Ejercicios: La varianza muestral y la chi cuadrado

1. Una población normal tiene desvío $10$ cm en la altura de los alumnos. En una muestra de $25$ casos la varianza muestral dio $107$ . Calculá el estadístico chi cuadrado y sus grados de libertad.

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1. Escribimos el estadístico. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ sigue una distribución chi cuadrado cuando la población es normal.

2. Verificamos la condición. El enunciado dice que la población es normal, que es lo que hace falta. Sin normalidad, este resultado no vale.

3. Reemplazamos. $\dfrac{(25 - 1) \cdot 107}{10^{2}} = \dfrac{24 \cdot 107}{100} = \dfrac{2568}{100} = 25{,}68$

4. Damos los grados de libertad. $n - 1 = 24$ , no $25$ .

5. Verificamos el sentido. El estadístico es positivo, como tiene que ser: es un cociente de cantidades positivas. Y como $s^{2} = 107$ está por encima de $\sigma^{2} = 100$ , el valor queda por encima de $24$ , que es el centro aproximado de la chi cuadrado.

6. Por qué no es normal. La varianza muestral es una suma de cuadrados, así que no puede ser negativa y su distribución está torcida hacia la derecha.

Respuesta: El estadístico vale $25{,}68$ , con $24$ grados de libertad

2. Una muestra de $8$ casos dio los valores $27$ ; $35$ ; $36$ ; $37$ ; $39$ ; $47$ ; $51$ ; $59$ , con promedio $41{,}375$ . Explicá por qué la varianza muestral tiene $7$ grados de libertad y no $8$ , mostrando que el último desvío queda determinado por los anteriores.

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1. Calculamos los desvíos respecto de la media. $27 - 41{,}375 = -14{,}375$ · $35 - 41{,}375 = -6{,}375$ · $36 - 41{,}375 = -5{,}375$ · $37 - 41{,}375 = -4{,}375$ · $39 - 41{,}375 = -2{,}375$ · $47 - 41{,}375 = 5{,}625$ · $51 - 41{,}375 = 9{,}625$ · $59 - 41{,}375 = 17{,}625$

2. Sumamos los desvíos. $(-14{,}375) + (-6{,}375) + (-5{,}375) + (-4{,}375) + (-2{,}375) + 5{,}625 + 9{,}625 + 17{,}625 = 0$ . La suma de los desvíos respecto de la media siempre da cero, por cómo está definida la media.

3. Sacamos la consecuencia. Conociendo $7$ de los desvíos, el último queda determinado: tiene que ser el que hace que la suma dé cero. Acá los primeros $7$ suman $-17{,}625$ , así que el último tiene que valer $17{,}625$ .

4. Contamos las cantidades libres. De los $8$ desvíos, solo $7$ pueden elegirse libremente. Esos son los grados de libertad.

5. Vemos dónde aparece en la fórmula. Por eso la varianza muestral divide por $n - 1$ y no por $n$ : se promedia sobre la cantidad de desvíos verdaderamente independientes.

6. De dónde viene la pérdida. De usar la media de la muestra, que salió de esos mismos datos. Si se conociera la media poblacional y se usara esa, no se perdería ningún grado de libertad.

Respuesta: Hay $7$ grados de libertad porque los desvíos suman cero y el último queda determinado por los otros

3. Una población normal tiene desvío $7$ miles de pesos. En una muestra de $25$ casos, el estadístico $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ dio $13{,}848$ . Hallá la varianza muestral y el desvío muestral.

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1. Escribimos la relación. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}} = \chi^{2}$ , con la varianza muestral como incógnita.

2. Despejamos. $s^{2} = \dfrac{\chi^{2} \cdot \sigma^{2}}{n - 1}$

3. Reemplazamos. $s^{2} = \dfrac{13{,}848 \cdot 49}{24} = \dfrac{678{,}552}{24} = 28{,}273$

4. Calculamos el desvío muestral. $s = \sqrt{28{,}273} \approx 5{,}3172$ miles de pesos.

5. Comparamos con la población. $s = 5{,}3172$ contra $\sigma = 7$ : la muestra dio una dispersión menor que la poblacional, lo cual es esperable por azar.

6. El chequeo de sentido. Con $24$ grados de libertad, el estadístico se centra alrededor de $24$ . Un valor de $13{,}848$ está por debajo de ese centro, y por eso la varianza muestral salió menor que la poblacional.

