condiciones que pide la aproximación.

3. Chequeamos la condición específica de proporciones. $np = 60$ y $n(1 - p) = 140$, los dos bien por encima de cinco.

4. Concluimos. Por el teorema central del límite, con una muestra de este tamaño la proporción muestral se comporta como una normal, aunque la variable original sea de dos categorías.

Respuesta: con $n = 200$ el teorema central del límite se puede invocar

c)

1. Estandarizamos. $\dfrac{0{,}35 - 0{,}3}{0{,}0324} \approx 1{,}543$.

2. Buscamos el área a la derecha. En la tabla vale $0{,}0614$.

3. Interpretamos. Que la proporción salte de $0{,}3$ a $0{,}35$ pasa en alrededor de seis de cada cien muestras: es poco frecuente pero no raro.

Respuesta: la probabilidad es $0{,}0614$

d)

1. Escribimos la condición. El error es el crítico por el error estándar, y se pide que no supere $0{,}04$.

2. Buscamos el crítico en la tabla. Para el $95$ por ciento a dos colas, $z = 1{,}96$.

3. Despejamos el tamaño. $n \geq \dfrac{1{,}96^{2} \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7}{0{,}04^{2}} \approx 504{,}21$.

4. Redondeamos hacia arriba. Con $504$ vecinos el error quedaría apenas por encima del pedido, así que hacen falta $505$. El redondeo siempre va hacia arriba.

Respuesta: hacen falta $505$ vecinos

1. Identificamos el parámetro. Lo que se quiere estimar es una proporción, no una media ni una varianza.

2. Descartamos las otras. La t aparece cuando se estudia una media con desvío poblacional desconocido, la chi cuadrado cuando se estudia una varianza y la F cuando se comparan dos varianzas. Ninguno es el caso.

3. Elegimos. Para una proporción con muestra grande se usa la normal estándar, o sea la z, apoyándose en el teorema central del límite.

Respuesta: corresponde la distribución z

b)

1. Calculamos la proporción de referencia. $\dfrac{100}{400} = 0{,}25$.

2. Escribimos la media. La distribución de la proporción muestral se centra en $0{,}25$.

3. Calculamos el error estándar. $\sqrt{\dfrac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{400}} = \dfrac{\sqrt{3}}{80} \approx 0{,}0217$.

Respuesta: media $0{,}25$ y error estándar $\dfrac{\sqrt{3}}{80} \approx 0{,}0217$

c)

1. Chequeamos el tamaño. $n = 400$, muy por encima de treinta.

2. Chequeamos la condición de proporciones. $np = 100$ y $n(1 - p) = 300$, los dos por encima de cinco.

3. Concluimos. El teorema central del límite se puede invocar y la aproximación normal es buena, lo cual respalda la elección de a).

Respuesta: con $n = 400$ el teorema central del límite se puede invocar

d)

1. Escribimos la condición sobre el error. El crítico por el error estándar tiene que quedar por debajo de $0{,}03$.

2. Tomamos el crítico de la tabla. $z = 1{,}96$ para el $95$ por ciento a dos colas.

3. Despejamos. $n \geq \dfrac{1{,}96^{2} \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75}{0{,}03^{2}} \approx 800{,}3333$.

4. Redondeamos hacia arriba. Hacen falta $801$ envases. Truncar a $800$ dejaría el error por encima del tolerado, que es el error del subtema.

Respuesta: hacen falta $801$ envases

1. Identificamos el parámetro. No se comparan promedios sino dispersiones: el parámetro de interés es el cociente de las dos varianzas.

2. Descartamos las otras. La z y la t sirven para medias, la chi cuadrado para una sola varianza contra un valor de referencia.

3. Elegimos. El cociente de dos varianzas muestrales de poblaciones normales sigue una F de Fisher, con dos grados de libertad, uno por cada muestra.

Respuesta: corresponde la distribución F

b)

1. Calculamos las dos varianzas muestrales. Como en a) corresponde la F de Fisher, hace falta la varianza de cada muestra: para A la media es $\dfrac{49}{2}$ y la varianza $\dfrac{85}{18} \approx 4{,}7222$. Para B la media es $34$ y la varianza $\dfrac{40}{3} \approx 13{,}3333$.

2. Ponemos la mayor arriba. El cociente se arma con la varianza más grande en el numerador, para que el estadístico quede por encima de uno y se compare contra la cola derecha.

