La distribución de la media muestral

El promedio de una muestra cambia según qué muestra tocó, así que es una variable aleatoria con su propia distribución.

Esa distribución tiene dos propiedades que valen siempre, sin importar cómo sea la población.

La primera es que su media coincide con la media de la población. Eso significa que el promedio muestral no está sesgado: no tiende a sobreestimar ni a subestimar.

La segunda es que su varianza es la de la población dividida por el tamaño de la muestra. O sea que los promedios se dispersan menos que los datos individuales.

Eso tiene mucho sentido: para que un promedio de cien datos sea muy alto tienen que ser altos muchos datos a la vez, y eso es más raro que un solo dato alto.

Si la población es normal, la distribución del promedio es exactamente normal para cualquier tamaño de muestra, incluso muy chico.

Si la población no es normal, el promedio se acerca a una normal a medida que crece la muestra, y eso lo garantiza el teorema central del límite.

E(\bar{x}) = \mu

\sigma \bar{x} = \sigma / \sqrt{n}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta por la probabilidad de que un promedio muestral caiga en cierto rango. Ojo: la dispersión que se usa no es el desvío de la población sino el error estándar.

Ejemplo 1

Una población normal tiene media $170$ cm y desvío $8$ cm. Hallar la distribución de la media de una muestra de $16$ .

La media no cambia. $E(\bar{x}) = 170$ centímetros.
El desvío se divide por la raíz de n. $8 / \sqrt{16} = 8 / 4 = 2$ .
Concluimos. Como la población es normal, la media muestral es normal con media $170$ y desvío $2$ .
Respuesta: $\mu = 170$ , $\sigma = 2$

Ejemplo 2

Con la muestra anterior, calcular la probabilidad de que la media dé más de $173$ cm.

Estandarizamos con el desvío correcto. $z = (173 - 170) / 2 = 1{,}5$ .
Buscamos en la tabla. $P(Z \leq 1{,}5) = 0{,}9332$ .
Pasamos a la cola derecha. $1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ . Con el desvío de la población habría dado $0{,}3538$ , cinco veces más.
Respuesta: $P = 0{,}0668$

Error típico

Usar el desvío de la población donde va el de la media muestral. Si la pregunta es sobre un promedio, el desvío que corresponde está dividido por la raíz de n.

Practicar

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