Ejercicios: La distribución de la media muestral

1. En una población, el gasto mensual tiene media $90$ y desvío $13$ miles de pesos. Se toman muestras aleatorias de $49$ casos. Hallá la media y el desvío de la distribución de $\bar{x}$ .

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1. Escribimos las dos propiedades. $E(\bar{x}) = \mu$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Valen siempre, sin importar cómo sea la población.

2. Calculamos la media. $E(\bar{x}) = 90$ miles de pesos: el mismo centro que la población.

3. Interpretamos ese resultado. El promedio muestral no está sesgado. No tiende a sobreestimar ni a subestimar: si se promediaran todos los $\bar{x}$ posibles, daría exactamente $\mu$ .

4. Calculamos el desvío. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{13}{\sqrt{49}} = \dfrac{13}{7} \approx 1{,}8571$ miles de pesos.

5. Comparamos con la población. $1{,}8571$ contra $13$ : la distribución de los promedios es mucho más angosta que la de los datos individuales. Los promedios se apartan menos porque los valores altos y bajos se compensan.

6. Lo que no cambia. El centro. Muestrear más no corrige un sesgo, solo achica la dispersión alrededor del mismo punto.

Respuesta: $E(\bar{x}) = 90$ y $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}8571$ miles de pesos

2. En una población, el tiempo de armado tiene media $90$ y desvío $14$ minutos. Compará la distribución de $\bar{x}$ para muestras de $25$ y de $100$ casos.

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1. Calculamos el centro en los dos casos. $E(\bar{x}) = 90$ con $25$ y también con $100$ . El centro no depende de $n$ .

2. Calculamos el desvío con la muestra chica. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{14}{\sqrt{25}} = 2{,}8$ minutos.

3. Calculamos el de la muestra grande. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{14}{\sqrt{100}} = 1{,}4$ minutos.

4. Medimos el cambio. $\dfrac{2{,}8}{1{,}4} = 2$ : cuadruplicar la muestra dividió el desvío por $2$ , porque en la fórmula aparece $\sqrt{n}$ y $\sqrt{4} = 2$ .

5. Sacamos la regla práctica. Para achicar la dispersión a la mitad hay que cuadruplicar la muestra. La mejora crece con la raíz, no de forma proporcional, y por eso agrandar muestras se vuelve caro rápido.

6. Lo que sigue igual. Las dos distribuciones están centradas en $90$ . Cambia el ancho, no el centro.

Respuesta: En los dos casos $E(\bar{x}) = 90$ ; el desvío pasa de $2{,}8$ a $1{,}4$ minutos

3. Una población chica de tres casos de el puntaje del examen tiene los valores $35$ ; $40$ ; $49$ puntos. Se toman todas las muestras posibles de tamaño $2$ , con reposición, y se calcula el promedio de cada una. Verificá que el promedio de todos esos $\bar{x}$ coincide con la media poblacional.

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1. Calculamos la media poblacional. $\mu = \dfrac{35 + 40 + 49}{3} \approx 41{,}3333$ puntos.

2. Listamos las muestras posibles. Con reposición y orden hay $3^{2} = 9$ muestras: todos los pares $(x_i; x_j)$ .

3. Calculamos el promedio de cada una. $(35; 35) \to 35$ · $(35; 40) \to 37{,}5$ · $(35; 49) \to 42$ · $(40; 35) \to 37{,}5$ · $(40; 40) \to 40$ · $(40; 49) \to 44{,}5$ · $(49; 35) \to 42$ · $(49; 40) \to 44{,}5$ · $(49; 49) \to 49$

4. Promediamos los nueve resultados. $\dfrac{372}{9} \approx 41{,}3333$

5. Comparamos. Coincide con $\mu = 41{,}3333$ . Eso es exactamente lo que dice $E(\bar{x}) = \mu$ .

6. Qué significa que sea insesgado. Ningún $\bar{x}$ particular tiene por qué dar $\mu$ , y de hecho casi ninguno lo da. Lo que vale es que en promedio no se desvía para ningún lado.

