Ejercicios: El teorema central del límite

1. En una población, los tiempos de espera, con forma exponencial, la media es $65$ y el desvío $13$ minutos. Se toman muestras aleatorias de $50$ casos. Decidí qué distribución tiene aproximadamente $\bar{x}$ y dá sus parámetros.

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1. Vemos que la población no es normal. El enunciado describe los tiempos de espera, con forma exponencial, así que no se puede tratar directamente como una normal.

2. Aplicamos el teorema central del límite. Dice que el promedio de una muestra suficientemente grande se distribuye aproximadamente normal, sin importar cómo sea la población de origen.

3. Verificamos que la muestra alcance. $n = 50$ es holgadamente grande, así que la aproximación es buena aunque la población sea muy asimétrica.

4. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = \mu = 65$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{13}{\sqrt{50}} = 1{,}8385$ minutos.

5. Escribimos el resultado. $\bar{x}$ es aproximadamente normal con media $65$ y desvío $1{,}8385$ .

6. Lo que el teorema no dice. No dice que la población se vuelva normal. La población sigue siendo igual de asimétrica. Lo que se vuelve normal es la distribución de las medias, que es otra cosa.

Respuesta: $\bar{x}$ es aproximadamente normal con $\mu = 65$ y $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}8385$ minutos

2. Los tiempos entre llegadas a un local siguen una exponencial de media $8$ minutos, con desvío también $8$ . Se toma una muestra de $64$ tiempos. Calculá $P(\bar{x} > 9)$ .

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1. Reconocemos que la población no es normal. La exponencial es muy asimétrica, con un pico en cero y cola larga a la derecha.

2. Aplicamos el teorema central del límite. Con $n = 64$ , $\bar{x}$ es aproximadamente normal aunque la población no lo sea.

3. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = 8$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{8}{\sqrt{64}} = 1$ minutos.

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{9 - 8}{1} = 1$

5. Calculamos. $P(\bar{x} > 9) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$

6. Por qué esto funciona. El promedio suaviza: los valores altos de la cola se compensan con los muchos valores chicos, y el resultado se acerca a una campana. Ese es todo el contenido del teorema.

Respuesta: $P(\bar{x} > 9) = 0{,}1587$

3. Evaluá si esta afirmación sobre el teorema central del límite es correcta y justificá: «Como la muestra es grande, la población se vuelve normal.»

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1. Escribimos qué dice el teorema. Que la distribución de $\bar{x}$ se acerca a una normal con media $\mu$ y desvío $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ a medida que crece $n$ , sea cual sea la distribución de la población.

2. Identificamos sobre qué habla la afirmación. Hay que distinguir tres cosas que se confunden: la distribución de la población, la de los datos de una muestra, y la de los promedios de muchas muestras. El teorema habla solo de la tercera.

3. Analizamos la afirmación. Acá el teorema no cambia la población. La población es la que es, con la forma que tenga; lo que se vuelve aproximadamente normal es la distribución de las medias muestrales.

4. Concluimos. La afirmación es incorrecta.

5. El experimento mental que lo aclara. Imaginar que se toman mil muestras y se anota el promedio de cada una. El histograma de esos mil promedios es el que tiende a la campana. El histograma de los datos de cualquiera de esas muestras, no.

Respuesta: Es incorrecta: el teorema no cambia la población. La población es la que es, con la forma que tenga; lo que se vuelve aproximadamente normal es la distribución de las medias muestrales

4. Una variable se reparte de forma uniforme entre $10$ y $40$ pesos, así que su población no es normal. Se toman muestras de $36$ casos. Calculá los parámetros de $\bar{x}$ y la probabilidad de que supere $28$ .

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1. Calculamos la media y el desvío de la población. $\mu = \dfrac{10 + 40}{2} = 25$ y $\sigma = \sqrt{\dfrac{(40 - 10)^{2}}{12}} = 8{,}6603$ pesos.

2. Aplicamos el teorema. La población es uniforme, no normal, pero con $n = 36$ el promedio ya se comporta como normal.

3. Calculamos los parámetros del promedio. $E(\bar{x}) = 25$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{8{,}6603}{\sqrt{36}} = 1{,}4434$ .

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{28 - 25}{1{,}4434} \approx 2{,}0785$

5. Calculamos. $P(\bar{x} > 28) = 1 - 0{,}9812 = 0{,}0188$

6. Por qué con la uniforme alcanza tan poco $n$ . La uniforme es simétrica, y con poblaciones simétricas la aproximación funciona bien con muestras chicas. Las que necesitan muestras grandes son las muy asimétricas.

Respuesta: $\bar{x}$ es normal con $\mu = 25$ y $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}4434$ , y $P(\bar{x} > 28) = 0{,}0188$

5. En una población, la cantidad de hijos por hogar, discreta y con pocos valores, la media es $80$ y el desvío $8$ hijos. Se toman muestras aleatorias de $64$ casos. Decidí qué distribución tiene aproximadamente $\bar{x}$ y dá sus parámetros.