Respuesta: $s^{2} = 28{,}273$ y $s = 5{,}3172$ miles de pesos

4. Una población normal tiene varianza $49$ (en horas al cuadrado). Se toman muestras de $10$ y de $20$ casos. Comparé los grados de libertad y explicá qué le pasa a la distribución de $s^{2}$ al crecer la muestra.

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1. Damos los grados de libertad. Con $n = 10$ son $9$ , y con $n = 20$ son $19$ .

2. Escribimos qué se distribuye chi cuadrado. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ , con esos grados de libertad en cada caso.

3. Vemos qué pasa con el centro. La esperanza de $s^{2}$ vale $\sigma^{2} = 49$ en los dos casos: la varianza muestral es insesgada, y por eso se divide por $n - 1$ y no por $n$ .

4. Vemos qué pasa con la dispersión. La varianza de $s^{2}$ es $\dfrac{2 \sigma^{4}}{n - 1}$ : con $9$ grados vale $533{,}5556$ y con $19$ vale $252{,}7368$ .

5. Interpretamos. Con más grados de libertad la distribución se concentra más alrededor de $49$ y se vuelve menos asimétrica. Con pocos grados está muy torcida hacia la derecha.

6. Lo que esto anticipa. Estimar una varianza con muestras chicas es muy impreciso. Por eso los intervalos para la varianza salen mucho más anchos que los de la media.

Respuesta: $9$ y $19$ grados de libertad. En los dos casos $E(s^{2}) = 49$ , pero la dispersión baja de $533{,}5556$ a $252{,}7368$

5. Una población normal tiene desvío $12$ horas en la duración de las baterías. En una muestra de $10$ casos la varianza muestral dio $154$ . Calculá el estadístico chi cuadrado y sus grados de libertad.

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1. Escribimos el estadístico. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ sigue una distribución chi cuadrado cuando la población es normal.

2. Verificamos la condición. El enunciado dice que la población es normal, que es lo que hace falta. Sin normalidad, este resultado no vale.

3. Reemplazamos. $\dfrac{(10 - 1) \cdot 154}{12^{2}} = \dfrac{9 \cdot 154}{144} = \dfrac{1386}{144} = 9{,}625$

4. Damos los grados de libertad. $n - 1 = 9$ , no $10$ .

5. Verificamos el sentido. El estadístico es positivo, como tiene que ser: es un cociente de cantidades positivas. Y como $s^{2} = 154$ está por encima de $\sigma^{2} = 144$ , el valor queda por encima de $9$ , que es el centro aproximado de la chi cuadrado.

6. Por qué no es normal. La varianza muestral es una suma de cuadrados, así que no puede ser negativa y su distribución está torcida hacia la derecha.

Respuesta: El estadístico vale $9{,}625$ , con $9$ grados de libertad

6. Una muestra de $5$ casos dio los valores $29$ ; $39$ ; $45$ ; $51$ ; $54$ , con promedio $43{,}6$ . Explicá por qué la varianza muestral tiene $4$ grados de libertad y no $5$ , mostrando que el último desvío queda determinado por los anteriores.

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1. Calculamos los desvíos respecto de la media. $29 - 43{,}6 = -14{,}6$ · $39 - 43{,}6 = -4{,}6$ · $45 - 43{,}6 = 1{,}4$ · $51 - 43{,}6 = 7{,}4$ · $54 - 43{,}6 = 10{,}4$

2. Sumamos los desvíos. $(-14{,}6) + (-4{,}6) + 1{,}4 + 7{,}4 + 10{,}4 = 0$ . La suma de los desvíos respecto de la media siempre da cero, por cómo está definida la media.

3. Sacamos la consecuencia. Conociendo $4$ de los desvíos, el último queda determinado: tiene que ser el que hace que la suma dé cero. Acá los primeros $4$ suman $-10{,}4$ , así que el último tiene que valer $10{,}4$ .

4. Contamos las cantidades libres. De los $5$ desvíos, solo $4$ pueden elegirse libremente. Esos son los grados de libertad.

5. Vemos dónde aparece en la fórmula. Por eso la varianza muestral divide por $n - 1$ y no por $n$ : se promedia sobre la cantidad de desvíos verdaderamente independientes.

6. De dónde viene la pérdida. De usar la media de la muestra, que salió de esos mismos datos. Si se conociera la media poblacional y se usara esa, no se perdería ningún grado de libertad.