Respuesta: El promedio de los nueve $\bar{x}$ es $41{,}3333$ , igual a $\mu$

4. En una población, la altura de los alumnos es normal con media $60$ y desvío $8$ cm. Calculá la probabilidad de que un alumno se aparte de la media en más de $9$ cm, y la de que el promedio de una muestra de $36$ casos se aparte en más de $9$ .

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1. Planteamos el caso individual. $P(|X - 60| > 9)$ se estandariza con el desvío de la población: $z = \dfrac{9}{8} = 1{,}125$ .

2. Calculamos la probabilidad individual. $P = 2 \cdot (1 - P(Z \leq 1{,}125)) = 2 \cdot 0{,}1303 = 0{,}2606$

3. Planteamos el caso del promedio. Ahora el denominador es el desvío de $\bar{x}$ : $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{8}{\sqrt{36}} = 1{,}3333$ , así que $z = \dfrac{9}{1{,}3333} \approx 6{,}75$ .

4. Calculamos la probabilidad del promedio. $P = 2 \cdot 0 = 0$

5. Comparamos. $0$ contra $0{,}2606$ : es mucho menos probable que se aparte el promedio que un caso individual.

6. La palabra que decide. Si el enunciado pregunta por «uno» va el desvío de la población; si pregunta por «el promedio de», va el error estándar. Es el error que más se repite en todo el volumen.

Respuesta: Individual: $0{,}2606$ . Promedio de $36$ : $0$

5. En una población, el puntaje del examen tiene media $90$ y desvío $12$ puntos. Se toman muestras aleatorias de $36$ casos. Hallá la media y el desvío de la distribución de $\bar{x}$ .

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1. Escribimos las dos propiedades. $E(\bar{x}) = \mu$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Valen siempre, sin importar cómo sea la población.

2. Calculamos la media. $E(\bar{x}) = 90$ puntos: el mismo centro que la población.

3. Interpretamos ese resultado. El promedio muestral no está sesgado. No tiende a sobreestimar ni a subestimar: si se promediaran todos los $\bar{x}$ posibles, daría exactamente $\mu$ .

4. Calculamos el desvío. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ puntos.

5. Comparamos con la población. $2$ contra $12$ : la distribución de los promedios es mucho más angosta que la de los datos individuales. Los promedios se apartan menos porque los valores altos y bajos se compensan.

6. Lo que no cambia. El centro. Muestrear más no corrige un sesgo, solo achica la dispersión alrededor del mismo punto.

Respuesta: $E(\bar{x}) = 90$ y $\sigma_{\bar{x}} = 2$ puntos

6. En una población, el peso de los envases tiene media $150$ y desvío $14$ gramos. Compará la distribución de $\bar{x}$ para muestras de $25$ y de $100$ casos.

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1. Calculamos el centro en los dos casos. $E(\bar{x}) = 150$ con $25$ y también con $100$ . El centro no depende de $n$ .

2. Calculamos el desvío con la muestra chica. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{14}{\sqrt{25}} = 2{,}8$ gramos.

3. Calculamos el de la muestra grande. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{14}{\sqrt{100}} = 1{,}4$ gramos.

4. Medimos el cambio. $\dfrac{2{,}8}{1{,}4} = 2$ : cuadruplicar la muestra dividió el desvío por $2$ , porque en la fórmula aparece $\sqrt{n}$ y $\sqrt{4} = 2$ .

5. Sacamos la regla práctica. Para achicar la dispersión a la mitad hay que cuadruplicar la muestra. La mejora crece con la raíz, no de forma proporcional, y por eso agrandar muestras se vuelve caro rápido.

6. Lo que sigue igual. Las dos distribuciones están centradas en $150$ . Cambia el ancho, no el centro.

Respuesta: En los dos casos $E(\bar{x}) = 150$ ; el desvío pasa de $2{,}8$ a $1{,}4$ gramos

7. Una población chica de tres casos de la duración de las baterías tiene los valores $72$ ; $80$ ; $91$ horas. Se toman todas las muestras posibles de tamaño $2$ , con reposición, y se calcula el promedio de cada una. Verificá que el promedio de todos esos $\bar{x}$ coincide con la media poblacional.

