Ejercicios: Cuándo alcanza el tamaño de muestra

2. Revisamos el caso normal. Si la población es normal, el promedio es normal exacto para cualquier $n$. Ahí no hay nada que verificar.

3. Revisamos el caso no normal. Si la población es simétrica pero no normal, con quince o veinte casos suele alcanzar. Si es muy asimétrica, hacen falta muchos más.

4. Analizamos la situación. Acá si la población ya es normal, el promedio de cualquier muestra es exactamente normal, sin aproximación. No hace falta ninguna condición sobre $n$.

5. Concluimos. Cualquier tamaño alcanza.

6. Sobre la regla de treinta. No es un teorema, es una costumbre. Funciona en la mayoría de los casos y falla justamente cuando la población es muy asimétrica, que es cuando más falta hace un criterio.

Respuesta: Cualquier tamaño alcanza: si la población ya es normal, el promedio de cualquier muestra es exactamente normal, sin aproximación. No hace falta ninguna condición sobre $n$

2. Aplicamos la propiedad de la normal. El promedio de variables normales independientes vuelve a ser normal, exactamente. Con $n = 8$ no hace falta invocar el teorema central del límite ni verificar nada.

3. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = 110$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{8}{\sqrt{8}} = 2{,}8284$.

4. Estandarizamos y calculamos. $z = \dfrac{114 - 110}{2{,}8284} \approx 1{,}4142$, y $P(\bar{x} > 114) = 1 - 0{,}9214 = 0{,}0786$.

5. Marcamos la diferencia con el caso general. Acá el resultado es exacto, no aproximado. El teorema central del límite hace falta solo cuando la población no es normal.

6. Lo que sí seguiría siendo un problema. Que la muestra no fuera aleatoria. La normalidad de la población no arregla un sesgo de selección.

Respuesta: Sí se puede, y da $P(\bar{x} > 114) = 0{,}0786$

2. Analizamos la muestra chica. Con $n = 5$, el promedio de unos pocos valores de una exponencial arrastra la asimetría de la población: la distribución de los promedios todavía tiene cola a la derecha y no es simétrica.

3. Analizamos la muestra grande. Con $n = 100$ la aproximación ya es buena. La asimetría se diluye porque el promedio de muchos valores compensa los pocos muy altos con los muchos bajos.

4. Calculamos los parámetros en el caso válido. $E(\bar{x}) = 13$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{13}{\sqrt{100}} = 1{,}3$ horas.

5. Concluimos. Con $n = 100$ sí se puede usar la normal; con $n = 5$ no.

6. El criterio general. Cuanto más asimétrica la población, más grande tiene que ser la muestra. Mirar la forma de la población es parte del problema, no un trámite.

Respuesta: Solo con $n = 100$: ahí $\bar{x}$ es aproximadamente normal con $\mu = 13$ y $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}3$

2. Vemos qué le falta al razonamiento. No menciona la forma de la población, que es la mitad del criterio. El tamaño solo no decide nada.

3. Revisamos los casos donde el umbral sobra. Si la población fuera normal, con cualquier $n$ alcanzaría: $32$ es innecesariamente exigente.

4. Revisamos los casos donde el umbral no alcanza. Con una población muy asimétrica, $32$ casos pueden no ser suficientes y la aproximación queda mala justo en las colas, que suele ser donde interesa.

5. Concluimos. La afirmación no se sostiene como está. El número $30$ no es un teorema: es una regla práctica que funciona en muchos casos y falla en los extremos.

6. Qué habría que hacer. Mirar la forma de la población, con un histograma de los datos o con lo que se sepa del fenómeno, y ajustar la exigencia de $n$ según la asimetría.

Respuesta: No se sostiene: $32$ puede sobrar si la población es normal y faltar si es muy asimétrica. La regla de $30$ es una costumbre, no un teorema

2. Revisamos el caso normal. Si la población es normal, el promedio es normal exacto para cualquier $n$. Ahí no hay nada que verificar.

3. Revisamos el caso no normal. Si la población es simétrica pero no normal, con quince o veinte casos suele alcanzar. Si es muy asimétrica, hacen falta muchos más.

4. Analizamos la situación. Acá con asimetría marcada la aproximación necesita muestras bastante más grandes: con $12$ casos la distribución del promedio todavía arrastra la cola de la población.

5. Concluimos. No alcanza.

6. Sobre la regla de treinta. No es un teorema, es una costumbre. Funciona en la mayoría de los casos y falla justamente cuando la población es muy asimétrica, que es cuando más falta hace un criterio.

Respuesta: No alcanza: con asimetría marcada la aproximación necesita muestras bastante más grandes: con $12$ casos la distribución del promedio todavía arrastra la cola de la población

2. Aplicamos la propiedad de la normal. El promedio de variables normales independientes vuelve a ser normal, exactamente. Con $n = 8$ no hace falta invocar el teorema central del límite ni verificar nada.

3. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = 70$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{13}{\sqrt{8}} = 4{,}5962$.

4. Estandarizamos y calculamos. $z = \dfrac{76 - 70}{4{,}5962} \approx 1{,}3054$, y $P(\bar{x} > 76) = 1 - 0{,}9041 = 0{,}0959$.

5. Marcamos la diferencia con el caso general. Acá el resultado es exacto, no aproximado. El teorema central del límite hace falta solo cuando la población no es normal.

6. Lo que sí seguiría siendo un problema. Que la muestra no fuera aleatoria. La normalidad de la población no arregla un sesgo de selección.

