Ejercicios: El teorema aplicado a totales y proporciones

1. En una población, la altura de los alumnos tiene media $55$ y desvío $11$ cm. Se toman $100$ casos y se suma el total. Calculá la media y el desvío del total, y la probabilidad de que supere $5449$ cm.

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1. Escribimos los parámetros del total. $\mu_T = n \mu$ y $\sigma_T = \sigma \sqrt{n}$ . Las varianzas se suman, así que la varianza del total es $n \sigma^{2}$ y el desvío queda con $\sqrt{n}$ multiplicando.

2. Calculamos. $\mu_T = 100 \cdot 55 = 5500$ y $\sigma_T = 11 \cdot \sqrt{100} = 11 \cdot 10 = 110$ cm.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{5449 - 5500}{110} \approx -0{,}4636$

4. Calculamos la probabilidad. $P(T > 5449) = 1 - 0{,}3215 = 0{,}6785$

5. Comparamos con el promedio. El promedio tiene desvío $\dfrac{11}{\sqrt{100}} = 1{,}1$ y el total $110$ . Es la misma $\sqrt{n}$ : dividiendo en un caso y multiplicando en el otro.

6. La idea que hay detrás. El total se dispersa más que un individuo, porque acumula la variabilidad de los $n$ casos. El promedio se dispersa menos, porque las diferencias se compensan al dividir.

Respuesta: $\mu_T = 5500$ , $\sigma_T = 110$ y $P(T > 5449) = 0{,}6785$

2. En una población, la duración de las baterías tiene media $50$ y desvío $12$ horas. Se toman $36$ casos. Calculá la probabilidad de que el total supere $1837$ horas de dos formas: trabajando con el total y convirtiendo la pregunta en una sobre el promedio.

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1. Primera forma: trabajamos con el total. $\mu_T = 36 \cdot 50 = 1800$ y $\sigma_T = 12 \cdot \sqrt{36} = 72$ .

2. Estandarizamos el total. $z = \dfrac{1837 - 1800}{72} \approx 0{,}5139$ , así que $P(T > 1837) = 0{,}3037$ .

3. Segunda forma: pasamos a promedio. $T > 1837$ es lo mismo que $\bar{x} > \dfrac{1837}{36} = 51{,}0278$ , porque dividir por $36$ no cambia la desigualdad.

4. Estandarizamos el promedio. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = 2$ , y $z = \dfrac{51{,}0278 - 50}{2} = 0{,}5139$ .

5. Comparamos los dos caminos. Los dos $z$ dan $0{,}5139$ y la probabilidad es $0{,}3037$ por los dos lados.

6. Por qué tenían que coincidir. Dividir el total por $n$ divide la media por $n$ y el desvío también por $n$ , así que el cociente que define al $z$ no cambia. Conviene elegir el camino más cómodo en cada problema.

Respuesta: $P(T > 1837) = 0{,}3037$ por los dos caminos

3. En una población, la proporción de las piezas defectuosas es $0{,}45$ . Se toma una muestra de $200$ piezas. Calculá la probabilidad de que la proporción muestral difiera de $0{,}45$ en más de $0{,}02$ .

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1. Verificamos que se pueda usar la normal. $np = 90$ y $n(1-p) = 110$ , los dos mayores que $5$ , así que vale la aproximación del teorema.

2. Calculamos el error estándar. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}45 \cdot 0{,}55}{200}} \approx 0{,}0352$

3. Traducimos la pregunta. $P(|\hat{p} - 0{,}45| > 0{,}02)$ : son las dos colas juntas.

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{0{,}02}{0{,}0352} \approx 0{,}5685$

5. Calculamos las dos colas. $P = 2 \cdot (1 - P(Z \leq 0{,}5685)) = 2 \cdot 0{,}2848 \approx 0{,}5697$

6. Interpretamos. Hay un $56{,}97\%$ de probabilidad de que la muestra se aparte tanto de la proporción real solo por azar. Ese número es el que después se usa para decidir si un resultado es sorprendente.

