El teorema aplicado a totales y proporciones

El teorema no sirve solo para promedios: también se aplica a totales y a proporciones, con pequeños ajustes.

Para un total, se puede trabajar de dos formas equivalentes. Una es tratarlo directamente: su media es el tamaño de la muestra por la media individual, y su varianza es el tamaño por la varianza individual.

La otra es convertir la pregunta sobre el total en una sobre el promedio, dividiendo el valor por el tamaño de la muestra. Las dos dan lo mismo y conviene elegir la que resulte más cómoda.

Para el total, el desvío se multiplica por la raíz del tamaño de la muestra, no por el tamaño. Ese detalle se equivoca seguido.

Para proporciones se usa el error estándar propio de la proporción, y hay que verificar la condición de que los casos esperados de cada tipo superen cinco.

Los casos típicos de totales son la carga total de un ascensor, el peso total de un envío, o la demanda acumulada de un período. En esos problemas conviene definir bien si la variable es el total o el promedio antes de empezar.

total:

n \mu y \sigma \sqrt{n}

· proporción:

\sqrt{p q / n}

Cuándo se usa

Cuando el enunciado pregunta por una suma o carga total, o por una proporción muestral. Para totales, el desvío se multiplica por la raíz del tamaño, no por el tamaño.

Ejemplo 1

Un ascensor soporta $1.000$ kg y suben $12$ personas. Cada una pesa en promedio $76$ kg con desvío $12$ kg. Calcular la probabilidad de excederlo.

Calculamos la media del total. $12 \cdot 76 = 912$ kilos.
Calculamos el desvío del total. $12 \cdot \sqrt{12} \approx 41{,}5692$ .
Estandarizamos y buscamos. $z = (1.000 - 912) / 41{,}5692 \approx 2{,}12$ y $P = 1 - 0{,}9830 = 0{,}0170$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}0170$

Ejemplo 2

En una población el $45$ % está a favor de algo. Calcular la probabilidad de que en una muestra de $400$ la proporción a favor supere el $50$ %.

Calculamos el error estándar. $\sqrt{0{,}45 \cdot 0{,}55 / 400} \approx 0{,}0249$ .
Estandarizamos. $z = (0{,}50 - 0{,}45) / 0{,}0249 \approx 2{,}01$ .
Buscamos en la tabla. $P = 1 - 0{,}9778 = 0{,}0222$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}0222$

Error típico

Usar la fórmula del promedio para una pregunta sobre un total. Da un desvío n veces más chico del que corresponde y el resultado sale absurdamente seguro.

Practicar

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