Ejercicios: La distribución de la proporción muestral

2. Calculamos la media. $E(\hat{p}) = p = 0{,}15$: tampoco está sesgada.

3. Escribimos el error estándar. $EE = \sqrt{\dfrac{p (1 - p)}{n}}$

4. Calculamos. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}15 \cdot 0{,}85}{100}} = \sqrt{\dfrac{0{,}1275}{100}} \approx 0{,}0357$

5. Verificamos las condiciones para usar la normal. $np = 15$ y $n(1-p) = 85$, los dos mayores que $5$, así que $\hat{p}$ se puede tratar como aproximadamente normal.

6. Interpretamos. Los porcentajes de distintas muestras se van a desparramar alrededor de $15\%$ con un desvío de $3{,}57$ puntos porcentuales.

Respuesta: $E(\hat{p}) = 0{,}15$ y $EE = 0{,}0357$

2. Hallamos los parámetros. $E(\hat{p}) = 0{,}52$ y $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}2496}{400}} \approx 0{,}025$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{0{,}55 - 0{,}52}{0{,}025} \approx 1{,}201$

4. Buscamos en la tabla. $P(\hat{p} > 0{,}55) = 1 - P(Z \leq 1{,}201) = 1 - 0{,}8851 = 0{,}1149$

5. Verificamos el sentido. $0{,}55$ está por encima de $0{,}52$, así que la probabilidad tenía que dar menor que $0{,}5$.

6. Lo que hay en el denominador. El error estándar de la proporción, no el desvío de una observación individual. Es el mismo cuidado que con el promedio.

Respuesta: $P(\hat{p} > 0{,}55) = 0{,}1149$

2. Calculamos los cuatro valores. $p = 0{,}05$: $EE = 0{,}0109$ · $p = 0{,}2$: $EE = 0{,}02$ · $p = 0{,}5$: $EE = 0{,}025$ · $p = 0{,}8$: $EE = 0{,}02$

3. Identificamos el máximo. El mayor es $0{,}025$, en $p = 0{,}5$.

4. Explicamos por qué. El producto $p(1-p)$ es una parábola invertida con máximo en $p = 0{,}5$, donde vale $0{,}25$. Hacia los extremos cae, y en $p = 0$ o $p = 1$ vale cero.

5. Notamos la simetría. $p = 0{,}20$ y $p = 0{,}80$ dan el mismo error estándar, $0{,}02$, porque $p(1-p)$ es simétrico respecto de $0{,}5$.

6. La consecuencia práctica. Estimar algo que pasa el $5\%$ de las veces es más preciso que estimar algo que pasa la mitad. Y como el máximo es conocido, se lo usa para el peor caso al planificar el tamaño de muestra.

Respuesta: El máximo es $0{,}025$, en $p = 0{,}5$

2. Elevamos al cuadrado. $\dfrac{p (1 - p)}{n} \leq 0{,}02^{2} = 0{,}0004$

3. Despejamos $n$. $n \geq \dfrac{p (1 - p)}{0{,}0004} = \dfrac{0{,}24}{0{,}0004} = 600$

4. Redondeamos hacia arriba. El tamaño de muestra tiene que ser entero y cumplir la desigualdad, así que $n = 601$ alumnos.

5. Verificamos. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}24}{601}} \approx 0{,}02$, que no supera $0{,}02$.

6. El caso más exigente. Si no se tuviera idea de $p$, se usa $p = 0{,}5$, que da el error estándar máximo: $n \geq \dfrac{0{,}25}{0{,}0004} = 625$. Es el número que garantiza la precisión sin suponer nada.

Respuesta: Hace falta $n = 601$ alumnos

2. Calculamos la media. $E(\hat{p}) = p = 0{,}32$: tampoco está sesgada.

3. Escribimos el error estándar. $EE = \sqrt{\dfrac{p (1 - p)}{n}}$

4. Calculamos. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}32 \cdot 0{,}68}{100}} = \sqrt{\dfrac{0{,}2176}{100}} \approx 0{,}0466$

5. Verificamos las condiciones para usar la normal. $np = 32$ y $n(1-p) = 68$, los dos mayores que $5$, así que $\hat{p}$ se puede tratar como aproximadamente normal.

6. Interpretamos. Los porcentajes de distintas muestras se van a desparramar alrededor de $32\%$ con un desvío de $4{,}66$ puntos porcentuales.

Respuesta: $E(\hat{p}) = 0{,}32$ y $EE = 0{,}0466$

2. Hallamos los parámetros. $E(\hat{p}) = 0{,}3$ y $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}21}{400}} \approx 0{,}0229$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{0{,}27 - 0{,}3}{0{,}0229} \approx -1{,}3093$

4. Buscamos en la tabla. $P(\hat{p} > 0{,}27) = 1 - P(Z \leq -1{,}3093) = 1 - 0{,}0952 = 0{,}9048$

5. Verificamos el sentido. $0{,}27$ está por debajo de $0{,}3$, así que la probabilidad tenía que dar mayor que $0{,}5$.

6. Lo que hay en el denominador. El error estándar de la proporción, no el desvío de una observación individual. Es el mismo cuidado que con el promedio.

