Ejercicios: El error estándar

1. En una población, la altura de los alumnos tiene desvío $18$ cm. Se toman muestras de $25$ casos. Calculá el error estándar del promedio muestral e interpretá qué mide.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. $EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. Reemplazamos. $EE = \dfrac{18}{\sqrt{25}} = \dfrac{18}{5} = 3{,}6$ cm.

3. Interpretamos. Mide cuánto varía el promedio de una muestra a otra. Si se tomaran muchas muestras de $25$ casos, sus promedios se desparramarían alrededor de la media poblacional con un desvío de $3{,}6$ .

4. Marcamos lo que no mide. No mide cuánto varían los datos individuales: eso es $18$ , casi $5$ veces más grande. Confundir las dos cosas es el error más común del volumen.

5. Aclaramos el nombre. «Error» acá no significa equivocación. Es una medida de variabilidad de una estimación, y el nombre confunde a todo el mundo.

6. El chequeo de sentido. El error estándar siempre es menor que el desvío de la población, porque se divide por $\sqrt{n} > 1$ .

Respuesta: $EE = 3{,}6$ cm

2. Con un desvío poblacional de $27$ y muestras de $25$ casos, el error estándar vale $5{,}4$ . Hallá qué tamaño de muestra hace falta para dividir ese error estándar por $3$ .

Ver solución

1. Escribimos la condición. Se busca $n'$ tal que $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n'}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{25}}$ .

2. Simplificamos. El $\sigma$ se cancela: $\dfrac{1}{\sqrt{n'}} = \dfrac{1}{3 \sqrt{25}}$ , así que $\sqrt{n'} = 3 \sqrt{25}$ .

3. Elevamos al cuadrado. $n' = 3^{2} \cdot 25 = 9 \cdot 25 = 225$

4. Verificamos. $EE' = \dfrac{27}{\sqrt{225}} = 1{,}8$ , y $5{,}4 \div 3 = 1{,}8$ : coinciden.

5. Sacamos la regla general. Para dividir el error estándar por $3$ hay que multiplicar la muestra por $9$ . La precisión mejora con la raíz del tamaño, no de forma proporcional.

6. La consecuencia práctica. Pasar de $25$ a $225$ casos multiplica el costo del relevamiento por $9$ y solo mejora la precisión $3$ veces. Por eso las muestras grandes tienen rendimientos decrecientes.

Respuesta: Hace falta $n = 225$

3. En una población, la altura de los alumnos tiene media $90$ y desvío $21$ cm. Se toma una muestra de $100$ casos. Un informe dice que «el $95\%$ de los casos individuales cae a menos de $4{,}2$ de la media». Decidí si la afirmación es correcta.

Ver solución

1. Calculamos el error estándar. $EE = \dfrac{21}{\sqrt{100}} = 2{,}1$ cm, y $2 \cdot EE = 4{,}2$ .

2. Identificamos de dónde salió el número del informe. El $4{,}2$ es dos errores estándar, así que el informe usó la dispersión del promedio muestral.

3. Vemos qué describe cada medida. $EE = 2{,}1$ describe cuánto varía $\bar{x}$ entre muestras. $\sigma = 21$ describe cuánto varían los casos individuales.

4. Calculamos el intervalo correcto para casos individuales. $\mu \pm 2\sigma = [48; 132]$ , de semiancho $42$ y no $4{,}2$ .

5. Concluimos. La afirmación es incorrecta. El $95\%$ de los casos individuales cae a menos de $42$ de la media; $4{,}2$ corresponde al intervalo del promedio de $100$ casos.

6. El origen del error. Usar el error estándar donde va el desvío de la población. Da intervalos mucho más angostos de lo que corresponde, y por eso el error es grave.

Respuesta: Es incorrecta: $4{,}2$ corresponde al promedio muestral. Para casos individuales el semiancho es $42$

4. De el peso de los envases se tomó una muestra de $9$ casos, con promedio $53{,}4444$ y varianza muestral $339{,}7778$ (en gramos al cuadrado). No se conoce el desvío de la población. Estimá el error estándar del promedio muestral.

Ver solución

1. Vemos qué falta. La fórmula $EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ necesita el desvío de la población, que no se conoce.

2. Reemplazamos por el desvío muestral. $s = \sqrt{339{,}7778} \approx 18{,}4331$ gramos, y se usa $\widehat{EE} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ .

3. Calculamos. $\widehat{EE} = \dfrac{18{,}4331}{\sqrt{9}} = \dfrac{18{,}4331}{3} \approx 6{,}1444$ gramos.

4. Marcamos qué cambió. Ahora el error estándar es a su vez una estimación: depende de $s$ , que también varía de muestra en muestra. Hay una fuente de incertidumbre más que antes.

5. Anticipamos la consecuencia. Por eso, cuando el desvío se estima, los cálculos posteriores no usan la normal sino la $t$ de Student, que tiene colas más anchas para reconocer esa incertidumbre extra.

6. El chequeo de siempre. $\widehat{EE} = 6{,}1444$ es mucho menor que $s = 18{,}4331$ , como corresponde: el promedio se dispersa menos que los datos.