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1. Calculamos la media poblacional. $\mu = \dfrac{72 + 80 + 91}{3} = 81$ horas.

2. Listamos las muestras posibles. Con reposición y orden hay $3^{2} = 9$ muestras: todos los pares $(x_i; x_j)$ .

3. Calculamos el promedio de cada una. $(72; 72) \to 72$ · $(72; 80) \to 76$ · $(72; 91) \to 81{,}5$ · $(80; 72) \to 76$ · $(80; 80) \to 80$ · $(80; 91) \to 85{,}5$ · $(91; 72) \to 81{,}5$ · $(91; 80) \to 85{,}5$ · $(91; 91) \to 91$

4. Promediamos los nueve resultados. $\dfrac{729}{9} = 81$

5. Comparamos. Coincide con $\mu = 81$ . Eso es exactamente lo que dice $E(\bar{x}) = \mu$ .

6. Qué significa que sea insesgado. Ningún $\bar{x}$ particular tiene por qué dar $\mu$ , y de hecho casi ninguno lo da. Lo que vale es que en promedio no se desvía para ningún lado.

Respuesta: El promedio de los nueve $\bar{x}$ es $81$ , igual a $\mu$

8. En una población, el puntaje del examen es normal con media $60$ y desvío $11$ puntos. Calculá la probabilidad de que un aspirante se aparte de la media en más de $3$ puntos, y la de que el promedio de una muestra de $25$ casos se aparte en más de $3$ .

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1. Planteamos el caso individual. $P(|X - 60| > 3)$ se estandariza con el desvío de la población: $z = \dfrac{3}{11} \approx 0{,}2727$ .

2. Calculamos la probabilidad individual. $P = 2 \cdot (1 - P(Z \leq 0{,}2727)) = 2 \cdot 0{,}3925 \approx 0{,}7851$

3. Planteamos el caso del promedio. Ahora el denominador es el desvío de $\bar{x}$ : $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{11}{\sqrt{25}} = 2{,}2$ , así que $z = \dfrac{3}{2{,}2} \approx 1{,}3636$ .

4. Calculamos la probabilidad del promedio. $P = 2 \cdot 0{,}0863 \approx 0{,}1727$

5. Comparamos. $0{,}1727$ contra $0{,}7851$ : es mucho menos probable que se aparte el promedio que un caso individual.

6. La palabra que decide. Si el enunciado pregunta por «uno» va el desvío de la población; si pregunta por «el promedio de», va el error estándar. Es el error que más se repite en todo el volumen.

Respuesta: Individual: $0{,}7851$ . Promedio de $25$ : $0{,}1727$

9. En una población, el peso de los envases tiene media $90$ y desvío $13$ gramos. Se toman muestras aleatorias de $16$ casos. Hallá la media y el desvío de la distribución de $\bar{x}$ .

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1. Escribimos las dos propiedades. $E(\bar{x}) = \mu$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Valen siempre, sin importar cómo sea la población.

2. Calculamos la media. $E(\bar{x}) = 90$ gramos: el mismo centro que la población.

3. Interpretamos ese resultado. El promedio muestral no está sesgado. No tiende a sobreestimar ni a subestimar: si se promediaran todos los $\bar{x}$ posibles, daría exactamente $\mu$ .

4. Calculamos el desvío. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{13}{\sqrt{16}} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25$ gramos.

5. Comparamos con la población. $3{,}25$ contra $13$ : la distribución de los promedios es mucho más angosta que la de los datos individuales. Los promedios se apartan menos porque los valores altos y bajos se compensan.

6. Lo que no cambia. El centro. Muestrear más no corrige un sesgo, solo achica la dispersión alrededor del mismo punto.

Respuesta: $E(\bar{x}) = 90$ y $\sigma_{\bar{x}} = 3{,}25$ gramos

10. En una población, el gasto mensual tiene media $70$ y desvío $11$ miles de pesos. Compará la distribución de $\bar{x}$ para muestras de $25$ y de $100$ casos.