3. Dividimos. $\dfrac{\dfrac{40}{3}}{\dfrac{85}{18}} = \dfrac{48}{17} \approx 2{,}8235$.

4. Escribimos los grados de libertad. $9$ para el numerador y $9$ para el denominador, uno menos que el tamaño de cada muestra.

Respuesta: el estadístico F vale $\dfrac{48}{17} \approx 2{,}8235$ con $9$ y $9$ grados de libertad

c)

1. Recuperamos la varianza de b). Para el operario A la varianza muestral es $\dfrac{85}{18} \approx 4{,}7222$.

2. Sacamos la raíz. $\sqrt{\dfrac{85}{18}} = \dfrac{\sqrt{170}}{6} \approx 2{,}1731$ segundos.

3. Anotamos qué es y qué no. Es un estadístico, calculado solo con los datos de la muestra. El desvío poblacional del operario A es un parámetro y no se conoce.

Respuesta: el desvío muestral del operario A vale $\dfrac{\sqrt{170}}{6} \approx 2{,}1731$ segundos

d)

1. Vemos por qué corresponde la t. El desvío poblacional del operario A no se conoce: se lo estimó con el desvío muestral de c), y esa estimación es la que obliga a usar la t.

2. Calculamos el error estándar estimado. $\dfrac{2{,}1731}{\sqrt{10}} \approx 0{,}6872$ segundos.

3. Armamos el estadístico. $\dfrac{\dfrac{49}{2} - 23}{0{,}6872} \approx 2{,}1828$.

4. Escribimos los grados de libertad. $9$, los mismos que aportó el operario A al numerador de la F de b).

Respuesta: el estadístico t vale $\dfrac{9 \sqrt{17}}{17} \approx 2{,}1828$ con $9$ grados de libertad

1. Identificamos qué se compara. Se comparan dos dispersiones, no dos promedios: el parámetro es el cociente de varianzas.

2. Miramos qué hipótesis se pone a prueba. La igualdad de varianzas equivale a que el cociente valga uno.

3. Elegimos la distribución. El cociente de varianzas muestrales de dos poblaciones normales sigue una F de Fisher.

Respuesta: corresponde la distribución F

b)

1. Calculamos la varianza de cada máquina. Como en a) corresponde la F de Fisher, hace falta la varianza de cada una: máquina A, media $\dfrac{29}{2}$ y varianza $\dfrac{85}{18} \approx 4{,}7222$; máquina B, media $44$ y varianza $\dfrac{40}{3} \approx 13{,}3333$.

2. Armamos el cociente con la mayor arriba. $\dfrac{\dfrac{40}{3}}{\dfrac{85}{18}} = \dfrac{48}{17} \approx 2{,}8235$.

3. Escribimos los grados de libertad. $9$ arriba y $9$ abajo.

4. Anotamos por qué importa el orden. Poner la varianza chica arriba daría un cociente menor que uno, que habría que comparar contra la cola izquierda de la F y no contra la derecha.

Respuesta: el cociente vale $\dfrac{48}{17} \approx 2{,}8235$ con $9$ y $9$ grados de libertad

c)

1. Escribimos el estadístico. Es $n - 1$ por la varianza muestral dividido por la varianza de referencia.

2. Reemplazamos. $\dfrac{9 \cdot \dfrac{85}{18}}{2^{2}} = \dfrac{85}{8} = \dfrac{85}{8}$.

3. Escribimos los grados de libertad. $9$, uno menos que la cantidad de piezas medidas.

4. Anotamos el supuesto. La chi cuadrado vale acá porque el enunciado dice que la población es normal. Sin ese supuesto el estadístico no tiene esa distribución.

Respuesta: el estadístico vale $\dfrac{85}{8}$ con $9$ grados de libertad

d)

1. Elegimos t y no z. El desvío poblacional de la máquina B no se conoce y hubo que estimarlo con el desvío muestral, así que corresponde la t.

2. Calculamos el desvío muestral. $\sqrt{\dfrac{40}{3}} = \dfrac{2 \sqrt{30}}{3} \approx 3{,}6515$ milímetros.

3. Armamos el estadístico. $\dfrac{44 - 43}{1{,}1547} \approx 0{,}866$.

4. Escribimos los grados de libertad. $9$, los mismos que la máquina B aporta a la F de b).

Respuesta: el estadístico t vale $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$ con $9$ grados de libertad