Respuesta: Sí se puede, y da $P(\bar{x} > 76) = 0{,}0959$

2. Analizamos la muestra chica. Con $n = 8$, el promedio de unos pocos valores de una exponencial arrastra la asimetría de la población: la distribución de los promedios todavía tiene cola a la derecha y no es simétrica.

3. Analizamos la muestra grande. Con $n = 100$ la aproximación ya es buena. La asimetría se diluye porque el promedio de muchos valores compensa los pocos muy altos con los muchos bajos.

4. Calculamos los parámetros en el caso válido. $E(\bar{x}) = 10$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{10}{\sqrt{100}} = 1$ horas.

5. Concluimos. Con $n = 100$ sí se puede usar la normal; con $n = 8$ no.

6. El criterio general. Cuanto más asimétrica la población, más grande tiene que ser la muestra. Mirar la forma de la población es parte del problema, no un trámite.

Respuesta: Solo con $n = 100$: ahí $\bar{x}$ es aproximadamente normal con $\mu = 10$ y $\sigma_{\bar{x}} = 1$

2. Vemos qué le falta al razonamiento. No menciona la forma de la población, que es la mitad del criterio. El tamaño solo no decide nada.

3. Revisamos los casos donde el umbral sobra. Si la población fuera normal, con cualquier $n$ alcanzaría: $30$ es innecesariamente exigente.

4. Revisamos los casos donde el umbral no alcanza. Con una población muy asimétrica, $30$ casos pueden no ser suficientes y la aproximación queda mala justo en las colas, que suele ser donde interesa.

5. Concluimos. La afirmación no se sostiene como está. El número $30$ no es un teorema: es una regla práctica que funciona en muchos casos y falla en los extremos.

6. Qué habría que hacer. Mirar la forma de la población, con un histograma de los datos o con lo que se sepa del fenómeno, y ajustar la exigencia de $n$ según la asimetría.

Respuesta: No se sostiene: $30$ puede sobrar si la población es normal y faltar si es muy asimétrica. La regla de $30$ es una costumbre, no un teorema

2. Revisamos el caso normal. Si la población es normal, el promedio es normal exacto para cualquier $n$. Ahí no hay nada que verificar.

3. Revisamos el caso no normal. Si la población es simétrica pero no normal, con quince o veinte casos suele alcanzar. Si es muy asimétrica, hacen falta muchos más.

4. Analizamos la situación. Acá con poblaciones simétricas la aproximación funciona bien con quince o veinte observaciones.

5. Concluimos. Alcanza.

6. Sobre la regla de treinta. No es un teorema, es una costumbre. Funciona en la mayoría de los casos y falla justamente cuando la población es muy asimétrica, que es cuando más falta hace un criterio.

Respuesta: Alcanza: con poblaciones simétricas la aproximación funciona bien con quince o veinte observaciones

2. Aplicamos la propiedad de la normal. El promedio de variables normales independientes vuelve a ser normal, exactamente. Con $n = 8$ no hace falta invocar el teorema central del límite ni verificar nada.

3. Calculamos los parámetros. $E(\bar{x}) = 110$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{11}{\sqrt{8}} = 3{,}8891$.

4. Estandarizamos y calculamos. $z = \dfrac{114 - 110}{3{,}8891} \approx 1{,}0285$, y $P(\bar{x} > 114) = 1 - 0{,}8481 = 0{,}1519$.

5. Marcamos la diferencia con el caso general. Acá el resultado es exacto, no aproximado. El teorema central del límite hace falta solo cuando la población no es normal.

6. Lo que sí seguiría siendo un problema. Que la muestra no fuera aleatoria. La normalidad de la población no arregla un sesgo de selección.

Respuesta: Sí se puede, y da $P(\bar{x} > 114) = 0{,}1519$

2. Analizamos la muestra chica. Con $n = 8$, el promedio de unos pocos valores de una exponencial arrastra la asimetría de la población: la distribución de los promedios todavía tiene cola a la derecha y no es simétrica.

3. Analizamos la muestra grande. Con $n = 100$ la aproximación ya es buena. La asimetría se diluye porque el promedio de muchos valores compensa los pocos muy altos con los muchos bajos.

4. Calculamos los parámetros en el caso válido. $E(\bar{x}) = 12$ y $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{100}} = 1{,}2$ horas.

5. Concluimos. Con $n = 100$ sí se puede usar la normal; con $n = 8$ no.

6. El criterio general. Cuanto más asimétrica la población, más grande tiene que ser la muestra. Mirar la forma de la población es parte del problema, no un trámite.

Respuesta: Solo con $n = 100$: ahí $\bar{x}$ es aproximadamente normal con $\mu = 12$ y $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}2$

2. Vemos qué le falta al razonamiento. No menciona la forma de la población, que es la mitad del criterio. El tamaño solo no decide nada.

3. Revisamos los casos donde el umbral sobra. Si la población fuera normal, con cualquier $n$ alcanzaría: $35$ es innecesariamente exigente.

4. Revisamos los casos donde el umbral no alcanza. Con una población muy asimétrica, $35$ casos pueden no ser suficientes y la aproximación queda mala justo en las colas, que suele ser donde interesa.

5. Concluimos. La afirmación no se sostiene como está. El número $30$ no es un teorema: es una regla práctica que funciona en muchos casos y falla en los extremos.

6. Qué habría que hacer. Mirar la forma de la población, con un histograma de los datos o con lo que se sepa del fenómeno, y ajustar la exigencia de $n$ según la asimetría.

Respuesta: No se sostiene: $35$ puede sobrar si la población es normal y faltar si es muy asimétrica. La regla de $30$ es una costumbre, no un teorema