Respuesta: Hay $4$ grados de libertad porque los desvíos suman cero y el último queda determinado por los otros

7. Una población normal tiene desvío $11$ cm. En una muestra de $25$ casos, el estadístico $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ dio $23{,}337$ . Hallá la varianza muestral y el desvío muestral.

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1. Escribimos la relación. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}} = \chi^{2}$ , con la varianza muestral como incógnita.

2. Despejamos. $s^{2} = \dfrac{\chi^{2} \cdot \sigma^{2}}{n - 1}$

3. Reemplazamos. $s^{2} = \dfrac{23{,}337 \cdot 121}{24} = \dfrac{2823{,}777}{24} \approx 117{,}6574$

4. Calculamos el desvío muestral. $s = \sqrt{117{,}6574} \approx 10{,}847$ cm.

5. Comparamos con la población. $s = 10{,}847$ contra $\sigma = 11$ : la muestra dio una dispersión menor que la poblacional, lo cual es esperable por azar.

6. El chequeo de sentido. Con $24$ grados de libertad, el estadístico se centra alrededor de $24$ . Un valor de $23{,}337$ está por debajo de ese centro, y por eso la varianza muestral salió menor que la poblacional.

Respuesta: $s^{2} = 117{,}6574$ y $s = 10{,}847$ cm

8. Una población normal tiene varianza $100$ (en miles de pesos al cuadrado). Se toman muestras de $8$ y de $20$ casos. Comparé los grados de libertad y explicá qué le pasa a la distribución de $s^{2}$ al crecer la muestra.

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1. Damos los grados de libertad. Con $n = 8$ son $7$ , y con $n = 20$ son $19$ .

2. Escribimos qué se distribuye chi cuadrado. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ , con esos grados de libertad en cada caso.

3. Vemos qué pasa con el centro. La esperanza de $s^{2}$ vale $\sigma^{2} = 100$ en los dos casos: la varianza muestral es insesgada, y por eso se divide por $n - 1$ y no por $n$ .

4. Vemos qué pasa con la dispersión. La varianza de $s^{2}$ es $\dfrac{2 \sigma^{4}}{n - 1}$ : con $7$ grados vale $2857{,}1429$ y con $19$ vale $1052{,}6316$ .

5. Interpretamos. Con más grados de libertad la distribución se concentra más alrededor de $100$ y se vuelve menos asimétrica. Con pocos grados está muy torcida hacia la derecha.

6. Lo que esto anticipa. Estimar una varianza con muestras chicas es muy impreciso. Por eso los intervalos para la varianza salen mucho más anchos que los de la media.

Respuesta: $7$ y $19$ grados de libertad. En los dos casos $E(s^{2}) = 100$ , pero la dispersión baja de $2857{,}1429$ a $1052{,}6316$

9. Una población normal tiene desvío $4$ minutos en el tiempo de armado. En una muestra de $12$ casos la varianza muestral dio $10$ . Calculá el estadístico chi cuadrado y sus grados de libertad.

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1. Escribimos el estadístico. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ sigue una distribución chi cuadrado cuando la población es normal.

2. Verificamos la condición. El enunciado dice que la población es normal, que es lo que hace falta. Sin normalidad, este resultado no vale.

3. Reemplazamos. $\dfrac{(12 - 1) \cdot 10}{4^{2}} = \dfrac{11 \cdot 10}{16} = \dfrac{110}{16} = 6{,}875$

4. Damos los grados de libertad. $n - 1 = 11$ , no $12$ .

5. Verificamos el sentido. El estadístico es positivo, como tiene que ser: es un cociente de cantidades positivas. Y como $s^{2} = 10$ está por debajo de $\sigma^{2} = 16$ , el valor queda por debajo de $11$ , que es el centro aproximado de la chi cuadrado.

6. Por qué no es normal. La varianza muestral es una suma de cuadrados, así que no puede ser negativa y su distribución está torcida hacia la derecha.

Respuesta: El estadístico vale $6{,}875$ , con $11$ grados de libertad

10. Una muestra de $8$ casos dio los valores $21$ ; $24$ ; $37$ ; $40$ ; $50$ ; $51$ ; $54$ ; $56$ , con promedio $41{,}625$ . Explicá por qué la varianza muestral tiene $7$ grados de libertad y no $8$ , mostrando que el último desvío queda determinado por los anteriores.