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1. Vemos que la población no es normal. El enunciado describe la cantidad de hijos por hogar, discreta y con pocos valores, así que no se puede tratar directamente como una normal.

2. Aplicamos el teorema central del límite. Dice que el promedio de una muestra suficientemente grande se distribuye aproximadamente normal, sin importar cómo sea la población de origen.

3. Verificamos que la muestra alcance. $n = 64$ es holgadamente grande, así que la aproximación es buena aunque la población sea muy asimétrica.

4. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = \mu = 80$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{8}{\sqrt{64}} = 1$ hijos.

5. Escribimos el resultado. $\bar{x}$ es aproximadamente normal con media $80$ y desvío $1$ .

6. Lo que el teorema no dice. No dice que la población se vuelva normal. La población sigue siendo igual de asimétrica. Lo que se vuelve normal es la distribución de las medias, que es otra cosa.

Respuesta: $\bar{x}$ es aproximadamente normal con $\mu = 80$ y $\sigma_{\bar{x}} = 1$ hijos

6. Los tiempos entre llegadas a un local siguen una exponencial de media $7$ minutos, con desvío también $7$ . Se toma una muestra de $144$ tiempos. Calculá $P(\bar{x} > 5{,}25)$ .

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1. Reconocemos que la población no es normal. La exponencial es muy asimétrica, con un pico en cero y cola larga a la derecha.

2. Aplicamos el teorema central del límite. Con $n = 144$ , $\bar{x}$ es aproximadamente normal aunque la población no lo sea.

3. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = 7$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{7}{\sqrt{144}} = 0{,}5833$ minutos.

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{5{,}25 - 7}{0{,}5833} \approx -3$

5. Calculamos. $P(\bar{x} > 5{,}25) = 1 - P(Z \leq -3) = 1 - 0{,}0013 = 0{,}9987$

6. Por qué esto funciona. El promedio suaviza: los valores altos de la cola se compensan con los muchos valores chicos, y el resultado se acerca a una campana. Ese es todo el contenido del teorema.

Respuesta: $P(\bar{x} > 5{,}25) = 0{,}9987$

7. Evaluá si esta afirmación sobre el teorema central del límite es correcta y justificá: «Con una muestra grande, la distribución de los promedios muestrales es aproximadamente normal aunque la población sea asimétrica.»

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1. Escribimos qué dice el teorema. Que la distribución de $\bar{x}$ se acerca a una normal con media $\mu$ y desvío $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ a medida que crece $n$ , sea cual sea la distribución de la población.

2. Identificamos sobre qué habla la afirmación. Hay que distinguir tres cosas que se confunden: la distribución de la población, la de los datos de una muestra, y la de los promedios de muchas muestras. El teorema habla solo de la tercera.

3. Analizamos la afirmación. Acá eso es exactamente lo que afirma el teorema, y la parte de «aunque la población sea asimétrica» es lo que lo hace valioso.

4. Concluimos. La afirmación es correcta.

5. El experimento mental que lo aclara. Imaginar que se toman mil muestras y se anota el promedio de cada una. El histograma de esos mil promedios es el que tiende a la campana. El histograma de los datos de cualquiera de esas muestras, no.

Respuesta: Es correcta: eso es exactamente lo que afirma el teorema, y la parte de «aunque la población sea asimétrica» es lo que lo hace valioso

8. Una variable se reparte de forma uniforme entre $15$ y $35$ minutos, así que su población no es normal. Se toman muestras de $64$ casos. Calculá los parámetros de $\bar{x}$ y la probabilidad de que supere $22$ .

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1. Calculamos la media y el desvío de la población. $\mu = \dfrac{15 + 35}{2} = 25$ y $\sigma = \sqrt{\dfrac{(35 - 15)^{2}}{12}} = 5{,}7735$ minutos.

2. Aplicamos el teorema. La población es uniforme, no normal, pero con $n = 64$ el promedio ya se comporta como normal.

3. Calculamos los parámetros del promedio. $E(\bar{x}) = 25$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{5{,}7735}{\sqrt{64}} = 0{,}7217$ .

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{22 - 25}{0{,}7217} \approx -4{,}1569$

5. Calculamos. $P(\bar{x} > 22) = 1 - 0 = 1$

6. Por qué con la uniforme alcanza tan poco $n$ . La uniforme es simétrica, y con poblaciones simétricas la aproximación funciona bien con muestras chicas. Las que necesitan muestras grandes son las muy asimétricas.

Respuesta: $\bar{x}$ es normal con $\mu = 25$ y $\sigma_{\bar{x}} = 0{,}7217$ , y $P(\bar{x} > 22) = 1$

9. En una población, los montos de las compras, muy asimétricos con cola a la derecha, la media es $70$ y el desvío $9$ pesos. Se toman muestras aleatorias de $144$ casos. Decidí qué distribución tiene aproximadamente $\bar{x}$ y dá sus parámetros.

