Ejercicios: El teorema aplicado a promedios

2. Hallamos sus parámetros. $E(\bar{x}) = 60$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{19}{\sqrt{36}} = 3{,}1667$ gramos.

3. Estandarizamos con el error estándar. $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \dfrac{66 - 60}{3{,}1667} \approx 1{,}8947$

4. Buscamos en la tabla. $P(\bar{x} > 66) = 1 - P(Z \leq 1{,}8947) = 1 - 0{,}9709 = 0{,}0291$

5. Verificamos el sentido. $66$ está por encima de la media, así que el resultado tenía que dar menor que $0{,}5$.

6. El único cambio respecto de una normal común. En el denominador va $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y no $\sigma$. Olvidarlo da resultados mucho más grandes de lo que corresponde, porque ignora que los promedios se dispersan menos.

Respuesta: $P(\bar{x} > 66) = 0{,}0291$

2. Estandarizamos los dos extremos. $z_1 = \dfrac{87 - 90}{2} = -1{,}5$ y $z_2 = \dfrac{96 - 90}{2} = 3$.

3. Escribimos la probabilidad como diferencia. $P(Z \leq 3) - P(Z \leq -1{,}5) = 0{,}9987 - 0{,}0668 \approx 0{,}9318$

4. Interpretamos. Hay un $93{,}18\%$ de probabilidad de que el promedio de la muestra caiga en ese rango.

5. Comparamos con los datos individuales. Para un caso individual el mismo intervalo daría $0{,}2205$, mucho menos: el promedio se concentra más cerca de la media.

6. Lo que decide la diferencia. El $\sqrt{n}$ del denominador. Cuanto más grande la muestra, más angosta la distribución del promedio.

Respuesta: $P(87 \leq \bar{x} \leq 96) = 0{,}9318$

2. Resolvemos el caso del promedio. Ahora la variable es $\bar{x}$, con desvío $\dfrac{16}{\sqrt{36}} = 2{,}6667$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{98 - 90}{2{,}6667} \approx 3$, y $P(\bar{x} > 98) = 1 - 0{,}9987 = 0{,}0013$.

4. Comparamos. $0{,}0013$ contra $0{,}3085$: es mucho menos probable que se aparte el promedio.

5. Explicamos por qué. Para que un caso individual supere $98$ alcanza con que ese caso sea alto. Para que lo supere el promedio de $36$ casos, tienen que ser altos casi todos a la vez, y eso es mucho más raro.

6. La palabra que decide la cuenta. Leer si el enunciado dice «uno» o «el promedio de». Esa sola palabra cambia el denominador y con él todo el resultado.

Respuesta: Individual: $0{,}3085$. Promedio de $36$: $0{,}0013$

2. Hallamos los parámetros del promedio. $E(\bar{x}) = 90$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{17}{\sqrt{25}} = 3{,}4$.

3. Buscamos el $z$ en la tabla. $P(Z \leq z) = 0{,}01$ da $z = -2{,}3263$, negativo porque la probabilidad no llega a $0{,}5$.

4. Deshacemos la estandarización. $c = \mu + z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 90 - 2{,}3263 \cdot 3{,}4 \approx 82{,}0904$

5. Verificamos. $z = \dfrac{82{,}0904 - 90}{3{,}4} \approx -2{,}3263$ y $P(Z \leq -2{,}3263) = 0{,}01$.

6. El detalle que cambia todo. En el despeje va el error estándar, no $\sigma$. Con $\sigma$ el valor saldría mucho más lejos de la media de lo que corresponde.

Respuesta: $c = 82{,}0904$ minutos

2. Hallamos sus parámetros. $E(\bar{x}) = 50$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{49}} = 2{,}1429$ minutos.

3. Estandarizamos con el error estándar. $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \dfrac{56 - 50}{2{,}1429} \approx 2{,}8$

4. Buscamos en la tabla. $P(\bar{x} > 56) = 1 - P(Z \leq 2{,}8) = 1 - 0{,}9974 = 0{,}0026$

5. Verificamos el sentido. $56$ está por encima de la media, así que el resultado tenía que dar menor que $0{,}5$.

6. El único cambio respecto de una normal común. En el denominador va $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y no $\sigma$. Olvidarlo da resultados mucho más grandes de lo que corresponde, porque ignora que los promedios se dispersan menos.

Respuesta: $P(\bar{x} > 56) = 0{,}0026$

2. Estandarizamos los dos extremos. $z_1 = \dfrac{96 - 100}{2} = -2$ y $z_2 = \dfrac{103 - 100}{2} = 1{,}5$.

3. Escribimos la probabilidad como diferencia. $P(Z \leq 1{,}5) - P(Z \leq -2) = 0{,}9332 - 0{,}0228 = 0{,}9104$

4. Interpretamos. Hay un $91{,}04\%$ de probabilidad de que el promedio de la muestra caiga en ese rango.

5. Comparamos con los datos individuales. Para un caso individual el mismo intervalo daría $0{,}1731$, mucho menos: el promedio se concentra más cerca de la media.

6. Lo que decide la diferencia. El $\sqrt{n}$ del denominador. Cuanto más grande la muestra, más angosta la distribución del promedio.