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1. Calculamos los desvíos respecto de la media. $21 - 41{,}625 = -20{,}625$ · $24 - 41{,}625 = -17{,}625$ · $37 - 41{,}625 = -4{,}625$ · $40 - 41{,}625 = -1{,}625$ · $50 - 41{,}625 = 8{,}375$ · $51 - 41{,}625 = 9{,}375$ · $54 - 41{,}625 = 12{,}375$ · $56 - 41{,}625 = 14{,}375$

2. Sumamos los desvíos. $(-20{,}625) + (-17{,}625) + (-4{,}625) + (-1{,}625) + 8{,}375 + 9{,}375 + 12{,}375 + 14{,}375 = 0$ . La suma de los desvíos respecto de la media siempre da cero, por cómo está definida la media.

3. Sacamos la consecuencia. Conociendo $7$ de los desvíos, el último queda determinado: tiene que ser el que hace que la suma dé cero. Acá los primeros $7$ suman $-14{,}375$ , así que el último tiene que valer $14{,}375$ .

4. Contamos las cantidades libres. De los $8$ desvíos, solo $7$ pueden elegirse libremente. Esos son los grados de libertad.

5. Vemos dónde aparece en la fórmula. Por eso la varianza muestral divide por $n - 1$ y no por $n$ : se promedia sobre la cantidad de desvíos verdaderamente independientes.

6. De dónde viene la pérdida. De usar la media de la muestra, que salió de esos mismos datos. Si se conociera la media poblacional y se usara esa, no se perdería ningún grado de libertad.

Respuesta: Hay $7$ grados de libertad porque los desvíos suman cero y el último queda determinado por los otros

11. Una población normal tiene desvío $13$ horas. En una muestra de $15$ casos, el estadístico $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ dio $6{,}571$ . Hallá la varianza muestral y el desvío muestral.

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1. Escribimos la relación. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}} = \chi^{2}$ , con la varianza muestral como incógnita.

2. Despejamos. $s^{2} = \dfrac{\chi^{2} \cdot \sigma^{2}}{n - 1}$

3. Reemplazamos. $s^{2} = \dfrac{6{,}571 \cdot 169}{14} = \dfrac{1110{,}499}{14} \approx 79{,}3214$

4. Calculamos el desvío muestral. $s = \sqrt{79{,}3214} \approx 8{,}9063$ horas.

5. Comparamos con la población. $s = 8{,}9063$ contra $\sigma = 13$ : la muestra dio una dispersión menor que la poblacional, lo cual es esperable por azar.

6. El chequeo de sentido. Con $14$ grados de libertad, el estadístico se centra alrededor de $14$ . Un valor de $6{,}571$ está por debajo de ese centro, y por eso la varianza muestral salió menor que la poblacional.

Respuesta: $s^{2} = 79{,}3214$ y $s = 8{,}9063$ horas

12. Una población normal tiene varianza $64$ (en minutos al cuadrado). Se toman muestras de $8$ y de $20$ casos. Comparé los grados de libertad y explicá qué le pasa a la distribución de $s^{2}$ al crecer la muestra.

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1. Damos los grados de libertad. Con $n = 8$ son $7$ , y con $n = 20$ son $19$ .

2. Escribimos qué se distribuye chi cuadrado. $\dfrac{(n - 1) s^{2}}{\sigma^{2}}$ , con esos grados de libertad en cada caso.

3. Vemos qué pasa con el centro. La esperanza de $s^{2}$ vale $\sigma^{2} = 64$ en los dos casos: la varianza muestral es insesgada, y por eso se divide por $n - 1$ y no por $n$ .

4. Vemos qué pasa con la dispersión. La varianza de $s^{2}$ es $\dfrac{2 \sigma^{4}}{n - 1}$ : con $7$ grados vale $1170{,}2857$ y con $19$ vale $431{,}1579$ .

5. Interpretamos. Con más grados de libertad la distribución se concentra más alrededor de $64$ y se vuelve menos asimétrica. Con pocos grados está muy torcida hacia la derecha.

6. Lo que esto anticipa. Estimar una varianza con muestras chicas es muy impreciso. Por eso los intervalos para la varianza salen mucho más anchos que los de la media.

Respuesta: $7$ y $19$ grados de libertad. En los dos casos $E(s^{2}) = 64$ , pero la dispersión baja de $1170{,}2857$ a $431{,}1579$