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1. Calculamos el centro en los dos casos. $E(\bar{x}) = 70$ con $25$ y también con $100$ . El centro no depende de $n$ .

2. Calculamos el desvío con la muestra chica. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{11}{\sqrt{25}} = 2{,}2$ miles de pesos.

3. Calculamos el de la muestra grande. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{11}{\sqrt{100}} = 1{,}1$ miles de pesos.

4. Medimos el cambio. $\dfrac{2{,}2}{1{,}1} = 2$ : cuadruplicar la muestra dividió el desvío por $2$ , porque en la fórmula aparece $\sqrt{n}$ y $\sqrt{4} = 2$ .

5. Sacamos la regla práctica. Para achicar la dispersión a la mitad hay que cuadruplicar la muestra. La mejora crece con la raíz, no de forma proporcional, y por eso agrandar muestras se vuelve caro rápido.

6. Lo que sigue igual. Las dos distribuciones están centradas en $70$ . Cambia el ancho, no el centro.

Respuesta: En los dos casos $E(\bar{x}) = 70$ ; el desvío pasa de $2{,}2$ a $1{,}1$ miles de pesos

11. Una población chica de tres casos de el tiempo de armado tiene los valores $85$ ; $100$ ; $110$ minutos. Se toman todas las muestras posibles de tamaño $2$ , con reposición, y se calcula el promedio de cada una. Verificá que el promedio de todos esos $\bar{x}$ coincide con la media poblacional.

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1. Calculamos la media poblacional. $\mu = \dfrac{85 + 100 + 110}{3} \approx 98{,}3333$ minutos.

2. Listamos las muestras posibles. Con reposición y orden hay $3^{2} = 9$ muestras: todos los pares $(x_i; x_j)$ .

3. Calculamos el promedio de cada una. $(85; 85) \to 85$ · $(85; 100) \to 92{,}5$ · $(85; 110) \to 97{,}5$ · $(100; 85) \to 92{,}5$ · $(100; 100) \to 100$ · $(100; 110) \to 105$ · $(110; 85) \to 97{,}5$ · $(110; 100) \to 105$ · $(110; 110) \to 110$

4. Promediamos los nueve resultados. $\dfrac{885}{9} \approx 98{,}3333$

5. Comparamos. Coincide con $\mu = 98{,}3333$ . Eso es exactamente lo que dice $E(\bar{x}) = \mu$ .

6. Qué significa que sea insesgado. Ningún $\bar{x}$ particular tiene por qué dar $\mu$ , y de hecho casi ninguno lo da. Lo que vale es que en promedio no se desvía para ningún lado.

Respuesta: El promedio de los nueve $\bar{x}$ es $98{,}3333$ , igual a $\mu$

12. En una población, el tiempo de armado es normal con media $70$ y desvío $20$ minutos. Calculá la probabilidad de que una pieza se aparte de la media en más de $8$ minutos, y la de que el promedio de una muestra de $25$ casos se aparte en más de $8$ .

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1. Planteamos el caso individual. $P(|X - 70| > 8)$ se estandariza con el desvío de la población: $z = \dfrac{8}{20} = 0{,}4$ .

2. Calculamos la probabilidad individual. $P = 2 \cdot (1 - P(Z \leq 0{,}4)) = 2 \cdot 0{,}3446 = 0{,}6892$

3. Planteamos el caso del promedio. Ahora el denominador es el desvío de $\bar{x}$ : $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = 4$ , así que $z = \dfrac{8}{4} = 2$ .

4. Calculamos la probabilidad del promedio. $P = 2 \cdot 0{,}0228 \approx 0{,}0455$

5. Comparamos. $0{,}0455$ contra $0{,}6892$ : es mucho menos probable que se aparte el promedio que un caso individual.

6. La palabra que decide. Si el enunciado pregunta por «uno» va el desvío de la población; si pregunta por «el promedio de», va el error estándar. Es el error que más se repite en todo el volumen.

Respuesta: Individual: $0{,}6892$ . Promedio de $25$ : $0{,}0455$