Respuesta: $P(\hat{p} > 0{,}27) = 0{,}9048$

2. Calculamos los cuatro valores. $p = 0{,}05$: $EE = 0{,}0069$ · $p = 0{,}2$: $EE = 0{,}0126$ · $p = 0{,}5$: $EE = 0{,}0158$ · $p = 0{,}8$: $EE = 0{,}0126$

3. Identificamos el máximo. El mayor es $0{,}0158$, en $p = 0{,}5$.

4. Explicamos por qué. El producto $p(1-p)$ es una parábola invertida con máximo en $p = 0{,}5$, donde vale $0{,}25$. Hacia los extremos cae, y en $p = 0$ o $p = 1$ vale cero.

5. Notamos la simetría. $p = 0{,}20$ y $p = 0{,}80$ dan el mismo error estándar, $0{,}0126$, porque $p(1-p)$ es simétrico respecto de $0{,}5$.

6. La consecuencia práctica. Estimar algo que pasa el $5\%$ de las veces es más preciso que estimar algo que pasa la mitad. Y como el máximo es conocido, se lo usa para el peor caso al planificar el tamaño de muestra.

Respuesta: El máximo es $0{,}0158$, en $p = 0{,}5$

2. Elevamos al cuadrado. $\dfrac{p (1 - p)}{n} \leq 0{,}01^{2} = 0{,}0001$

3. Despejamos $n$. $n \geq \dfrac{p (1 - p)}{0{,}0001} = \dfrac{0{,}2275}{0{,}0001} = 2275$

4. Redondeamos hacia arriba. El tamaño de muestra tiene que ser entero y cumplir la desigualdad, así que $n = 2276$ votantes.

5. Verificamos. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}2275}{2276}} \approx 0{,}01$, que no supera $0{,}01$.

6. El caso más exigente. Si no se tuviera idea de $p$, se usa $p = 0{,}5$, que da el error estándar máximo: $n \geq \dfrac{0{,}25}{0{,}0001} = 2500$. Es el número que garantiza la precisión sin suponer nada.

Respuesta: Hace falta $n = 2276$ votantes

2. Calculamos la media. $E(\hat{p}) = p = 0{,}66$: tampoco está sesgada.

3. Escribimos el error estándar. $EE = \sqrt{\dfrac{p (1 - p)}{n}}$

4. Calculamos. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}66 \cdot 0{,}34}{100}} = \sqrt{\dfrac{0{,}2244}{100}} \approx 0{,}0474$

5. Verificamos las condiciones para usar la normal. $np = 66$ y $n(1-p) = 34$, los dos mayores que $5$, así que $\hat{p}$ se puede tratar como aproximadamente normal.

6. Interpretamos. Los porcentajes de distintas muestras se van a desparramar alrededor de $66\%$ con un desvío de $4{,}74$ puntos porcentuales.

Respuesta: $E(\hat{p}) = 0{,}66$ y $EE = 0{,}0474$

2. Hallamos los parámetros. $E(\hat{p}) = 0{,}35$ y $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}2275}{400}} \approx 0{,}0238$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{0{,}28 - 0{,}35}{0{,}0238} \approx -2{,}9352$

4. Buscamos en la tabla. $P(\hat{p} > 0{,}28) = 1 - P(Z \leq -2{,}9352) = 1 - 0{,}0017 = 0{,}9983$

5. Verificamos el sentido. $0{,}28$ está por debajo de $0{,}35$, así que la probabilidad tenía que dar mayor que $0{,}5$.

6. Lo que hay en el denominador. El error estándar de la proporción, no el desvío de una observación individual. Es el mismo cuidado que con el promedio.

Respuesta: $P(\hat{p} > 0{,}28) = 0{,}9983$

2. Calculamos los cuatro valores. $p = 0{,}05$: $EE = 0{,}0073$ · $p = 0{,}2$: $EE = 0{,}0133$ · $p = 0{,}5$: $EE = 0{,}0167$ · $p = 0{,}8$: $EE = 0{,}0133$

3. Identificamos el máximo. El mayor es $0{,}0167$, en $p = 0{,}5$.

4. Explicamos por qué. El producto $p(1-p)$ es una parábola invertida con máximo en $p = 0{,}5$, donde vale $0{,}25$. Hacia los extremos cae, y en $p = 0$ o $p = 1$ vale cero.

5. Notamos la simetría. $p = 0{,}20$ y $p = 0{,}80$ dan el mismo error estándar, $0{,}0133$, porque $p(1-p)$ es simétrico respecto de $0{,}5$.

6. La consecuencia práctica. Estimar algo que pasa el $5\%$ de las veces es más preciso que estimar algo que pasa la mitad. Y como el máximo es conocido, se lo usa para el peor caso al planificar el tamaño de muestra.

Respuesta: El máximo es $0{,}0167$, en $p = 0{,}5$

2. Elevamos al cuadrado. $\dfrac{p (1 - p)}{n} \leq 0{,}01^{2} = 0{,}0001$

3. Despejamos $n$. $n \geq \dfrac{p (1 - p)}{0{,}0001} = \dfrac{0{,}2464}{0{,}0001} = 2464$

4. Redondeamos hacia arriba. El tamaño de muestra tiene que ser entero y cumplir la desigualdad, así que $n = 2465$ piezas.

5. Verificamos. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}2464}{2465}} \approx 0{,}01$, que no supera $0{,}01$.

6. El caso más exigente. Si no se tuviera idea de $p$, se usa $p = 0{,}5$, que da el error estándar máximo: $n \geq \dfrac{0{,}25}{0{,}0001} = 2500$. Es el número que garantiza la precisión sin suponer nada.

Respuesta: Hace falta $n = 2465$ piezas