Respuesta: $P(96 \leq \bar{x} \leq 103) = 0{,}9104$

2. Resolvemos el caso del promedio. Ahora la variable es $\bar{x}$, con desvío $\dfrac{16}{\sqrt{16}} = 4$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{94 - 90}{4} = 1$, y $P(\bar{x} > 94) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.

4. Comparamos. $0{,}1587$ contra $0{,}4013$: es mucho menos probable que se aparte el promedio.

5. Explicamos por qué. Para que un caso individual supere $94$ alcanza con que ese caso sea alto. Para que lo supere el promedio de $16$ casos, tienen que ser altos casi todos a la vez, y eso es mucho más raro.

6. La palabra que decide la cuenta. Leer si el enunciado dice «uno» o «el promedio de». Esa sola palabra cambia el denominador y con él todo el resultado.

Respuesta: Individual: $0{,}4013$. Promedio de $16$: $0{,}1587$

2. Hallamos los parámetros del promedio. $E(\bar{x}) = 110$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{21}{\sqrt{36}} = 3{,}5$.

3. Buscamos el $z$ en la tabla. $P(Z \leq z) = 0{,}05$ da $z = -1{,}6449$, negativo porque la probabilidad no llega a $0{,}5$.

4. Deshacemos la estandarización. $c = \mu + z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 110 - 1{,}6449 \cdot 3{,}5 \approx 104{,}243$

5. Verificamos. $z = \dfrac{104{,}243 - 110}{3{,}5} \approx -1{,}6449$ y $P(Z \leq -1{,}6449) = 0{,}05$.

6. El detalle que cambia todo. En el despeje va el error estándar, no $\sigma$. Con $\sigma$ el valor saldría mucho más lejos de la media de lo que corresponde.

Respuesta: $c = 104{,}243$ cm

2. Hallamos sus parámetros. $E(\bar{x}) = 80$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{13}{\sqrt{36}} = 2{,}1667$ cm.

3. Estandarizamos con el error estándar. $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \dfrac{83 - 80}{2{,}1667} \approx 1{,}3846$

4. Buscamos en la tabla. $P(\bar{x} > 83) = 1 - P(Z \leq 1{,}3846) = 1 - 0{,}9169 = 0{,}0831$

5. Verificamos el sentido. $83$ está por encima de la media, así que el resultado tenía que dar menor que $0{,}5$.

6. El único cambio respecto de una normal común. En el denominador va $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y no $\sigma$. Olvidarlo da resultados mucho más grandes de lo que corresponde, porque ignora que los promedios se dispersan menos.

Respuesta: $P(\bar{x} > 83) = 0{,}0831$

2. Estandarizamos los dos extremos. $z_1 = \dfrac{137 - 140}{1{,}9} \approx -1{,}5789$ y $z_2 = \dfrac{146 - 140}{1{,}9} \approx 3{,}1579$.

3. Escribimos la probabilidad como diferencia. $P(Z \leq 3{,}1579) - P(Z \leq -1{,}5789) = 0{,}9992 - 0{,}0572 = 0{,}942$

4. Interpretamos. Hay un $94{,}2\%$ de probabilidad de que el promedio de la muestra caiga en ese rango.

5. Comparamos con los datos individuales. Para un caso individual el mismo intervalo daría $0{,}1866$, mucho menos: el promedio se concentra más cerca de la media.

6. Lo que decide la diferencia. El $\sqrt{n}$ del denominador. Cuanto más grande la muestra, más angosta la distribución del promedio.

Respuesta: $P(137 \leq \bar{x} \leq 146) = 0{,}942$

2. Resolvemos el caso del promedio. Ahora la variable es $\bar{x}$, con desvío $\dfrac{18}{\sqrt{25}} = 3{,}6$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{67 - 60}{3{,}6} \approx 1{,}9444$, y $P(\bar{x} > 67) = 1 - 0{,}9741 = 0{,}0259$.

4. Comparamos. $0{,}0259$ contra $0{,}3487$: es mucho menos probable que se aparte el promedio.

5. Explicamos por qué. Para que un caso individual supere $67$ alcanza con que ese caso sea alto. Para que lo supere el promedio de $25$ casos, tienen que ser altos casi todos a la vez, y eso es mucho más raro.

6. La palabra que decide la cuenta. Leer si el enunciado dice «uno» o «el promedio de». Esa sola palabra cambia el denominador y con él todo el resultado.

Respuesta: Individual: $0{,}3487$. Promedio de $25$: $0{,}0259$

2. Hallamos los parámetros del promedio. $E(\bar{x}) = 80$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{11}{\sqrt{64}} = 1{,}375$.

3. Buscamos el $z$ en la tabla. $P(Z \leq z) = 0{,}9$ da $z = 1{,}2816$, positivo porque la probabilidad supera a $0{,}5$.

4. Deshacemos la estandarización. $c = \mu + z \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 80 + 1{,}2816 \cdot 1{,}375 \approx 81{,}7621$

5. Verificamos. $z = \dfrac{81{,}7621 - 80}{1{,}375} \approx 1{,}2816$ y $P(Z \leq 1{,}2816) = 0{,}9$.

6. El detalle que cambia todo. En el despeje va el error estándar, no $\sigma$. Con $\sigma$ el valor saldría mucho más lejos de la media de lo que corresponde.

Respuesta: $c = 81{,}7621$ gramos