El teorema central del límite

El teorema central del límite dice que el promedio de una muestra suficientemente grande se distribuye aproximadamente normal, sin importar cómo sea la población de origen.

Es el resultado más importante de la estadística, y explica por qué la normal aparece en tantos contextos distintos.

Lo notable es la parte de sin importar cómo sea la población. La población puede ser asimétrica, discreta, o con dos picos: el promedio de muestras grandes igual tiende a la normal.

La media de esa normal es la media de la población y su desvío es el error estándar.

La regla práctica más usada es que con treinta observaciones o más la aproximación ya es buena. Ese número no es mágico: si la población es muy asimétrica hace falta más, y si es casi simétrica alcanza con menos.

Si la población ya es normal, el promedio es exactamente normal para cualquier tamaño y no hace falta el teorema.

Hay que tener claro qué dice y qué no. Habla del promedio, no de los datos individuales. Los datos siguen distribuyéndose como siempre: lo que se vuelve normal es el promedio.

\bar{x} \approx

normal con

\mu y \sigma / \sqrt{n}

· sea cual sea X

Cuándo se usa

Cuando la muestra es grande y no se sabe cómo se distribuye la población. Con treinta o más podés usar la normal para el promedio, aunque los datos individuales no sean normales.

Ejemplo 1

Una población tiene media $40 y$ desvío $12$ , con forma desconocida. Hallar la distribución de la media de una muestra de $100$ .

Verificamos que la muestra sea grande. $n = 100$ alcanza de sobra para aplicar el teorema.
Calculamos los dos parámetros. $E(\bar{x}) = 40$ y $EE = 12 / \sqrt{100} = 1{,}2$ .
Concluimos. La media muestral es aproximadamente normal con esos valores, aunque no se sepa nada de la forma de la población.
Respuesta: $\mu = 40$ , $EE = 1{,}2$

Ejemplo 2

Con la muestra anterior, calcular la probabilidad de que la media supere $42$ .

Estandarizamos. $z = (42 - 40) / 1{,}2 \approx 1{,}67$ .
Buscamos en la tabla. $P(Z \leq 1{,}67) = 0{,}9525$ .
Pasamos a la cola derecha. $1 - 0{,}9525 = 0{,}0475$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}0475$

Error típico

Aplicar el teorema a una observación individual. Si la población es muy asimétrica, un dato suelto sigue siendo asimétrico por más grande que sea la muestra.

Practicar

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