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1. Vemos que la población no es normal. El enunciado describe los montos de las compras, muy asimétricos con cola a la derecha, así que no se puede tratar directamente como una normal.

2. Aplicamos el teorema central del límite. Dice que el promedio de una muestra suficientemente grande se distribuye aproximadamente normal, sin importar cómo sea la población de origen.

3. Verificamos que la muestra alcance. $n = 144$ es holgadamente grande, así que la aproximación es buena aunque la población sea muy asimétrica.

4. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = \mu = 70$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{9}{\sqrt{144}} = 0{,}75$ pesos.

5. Escribimos el resultado. $\bar{x}$ es aproximadamente normal con media $70$ y desvío $0{,}75$ .

6. Lo que el teorema no dice. No dice que la población se vuelva normal. La población sigue siendo igual de asimétrica. Lo que se vuelve normal es la distribución de las medias, que es otra cosa.

Respuesta: $\bar{x}$ es aproximadamente normal con $\mu = 70$ y $\sigma_{\bar{x}} = 0{,}75$ pesos

10. Los tiempos entre llegadas a un local siguen una exponencial de media $11$ minutos, con desvío también $11$ . Se toma una muestra de $144$ tiempos. Calculá $P(\bar{x} > 11{,}9167)$ .

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1. Reconocemos que la población no es normal. La exponencial es muy asimétrica, con un pico en cero y cola larga a la derecha.

2. Aplicamos el teorema central del límite. Con $n = 144$ , $\bar{x}$ es aproximadamente normal aunque la población no lo sea.

3. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = 11$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{11}{\sqrt{144}} = 0{,}9167$ minutos.

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{11{,}9167 - 11}{0{,}9167} = 1$

5. Calculamos. $P(\bar{x} > 11{,}9167) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$

6. Por qué esto funciona. El promedio suaviza: los valores altos de la cola se compensan con los muchos valores chicos, y el resultado se acerca a una campana. Ese es todo el contenido del teorema.

Respuesta: $P(\bar{x} > 11{,}9167) = 0{,}1587$

11. Evaluá si esta afirmación sobre el teorema central del límite es correcta y justificá: «Como la muestra es grande, los datos individuales se van a parecer a una normal.»

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1. Escribimos qué dice el teorema. Que la distribución de $\bar{x}$ se acerca a una normal con media $\mu$ y desvío $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ a medida que crece $n$ , sea cual sea la distribución de la población.

2. Identificamos sobre qué habla la afirmación. Hay que distinguir tres cosas que se confunden: la distribución de la población, la de los datos de una muestra, y la de los promedios de muchas muestras. El teorema habla solo de la tercera.

3. Analizamos la afirmación. Acá los datos individuales siguen la distribución de la población, sin importar cuántos se tomen. Agrandar la muestra no cambia la forma del histograma de los datos, solo la dibuja mejor.

4. Concluimos. La afirmación es incorrecta.

5. El experimento mental que lo aclara. Imaginar que se toman mil muestras y se anota el promedio de cada una. El histograma de esos mil promedios es el que tiende a la campana. El histograma de los datos de cualquiera de esas muestras, no.

Respuesta: Es incorrecta: los datos individuales siguen la distribución de la población, sin importar cuántos se tomen. Agrandar la muestra no cambia la forma del histograma de los datos, solo la dibuja mejor

12. Una variable se reparte de forma uniforme entre $0$ y $20$ puntos, así que su población no es normal. Se toman muestras de $49$ casos. Calculá los parámetros de $\bar{x}$ y la probabilidad de que supere $12$ .

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1. Calculamos la media y el desvío de la población. $\mu = \dfrac{0 + 20}{2} = 10$ y $\sigma = \sqrt{\dfrac{(20 - 0)^{2}}{12}} = 5{,}7735$ puntos.

2. Aplicamos el teorema. La población es uniforme, no normal, pero con $n = 49$ el promedio ya se comporta como normal.

3. Calculamos los parámetros del promedio. $E(\bar{x}) = 10$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{5{,}7735}{\sqrt{49}} = 0{,}8248$ .

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{12 - 10}{0{,}8248} \approx 2{,}4249$

5. Calculamos. $P(\bar{x} > 12) = 1 - 0{,}9923 = 0{,}0077$

6. Por qué con la uniforme alcanza tan poco $n$ . La uniforme es simétrica, y con poblaciones simétricas la aproximación funciona bien con muestras chicas. Las que necesitan muestras grandes son las muy asimétricas.

Respuesta: $\bar{x}$ es normal con $\mu = 10$ y $\sigma_{\bar{x}} = 0{,}8248$ , y $P(\bar{x} > 12) = 0{,}0077$