Respuesta: $P(|\hat{p} - 0{,}45| > 0{,}02) = 0{,}5697$

4. En una población, la duración de las baterías tiene media $20$ y desvío $12$ horas. Para muestras de $25$ casos, calculá el desvío de un caso individual, el del promedio y el del total, y ordenalos.

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1. Escribimos los tres desvíos. Individual: $\sigma = 12$ . Promedio: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Total: $\sigma \sqrt{n}$ .

2. Calculamos el del promedio. $\dfrac{12}{\sqrt{25}} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ horas.

3. Calculamos el del total. $12 \cdot \sqrt{25} = 12 \cdot 5 = 60$ horas.

4. Los ordenamos. $2{,}4 < 12 < 60$ : el promedio es el menos disperso y el total el más disperso.

5. Explicamos por qué. El promedio compensa: los valores altos y bajos se cancelan al dividir. El total acumula: todas las variabilidades se suman sin cancelarse.

6. La simetría de las fórmulas. Es la misma $\sqrt{n}$ en los dos casos, dividiendo para el promedio y multiplicando para el total. Con $n = 25$ , el factor es $5$ en las dos direcciones.

Respuesta: Promedio $2{,}4$ , individual $12$ y total $60$ horas

5. En una población, el tiempo de armado tiene media $55$ y desvío $8$ minutos. Se toman $49$ casos y se suma el total. Calculá la media y el desvío del total, y la probabilidad de que supere $2600$ minutos.

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1. Escribimos los parámetros del total. $\mu_T = n \mu$ y $\sigma_T = \sigma \sqrt{n}$ . Las varianzas se suman, así que la varianza del total es $n \sigma^{2}$ y el desvío queda con $\sqrt{n}$ multiplicando.

2. Calculamos. $\mu_T = 49 \cdot 55 = 2695$ y $\sigma_T = 8 \cdot \sqrt{49} = 8 \cdot 7 = 56$ minutos.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{2600 - 2695}{56} \approx -1{,}6964$

4. Calculamos la probabilidad. $P(T > 2600) = 1 - 0{,}0449 = 0{,}9551$

5. Comparamos con el promedio. El promedio tiene desvío $\dfrac{8}{\sqrt{49}} = 1{,}1429$ y el total $56$ . Es la misma $\sqrt{n}$ : dividiendo en un caso y multiplicando en el otro.

6. La idea que hay detrás. El total se dispersa más que un individuo, porque acumula la variabilidad de los $n$ casos. El promedio se dispersa menos, porque las diferencias se compensan al dividir.

Respuesta: $\mu_T = 2695$ , $\sigma_T = 56$ y $P(T > 2600) = 0{,}9551$

6. En una población, el peso de los envases tiene media $35$ y desvío $12$ gramos. Se toman $25$ casos. Calculá la probabilidad de que el total supere $938$ gramos de dos formas: trabajando con el total y convirtiendo la pregunta en una sobre el promedio.

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1. Primera forma: trabajamos con el total. $\mu_T = 25 \cdot 35 = 875$ y $\sigma_T = 12 \cdot \sqrt{25} = 60$ .

2. Estandarizamos el total. $z = \dfrac{938 - 875}{60} = 1{,}05$ , así que $P(T > 938) = 0{,}1469$ .

3. Segunda forma: pasamos a promedio. $T > 938$ es lo mismo que $\bar{x} > \dfrac{938}{25} = 37{,}52$ , porque dividir por $25$ no cambia la desigualdad.

4. Estandarizamos el promedio. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{25}} = 2{,}4$ , y $z = \dfrac{37{,}52 - 35}{2{,}4} = 1{,}05$ .

5. Comparamos los dos caminos. Los dos $z$ dan $1{,}05$ y la probabilidad es $0{,}1469$ por los dos lados.

6. Por qué tenían que coincidir. Dividir el total por $n$ divide la media por $n$ y el desvío también por $n$ , así que el cociente que define al $z$ no cambia. Conviene elegir el camino más cómodo en cada problema.

