La distribución de la proporción muestral

Cuando lo que interesa es una proporción y no un promedio, el razonamiento es el mismo con pequeños ajustes.

La proporción muestral es la cantidad de casos que cumplen la condición dividida por el tamaño de la muestra. Es en el fondo un promedio de ceros y unos.

Su media es la proporción verdadera de la población, así que tampoco está sesgada.

Su error estándar sale de una fórmula propia: la raíz de la proporción por su complemento, todo dividido por el tamaño de la muestra.

Esa expresión tiene una consecuencia interesante. El error estándar es máximo cuando la proporción vale un medio, y disminuye hacia los extremos.

Por eso las encuestas son menos precisas cuando la opinión está dividida en partes iguales, que es justo cuando más importa.

Para poder usar la normal hay que verificar que tanto los casos esperados que cumplen como los que no superen cinco o diez, según el criterio.

Si el ejercicio no da la proporción verdadera, se usa la muestral para estimar el error.

E(\hat{p}) = p

· EE

= \sqrt{p (1 - p) / n}

Cuándo se usa

Cuando la variable es un porcentaje o una proporción: intención de voto, tasa de defectos, porcentaje de aprobados. Verificá la condición antes de usar la normal.

Ejemplo 1

En una población el $30$ % cumple cierta condición. Hallar la distribución de la proporción en muestras de $100$ .

Verificamos las condiciones. $100 \cdot 0{,}3 = 30$ y $100 \cdot 0{,}7 = 70$ , los dos mayores que $5$ .
Calculamos la media y el error estándar. $E = 0{,}30$ y $EE = \sqrt{0{,}3 \cdot 0{,}7 / 100} \approx 0{,}0458$ .
Concluimos. La proporción muestral es aproximadamente normal con esos parámetros.
Respuesta: $p = 0{,}30$ , $EE \approx 0{,}0458$

Ejemplo 2

Con la muestra anterior, calcular la probabilidad de que la proporción muestral supere $0{,}38$ .

Estandarizamos. $z = (0{,}38 - 0{,}30) / 0{,}0458 \approx 1{,}75$ .
Buscamos en la tabla. $P(Z \leq 1{,}75) = 0{,}9599$ .
Pasamos a la cola derecha. $1 - 0{,}9599 = 0{,}0401$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}0401$

Error típico

Usar el desvío de la media donde va el de la proporción. La proporción no tiene un $\sigma$ que venga de afuera: su desvío sale del propio p.

Practicar

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Otros subtemas de La normal y el muestreo

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .