Ejercicios: Suma y combinación lineal de normales

2. Calculamos la media. $\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 25 + 50 = 75$ miles de pesos. Es la linealidad de la esperanza.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_{X+Y} = \sigma^{2}_X + \sigma^{2}_Y = 3^{2} + 7^{2} = 9 + 49 = 58$

4. Calculamos el desvío. $\sigma_{X+Y} = \sqrt{58} \approx 7{,}6158$ miles de pesos.

5. Marcamos el error más caro. Sumar los desvíos daría $3 + 7 = 10$, distinto de $7{,}6158$. Lo que se suma son las varianzas, nunca los desvíos.

6. Escribimos el resultado. $X + Y$ es normal con media $75$ y desvío $7{,}6158$ miles de pesos.

Respuesta: $X + Y$ es normal con $\mu = 75$ y $\sigma = 7{,}6158$ miles de pesos

2. Calculamos la media. $\mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y = 70 - 35 = 35$ miles de pesos. Acá las medias sí se restan.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_{X-Y} = \sigma^{2}_X + \sigma^{2}_Y = 25 + 81 = 106$. Las varianzas se suman también en la resta.

4. Explicamos por qué se suman. La variabilidad de la diferencia viene de las dos fuentes a la vez: si una sube y la otra baja, la diferencia se mueve más, no menos. Restar no cancela incertidumbre, la acumula.

5. Calculamos el desvío. $\sigma_{X-Y} = \sqrt{106} \approx 10{,}2956$ miles de pesos.

6. Comparamos con la suma. $X + Y$ tendría media $105$ y el mismo desvío $10{,}2956$: lo que cambia es el centro, no la dispersión.

Respuesta: $X - Y$ es normal con $\mu = 35$ y $\sigma = 10{,}2956$ miles de pesos

2. Calculamos la media. $\mu_W = 3 \cdot \mu_X + 4 \cdot \mu_Y = 3 \cdot 30 + 4 \cdot 25 = 190$ kg.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_W = 3^{2} \cdot \sigma^{2}_X + 4^{2} \cdot \sigma^{2}_Y = 9 \cdot 16 + 16 \cdot 16 = 400$

4. Notamos dónde va el cuadrado. Los coeficientes entran al cuadrado en la varianza y sin cuadrado en la media. Es la misma regla que $V(aX) = a^{2} V(X)$ del volumen anterior.

5. Calculamos el desvío. $\sigma_W = \sqrt{400} = 20$ kg.

6. La condición que hace falta. Que $X$ e $Y$ sean independientes. Si no lo fueran, habría que sumar además un término con la covarianza.

Respuesta: $W$ es normal con $\mu = 190$ y $\sigma = 20$ kg

2. Traducimos la pregunta. Se pide $P(T > 63)$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{63 - 75}{6{,}3246} \approx -1{,}8974$

4. Buscamos en la tabla. $P(Z \leq -1{,}8974) = 0{,}0289$, así que $P(T > 63) = 1 - 0{,}0289 = 0{,}9711$.

5. Verificamos el sentido. $63$ está por debajo de la media $75$, así que la probabilidad de superarlo tenía que dar mayor que $0{,}5$.

6. El paso que hace posible todo. Que la suma de normales independientes sea normal. Sin esa propiedad no habría forma de estandarizar el total.

Respuesta: $P(T > 63) = 0{,}9711$

2. Calculamos la media. $\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 35 + 20 = 55$ kg. Es la linealidad de la esperanza.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_{X+Y} = \sigma^{2}_X + \sigma^{2}_Y = 4^{2} + 8^{2} = 16 + 64 = 80$

4. Calculamos el desvío. $\sigma_{X+Y} = \sqrt{80} \approx 8{,}9443$ kg.

5. Marcamos el error más caro. Sumar los desvíos daría $4 + 8 = 12$, distinto de $8{,}9443$. Lo que se suma son las varianzas, nunca los desvíos.

6. Escribimos el resultado. $X + Y$ es normal con media $55$ y desvío $8{,}9443$ kg.

Respuesta: $X + Y$ es normal con $\mu = 55$ y $\sigma = 8{,}9443$ kg

2. Calculamos la media. $\mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y = 80 - 30 = 50$ kg. Acá las medias sí se restan.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_{X-Y} = \sigma^{2}_X + \sigma^{2}_Y = 64 + 49 = 113$. Las varianzas se suman también en la resta.

4. Explicamos por qué se suman. La variabilidad de la diferencia viene de las dos fuentes a la vez: si una sube y la otra baja, la diferencia se mueve más, no menos. Restar no cancela incertidumbre, la acumula.

5. Calculamos el desvío. $\sigma_{X-Y} = \sqrt{113} \approx 10{,}6301$ kg.

6. Comparamos con la suma. $X + Y$ tendría media $110$ y el mismo desvío $10{,}6301$: lo que cambia es el centro, no la dispersión.

Respuesta: $X - Y$ es normal con $\mu = 50$ y $\sigma = 10{,}6301$ kg

2. Calculamos la media. $\mu_W = 3 \cdot \mu_X + 5 \cdot \mu_Y = 3 \cdot 30 + 5 \cdot 10 = 140$ cm.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_W = 3^{2} \cdot \sigma^{2}_X + 5^{2} \cdot \sigma^{2}_Y = 9 \cdot 36 + 25 \cdot 25 = 949$

4. Notamos dónde va el cuadrado. Los coeficientes entran al cuadrado en la varianza y sin cuadrado en la media. Es la misma regla que $V(aX) = a^{2} V(X)$ del volumen anterior.

5. Calculamos el desvío. $\sigma_W = \sqrt{949} \approx 30{,}8058$ cm.

6. La condición que hace falta. Que $X$ e $Y$ sean independientes. Si no lo fueran, habría que sumar además un término con la covarianza.

Respuesta: $W$ es normal con $\mu = 140$ y $\sigma = 30{,}8058$ cm

2. Traducimos la pregunta. Se pide $P(T > 53)$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{53 - 60}{2{,}8284} \approx -2{,}4749$

4. Buscamos en la tabla. $P(Z \leq -2{,}4749) = 0{,}0067$, así que $P(T > 53) = 1 - 0{,}0067 = 0{,}9933$.

5. Verificamos el sentido. $53$ está por debajo de la media $60$, así que la probabilidad de superarlo tenía que dar mayor que $0{,}5$.

6. El paso que hace posible todo. Que la suma de normales independientes sea normal. Sin esa propiedad no habría forma de estandarizar el total.

Respuesta: $P(T > 53) = 0{,}9933$

2. Calculamos la media. $\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 45 + 25 = 70$ minutos. Es la linealidad de la esperanza.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_{X+Y} = \sigma^{2}_X + \sigma^{2}_Y = 4^{2} + 2^{2} = 16 + 4 = 20$

4. Calculamos el desvío. $\sigma_{X+Y} = \sqrt{20} \approx 4{,}4721$ minutos.

5. Marcamos el error más caro. Sumar los desvíos daría $4 + 2 = 6$, distinto de $4{,}4721$. Lo que se suma son las varianzas, nunca los desvíos.

6. Escribimos el resultado. $X + Y$ es normal con media $70$ y desvío $4{,}4721$ minutos.

Respuesta: $X + Y$ es normal con $\mu = 70$ y $\sigma = 4{,}4721$ minutos

2. Calculamos la media. $\mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y = 40 - 25 = 15$ minutos. Acá las medias sí se restan.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_{X-Y} = \sigma^{2}_X + \sigma^{2}_Y = 9 + 64 = 73$. Las varianzas se suman también en la resta.

4. Explicamos por qué se suman. La variabilidad de la diferencia viene de las dos fuentes a la vez: si una sube y la otra baja, la diferencia se mueve más, no menos. Restar no cancela incertidumbre, la acumula.

5. Calculamos el desvío. $\sigma_{X-Y} = \sqrt{73} \approx 8{,}544$ minutos.

6. Comparamos con la suma. $X + Y$ tendría media $65$ y el mismo desvío $8{,}544$: lo que cambia es el centro, no la dispersión.

Respuesta: $X - Y$ es normal con $\mu = 15$ y $\sigma = 8{,}544$ minutos

2. Calculamos la media. $\mu_W = 4 \cdot \mu_X + 4 \cdot \mu_Y = 4 \cdot 35 + 4 \cdot 20 = 220$ miles de pesos.

3. Calculamos la varianza. $\sigma^{2}_W = 4^{2} \cdot \sigma^{2}_X + 4^{2} \cdot \sigma^{2}_Y = 16 \cdot 9 + 16 \cdot 9 = 288$

4. Notamos dónde va el cuadrado. Los coeficientes entran al cuadrado en la varianza y sin cuadrado en la media. Es la misma regla que $V(aX) = a^{2} V(X)$ del volumen anterior.

5. Calculamos el desvío. $\sigma_W = \sqrt{288} \approx 16{,}9706$ miles de pesos.

6. La condición que hace falta. Que $X$ e $Y$ sean independientes. Si no lo fueran, habría que sumar además un término con la covarianza.

Respuesta: $W$ es normal con $\mu = 220$ y $\sigma = 16{,}9706$ miles de pesos

2. Traducimos la pregunta. Se pide $P(T > 92)$.

3. Estandarizamos. $z = \dfrac{92 - 100}{8{,}6023} \approx -0{,}93$

4. Buscamos en la tabla. $P(Z \leq -0{,}93) = 0{,}1762$, así que $P(T > 92) = 1 - 0{,}1762 = 0{,}8238$.

5. Verificamos el sentido. $92$ está por debajo de la media $100$, así que la probabilidad de superarlo tenía que dar mayor que $0{,}5$.

6. El paso que hace posible todo. Que la suma de normales independientes sea normal. Sin esa propiedad no habría forma de estandarizar el total.

Respuesta: $P(T > 92) = 0{,}8238$