Respuesta: $P(T > 938) = 0{,}1469$ por los dos caminos

7. En una población, la proporción de los votantes que eligen la opción A es $0{,}7$ . Se toma una muestra de $625$ votantes. Calculá la probabilidad de que la proporción muestral difiera de $0{,}7$ en más de $0{,}02$ .

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1. Verificamos que se pueda usar la normal. $np = 437{,}5$ y $n(1-p) = 187{,}5$ , los dos mayores que $5$ , así que vale la aproximación del teorema.

2. Calculamos el error estándar. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}7 \cdot 0{,}3}{625}} \approx 0{,}0183$

3. Traducimos la pregunta. $P(|\hat{p} - 0{,}7| > 0{,}02)$ : son las dos colas juntas.

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{0{,}02}{0{,}0183} \approx 1{,}0911$

5. Calculamos las dos colas. $P = 2 \cdot (1 - P(Z \leq 1{,}0911)) = 2 \cdot 0{,}1376 = 0{,}2752$

6. Interpretamos. Hay un $27{,}52\%$ de probabilidad de que la muestra se aparte tanto de la proporción real solo por azar. Ese número es el que después se usa para decidir si un resultado es sorprendente.

Respuesta: $P(|\hat{p} - 0{,}7| > 0{,}02) = 0{,}2752$

8. En una población, el peso de los envases tiene media $25$ y desvío $6$ gramos. Para muestras de $100$ casos, calculá el desvío de un caso individual, el del promedio y el del total, y ordenalos.

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1. Escribimos los tres desvíos. Individual: $\sigma = 6$ . Promedio: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Total: $\sigma \sqrt{n}$ .

2. Calculamos el del promedio. $\dfrac{6}{\sqrt{100}} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ gramos.

3. Calculamos el del total. $6 \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60$ gramos.

4. Los ordenamos. $0{,}6 < 6 < 60$ : el promedio es el menos disperso y el total el más disperso.

5. Explicamos por qué. El promedio compensa: los valores altos y bajos se cancelan al dividir. El total acumula: todas las variabilidades se suman sin cancelarse.

6. La simetría de las fórmulas. Es la misma $\sqrt{n}$ en los dos casos, dividiendo para el promedio y multiplicando para el total. Con $n = 100$ , el factor es $10$ en las dos direcciones.

Respuesta: Promedio $0{,}6$ , individual $6$ y total $60$ gramos

9. En una población, el puntaje del examen tiene media $50$ y desvío $12$ puntos. Se toman $36$ casos y se suma el total. Calculá la media y el desvío del total, y la probabilidad de que supere $1910$ puntos.

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1. Escribimos los parámetros del total. $\mu_T = n \mu$ y $\sigma_T = \sigma \sqrt{n}$ . Las varianzas se suman, así que la varianza del total es $n \sigma^{2}$ y el desvío queda con $\sqrt{n}$ multiplicando.

2. Calculamos. $\mu_T = 36 \cdot 50 = 1800$ y $\sigma_T = 12 \cdot \sqrt{36} = 12 \cdot 6 = 72$ puntos.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{1910 - 1800}{72} \approx 1{,}5278$

4. Calculamos la probabilidad. $P(T > 1910) = 1 - 0{,}9367 = 0{,}0633$

5. Comparamos con el promedio. El promedio tiene desvío $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = 2$ y el total $72$ . Es la misma $\sqrt{n}$ : dividiendo en un caso y multiplicando en el otro.

6. La idea que hay detrás. El total se dispersa más que un individuo, porque acumula la variabilidad de los $n$ casos. El promedio se dispersa menos, porque las diferencias se compensan al dividir.

