Suma y combinación lineal de normales

Las normales tienen una propiedad que casi ninguna otra distribución tiene: al sumarlas, el resultado vuelve a ser normal.

Eso vale para sumas, restas y cualquier combinación lineal de variables normales independientes.

La media de la combinación sale de aplicar los mismos coeficientes a las medias. Es la linealidad de la esperanza, y es directa.

La varianza es donde hay que tener cuidado. Los coeficientes salen elevados al cuadrado, y las varianzas se suman incluso cuando las variables se restan.

Que la varianza de una resta sea la suma de las varianzas es lo que más sorprende, pero tiene sentido: restar no puede reducir la incertidumbre total.

Nunca se suman los desvíos directamente. Hay que pasar a varianzas, sumar, y recién ahí sacar raíz. Ese es el error más frecuente del tema.

Todo esto vale si las variables son independientes. Si no lo son, hay que agregar un término con la covarianza.

Un caso particular importante: multiplicar una normal por una constante y sumarle otra sigue dando una normal.

\mu X+Y = \mu X + \mu Y

\sigma ^{2}X+Y = \sigma ^{2}X + \sigma ^{2}Y

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio combina varias variables normales: la suma de pesos de varios paquetes, la diferencia entre dos medidas. Sumá varianzas, nunca desvíos, y elevá los coeficientes al cuadrado.

Ejemplo 1

X es normal con media $10 y$ desvío $2, e Y$ es normal con media $14 y$ desvío $3$ , independientes. Hallar la distribución de la suma.

Sumamos las medias. $10 + 14 = 24$ .
Sumamos las varianzas. $2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ .
Sacamos raíz para el desvío. $\sqrt{13} \approx 3{,}6056$ . La suma es normal con esa media y ese desvío.
Respuesta: $\mu = 24$ , $\sigma \approx 3{,}6056$

Ejemplo 2

Con las mismas variables, hallar la distribución de la diferencia y calcular la probabilidad de que Y supere a X.

Restamos las medias y sumamos las varianzas. $14 - 10 = 4$ y $9 + 4 = 13$ .
Estandarizamos el cero. Que Y supere a X es que la diferencia sea positiva: $z = (0 - 4) / 3{,}6056 \approx -1{,}11$ .
Buscamos en la tabla. $P(Z > -1{,}11) = 0{,}8665$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}8665$

Error típico

Sumar los desvíos en lugar de las varianzas. Con desvíos $3$ y $4$ la respuesta es $5 y$ no $7, y$ todo lo que siga con el $7$ sale mal.

Practicar

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Otros subtemas de La normal y el muestreo

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