La varianza muestral y la chi cuadrado

Así como el promedio muestral tiene su distribución, la varianza muestral también tiene la suya, y no es normal.

Cuando la población es normal, cierta transformación de la varianza muestral sigue una distribución chi cuadrado.

La chi cuadrado tiene un solo parámetro, los grados de libertad, que en este caso es el tamaño de la muestra menos uno.

Ese menos uno aparece porque para calcular la varianza muestral primero hay que calcular el promedio, y eso consume un grado de libertad. Es la misma razón por la que la varianza muestral divide por uno menos que la cantidad de datos.

A diferencia de la normal, la chi cuadrado no es simétrica: está torcida hacia la derecha y solo toma valores positivos, lo que tiene sentido porque una varianza nunca es negativa.

A medida que crecen los grados de libertad se va volviendo más simétrica.

Como no es simétrica, para armar un intervalo hay que buscar dos valores distintos de la tabla, uno para cada cola. No se puede usar un solo valor con más y menos como con la normal.

(n - 1) s^{2} / \sigma ^{2}

es chi cuadrado con

n - 1

grados

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta por la varianza o el desvío de la población. Los grados de libertad son el tamaño de la muestra menos uno, y hay que buscar dos valores de tabla por la asimetría.

Ejemplo 1

Una muestra de $11$ observaciones de una población normal da varianza muestral $25$ . Indicar cuántos grados de libertad corresponden y qué estadístico se usa.

Contamos los grados de libertad. $\nu = 11 - 1 = 10$ .
Escribimos el estadístico. Es $(n - 1) s^{2} / \sigma ^{2}$ , que con estos datos vale $10 \cdot 25 / \sigma ^{2} = 250 / \sigma ^{2}$ .
Interpretamos. Ese valor sigue una chi cuadrado con $10$ grados de libertad, y con la tabla se pueden calcular probabilidades sobre él.
Respuesta: $\nu = 10$

Ejemplo 2

Con $10$ grados de libertad, hallar los dos valores que dejan el $95$ % central.

Repartimos las colas. Cada una tiene $0{,}025$ .
Buscamos el valor de la cola izquierda. Se entra por el área $0{,}975$ a derecha y da $3{,}247$ .
Buscamos el de la derecha. Se entra por $0{,}025$ y da $20{,}483$ .
Respuesta: Entre $3{,}247$ y $20{,}483$

Error típico

Buscar un solo valor y cambiarle el signo, como se hace con la normal. La chi cuadrado no es simétrica y ni siquiera toma valores negativos.

Practicar

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Otros subtemas de La normal y el muestreo

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