Respuesta: $\mu_T = 1800$ , $\sigma_T = 72$ y $P(T > 1910) = 0{,}0633$

10. En una población, el puntaje del examen tiene media $25$ y desvío $4$ puntos. Se toman $36$ casos. Calculá la probabilidad de que el total supere $960$ puntos de dos formas: trabajando con el total y convirtiendo la pregunta en una sobre el promedio.

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1. Primera forma: trabajamos con el total. $\mu_T = 36 \cdot 25 = 900$ y $\sigma_T = 4 \cdot \sqrt{36} = 24$ .

2. Estandarizamos el total. $z = \dfrac{960 - 900}{24} = 2{,}5$ , así que $P(T > 960) = 0{,}0062$ .

3. Segunda forma: pasamos a promedio. $T > 960$ es lo mismo que $\bar{x} > \dfrac{960}{36} = 26{,}6667$ , porque dividir por $36$ no cambia la desigualdad.

4. Estandarizamos el promedio. $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{4}{\sqrt{36}} = 0{,}6667$ , y $z = \dfrac{26{,}6667 - 25}{0{,}6667} \approx 2{,}5$ .

5. Comparamos los dos caminos. Los dos $z$ dan $2{,}5$ y la probabilidad es $0{,}0062$ por los dos lados.

6. Por qué tenían que coincidir. Dividir el total por $n$ divide la media por $n$ y el desvío también por $n$ , así que el cociente que define al $z$ no cambia. Conviene elegir el camino más cómodo en cada problema.

Respuesta: $P(T > 960) = 0{,}0062$ por los dos caminos

11. En una población, la proporción de los clientes que renuevan la suscripción es $0{,}53$ . Se toma una muestra de $400$ clientes. Calculá la probabilidad de que la proporción muestral difiera de $0{,}53$ en más de $0{,}02$ .

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1. Verificamos que se pueda usar la normal. $np = 212$ y $n(1-p) = 188$ , los dos mayores que $5$ , así que vale la aproximación del teorema.

2. Calculamos el error estándar. $EE = \sqrt{\dfrac{0{,}53 \cdot 0{,}47}{400}} \approx 0{,}025$

3. Traducimos la pregunta. $P(|\hat{p} - 0{,}53| > 0{,}02)$ : son las dos colas juntas.

4. Estandarizamos. $z = \dfrac{0{,}02}{0{,}025} \approx 0{,}8014$

5. Calculamos las dos colas. $P = 2 \cdot (1 - P(Z \leq 0{,}8014)) = 2 \cdot 0{,}2114 \approx 0{,}4229$

6. Interpretamos. Hay un $42{,}29\%$ de probabilidad de que la muestra se aparte tanto de la proporción real solo por azar. Ese número es el que después se usa para decidir si un resultado es sorprendente.

Respuesta: $P(|\hat{p} - 0{,}53| > 0{,}02) = 0{,}4229$

12. En una población, el gasto mensual tiene media $55$ y desvío $13$ miles de pesos. Para muestras de $100$ casos, calculá el desvío de un caso individual, el del promedio y el del total, y ordenalos.

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1. Escribimos los tres desvíos. Individual: $\sigma = 13$ . Promedio: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Total: $\sigma \sqrt{n}$ .

2. Calculamos el del promedio. $\dfrac{13}{\sqrt{100}} = \dfrac{13}{10} = 1{,}3$ miles de pesos.

3. Calculamos el del total. $13 \cdot \sqrt{100} = 13 \cdot 10 = 130$ miles de pesos.

4. Los ordenamos. $1{,}3 < 13 < 130$ : el promedio es el menos disperso y el total el más disperso.

5. Explicamos por qué. El promedio compensa: los valores altos y bajos se cancelan al dividir. El total acumula: todas las variabilidades se suman sin cancelarse.

6. La simetría de las fórmulas. Es la misma $\sqrt{n}$ en los dos casos, dividiendo para el promedio y multiplicando para el total. Con $n = 100$ , el factor es $10$ en las dos direcciones.

Respuesta: Promedio $1{,}3$ , individual $13$ y total $130$ miles de pesos