Respuesta: $\widehat{EE} = 6{,}1444$ gramos

5. En una población, el peso de los envases tiene desvío $9$ gramos. Se toman muestras de $36$ casos. Calculá el error estándar del promedio muestral e interpretá qué mide.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. $EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. Reemplazamos. $EE = \dfrac{9}{\sqrt{36}} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ gramos.

3. Interpretamos. Mide cuánto varía el promedio de una muestra a otra. Si se tomaran muchas muestras de $36$ casos, sus promedios se desparramarían alrededor de la media poblacional con un desvío de $1{,}5$ .

4. Marcamos lo que no mide. No mide cuánto varían los datos individuales: eso es $9$ , casi $6$ veces más grande. Confundir las dos cosas es el error más común del volumen.

5. Aclaramos el nombre. «Error» acá no significa equivocación. Es una medida de variabilidad de una estimación, y el nombre confunde a todo el mundo.

6. El chequeo de sentido. El error estándar siempre es menor que el desvío de la población, porque se divide por $\sqrt{n} > 1$ .

Respuesta: $EE = 1{,}5$ gramos

6. Con un desvío poblacional de $39$ y muestras de $100$ casos, el error estándar vale $3{,}9$ . Hallá qué tamaño de muestra hace falta para dividir ese error estándar por $5$ .

Ver solución

1. Escribimos la condición. Se busca $n'$ tal que $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n'}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$ .

2. Simplificamos. El $\sigma$ se cancela: $\dfrac{1}{\sqrt{n'}} = \dfrac{1}{5 \sqrt{100}}$ , así que $\sqrt{n'} = 5 \sqrt{100}$ .

3. Elevamos al cuadrado. $n' = 5^{2} \cdot 100 = 25 \cdot 100 = 2500$

4. Verificamos. $EE' = \dfrac{39}{\sqrt{2500}} = 0{,}78$ , y $3{,}9 \div 5 = 0{,}78$ : coinciden.

5. Sacamos la regla general. Para dividir el error estándar por $5$ hay que multiplicar la muestra por $25$ . La precisión mejora con la raíz del tamaño, no de forma proporcional.

6. La consecuencia práctica. Pasar de $100$ a $2500$ casos multiplica el costo del relevamiento por $25$ y solo mejora la precisión $5$ veces. Por eso las muestras grandes tienen rendimientos decrecientes.

Respuesta: Hace falta $n = 2500$

7. En una población, el gasto mensual tiene media $60$ y desvío $27$ miles de pesos. Se toma una muestra de $36$ casos. Un informe dice que «el $95\%$ de los casos individuales cae a menos de $9$ de la media». Decidí si la afirmación es correcta.

Ver solución

1. Calculamos el error estándar. $EE = \dfrac{27}{\sqrt{36}} = 4{,}5$ miles de pesos, y $2 \cdot EE = 9$ .

2. Identificamos de dónde salió el número del informe. El $9$ es dos errores estándar, así que el informe usó la dispersión del promedio muestral.

3. Vemos qué describe cada medida. $EE = 4{,}5$ describe cuánto varía $\bar{x}$ entre muestras. $\sigma = 27$ describe cuánto varían los casos individuales.

4. Calculamos el intervalo correcto para casos individuales. $\mu \pm 2\sigma = [6; 114]$ , de semiancho $54$ y no $9$ .

5. Concluimos. La afirmación es incorrecta. El $95\%$ de los casos individuales cae a menos de $54$ de la media; $9$ corresponde al intervalo del promedio de $36$ casos.

6. El origen del error. Usar el error estándar donde va el desvío de la población. Da intervalos mucho más angostos de lo que corresponde, y por eso el error es grave.

Respuesta: Es incorrecta: $9$ corresponde al promedio muestral. Para casos individuales el semiancho es $54$

8. De el gasto mensual se tomó una muestra de $9$ casos, con promedio $54{,}4444$ y varianza muestral $336{,}0278$ (en miles de pesos al cuadrado). No se conoce el desvío de la población. Estimá el error estándar del promedio muestral.

Ver solución

1. Vemos qué falta. La fórmula $EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ necesita el desvío de la población, que no se conoce.

2. Reemplazamos por el desvío muestral. $s = \sqrt{336{,}0278} \approx 18{,}3311$ miles de pesos, y se usa $\widehat{EE} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ .

3. Calculamos. $\widehat{EE} = \dfrac{18{,}3311}{\sqrt{9}} = \dfrac{18{,}3311}{3} \approx 6{,}1104$ miles de pesos.

4. Marcamos qué cambió. Ahora el error estándar es a su vez una estimación: depende de $s$ , que también varía de muestra en muestra. Hay una fuente de incertidumbre más que antes.

5. Anticipamos la consecuencia. Por eso, cuando el desvío se estima, los cálculos posteriores no usan la normal sino la $t$ de Student, que tiene colas más anchas para reconocer esa incertidumbre extra.

6. El chequeo de siempre. $\widehat{EE} = 6{,}1104$ es mucho menor que $s = 18{,}3311$ , como corresponde: el promedio se dispersa menos que los datos.

Respuesta: $\widehat{EE} = 6{,}1104$ miles de pesos

9. En una población, el gasto mensual tiene desvío $10$ miles de pesos. Se toman muestras de $25$ casos. Calculá el error estándar del promedio muestral e interpretá qué mide.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. $EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. Reemplazamos. $EE = \dfrac{10}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2$ miles de pesos.

3. Interpretamos. Mide cuánto varía el promedio de una muestra a otra. Si se tomaran muchas muestras de $25$ casos, sus promedios se desparramarían alrededor de la media poblacional con un desvío de $2$ .

4. Marcamos lo que no mide. No mide cuánto varían los datos individuales: eso es $10$ , casi $5$ veces más grande. Confundir las dos cosas es el error más común del volumen.

5. Aclaramos el nombre. «Error» acá no significa equivocación. Es una medida de variabilidad de una estimación, y el nombre confunde a todo el mundo.

6. El chequeo de sentido. El error estándar siempre es menor que el desvío de la población, porque se divide por $\sqrt{n} > 1$ .

Respuesta: $EE = 2$ miles de pesos

10. Con un desvío poblacional de $21$ y muestras de $36$ casos, el error estándar vale $3{,}5$ . Hallá qué tamaño de muestra hace falta para dividir ese error estándar por $5$ .

Ver solución

1. Escribimos la condición. Se busca $n'$ tal que $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n'}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{36}}$ .

2. Simplificamos. El $\sigma$ se cancela: $\dfrac{1}{\sqrt{n'}} = \dfrac{1}{5 \sqrt{36}}$ , así que $\sqrt{n'} = 5 \sqrt{36}$ .

3. Elevamos al cuadrado. $n' = 5^{2} \cdot 36 = 25 \cdot 36 = 900$

4. Verificamos. $EE' = \dfrac{21}{\sqrt{900}} = 0{,}7$ , y $3{,}5 \div 5 = 0{,}7$ : coinciden.

5. Sacamos la regla general. Para dividir el error estándar por $5$ hay que multiplicar la muestra por $25$ . La precisión mejora con la raíz del tamaño, no de forma proporcional.

6. La consecuencia práctica. Pasar de $36$ a $900$ casos multiplica el costo del relevamiento por $25$ y solo mejora la precisión $5$ veces. Por eso las muestras grandes tienen rendimientos decrecientes.

Respuesta: Hace falta $n = 900$

11. En una población, el puntaje del examen tiene media $50$ y desvío $17$ puntos. Se toma una muestra de $100$ casos. Un informe dice que «el $95\%$ de los casos individuales cae a menos de $3{,}4$ de la media». Decidí si la afirmación es correcta.

Ver solución

1. Calculamos el error estándar. $EE = \dfrac{17}{\sqrt{100}} = 1{,}7$ puntos, y $2 \cdot EE = 3{,}4$ .

2. Identificamos de dónde salió el número del informe. El $3{,}4$ es dos errores estándar, así que el informe usó la dispersión del promedio muestral.

3. Vemos qué describe cada medida. $EE = 1{,}7$ describe cuánto varía $\bar{x}$ entre muestras. $\sigma = 17$ describe cuánto varían los casos individuales.

4. Calculamos el intervalo correcto para casos individuales. $\mu \pm 2\sigma = [16; 84]$ , de semiancho $34$ y no $3{,}4$ .

5. Concluimos. La afirmación es incorrecta. El $95\%$ de los casos individuales cae a menos de $34$ de la media; $3{,}4$ corresponde al intervalo del promedio de $100$ casos.

6. El origen del error. Usar el error estándar donde va el desvío de la población. Da intervalos mucho más angostos de lo que corresponde, y por eso el error es grave.

Respuesta: Es incorrecta: $3{,}4$ corresponde al promedio muestral. Para casos individuales el semiancho es $34$

12. De la altura de los alumnos se tomó una muestra de $16$ casos, con promedio $55{,}3125$ y varianza muestral $316{,}6292$ (en cm al cuadrado). No se conoce el desvío de la población. Estimá el error estándar del promedio muestral.

Ver solución

1. Vemos qué falta. La fórmula $EE = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ necesita el desvío de la población, que no se conoce.

2. Reemplazamos por el desvío muestral. $s = \sqrt{316{,}6292} \approx 17{,}7941$ cm, y se usa $\widehat{EE} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ .

3. Calculamos. $\widehat{EE} = \dfrac{17{,}7941}{\sqrt{16}} = \dfrac{17{,}7941}{4} \approx 4{,}4485$ cm.

4. Marcamos qué cambió. Ahora el error estándar es a su vez una estimación: depende de $s$ , que también varía de muestra en muestra. Hay una fuente de incertidumbre más que antes.

5. Anticipamos la consecuencia. Por eso, cuando el desvío se estima, los cálculos posteriores no usan la normal sino la $t$ de Student, que tiene colas más anchas para reconocer esa incertidumbre extra.

6. El chequeo de siempre. $\widehat{EE} = 4{,}4485$ es mucho menor que $s = 17{,}7941$ , como corresponde: el promedio se dispersa menos que los datos.

Respuesta: $\widehat{EE} = 4{,}4485$ cm