Ejercicios: De la probabilidad al valor

1. Una variable que modela la duración de las baterías es normal con media $110$ y desvío $8$ horas. Hallá el valor que deja por debajo al $90\%$ de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca $x$ tal que $P(X \leq x) = 0{,}9$ . Es el problema inverso al de calcular una probabilidad.

2. Buscamos la probabilidad adentro de la tabla. El valor de $z$ que deja $0{,}9$ a su izquierda es $z = 1{,}2816$ .

3. Controlamos el signo. Como $0{,}9$ supera a $0{,}5$ , el $z$ tenía que salir positivo, y así fue.

4. Deshacemos la estandarización. $x = \mu + z \cdot \sigma = 110 + 1{,}2816 \cdot 8 \approx 120{,}2524$

5. Verificamos. $z = \dfrac{120{,}2524 - 110}{8} \approx 1{,}2816$ , y $P(Z \leq 1{,}2816) = 0{,}9$ : se recupera la probabilidad del enunciado.

6. El paso donde más se falla. El despeje. Hay que multiplicar el $z$ por el desvío y sumarle la media, en ese orden, y respetar el signo del $z$ .

Respuesta: El valor es $120{,}2524$ horas

2. Una variable que modela el peso de los envases es normal con media $70$ y desvío $16$ gramos. Hallá el valor a partir del cual queda el $20\%$ más alto de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca $x$ tal que $P(X > x) = 0{,}2$ . La tabla da acumuladas hacia la izquierda, así que primero hay que pasar a esa forma.

2. Pasamos a la acumulada. $P(X \leq x) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$

3. Buscamos el $z$ en la tabla. El $z$ que deja $0{,}8$ a su izquierda es $z = 0{,}8416$ , y sale positivo porque $0{,}8 > 0{,}5$ .

4. Deshacemos la estandarización. $x = 70 + 0{,}8416 \cdot 16 \approx 83{,}4659$

5. Verificamos. $P(X > 83{,}4659) = 1 - P(Z \leq 0{,}8416) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$ , que es la probabilidad pedida.

6. Cómo se llama este valor. Es el percentil $80$ de la distribución: deja ese porcentaje por debajo.

Respuesta: El valor es $83{,}4659$ gramos

3. Una variable que modela el peso de los envases es normal con media $90$ y desvío $5$ gramos. Hallá el intervalo centrado en la media que contiene al $99\%$ de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca un intervalo simétrico $[\mu - z\sigma; \mu + z\sigma]$ que encierre $0{,}99$ de probabilidad.

2. Repartimos lo que queda afuera. Fuera del intervalo queda $1 - 0{,}99 = 0{,}01$ , y por la simetría de la normal se divide en dos colas iguales de $0{,}005$ cada una.

3. Buscamos el $z$ en la tabla. El $z$ que deja $1 - 0{,}005 = 0{,}995$ a su izquierda es $z = 2{,}5758$ .

4. Deshacemos la estandarización en los dos extremos. $\mu - z\sigma = 90 - 2{,}5758 \cdot 5 \approx 77{,}1209$ y $\mu + z\sigma = 90 + 2{,}5758 \cdot 5 \approx 102{,}8791$ .

5. Verificamos. $P(77{,}1209 \leq X \leq 102{,}8791) = 0{,}99$ , el nivel pedido.

6. Comparamos con la regla empírica. Para el $95\%$ la regla usa $z = 2$ y el valor exacto es $z = 1{,}96$ : la regla es una aproximación cómoda, no el número exacto.

Respuesta: El intervalo es $[77{,}1209; 102{,}8791]$

4. Una variable que modela el gasto mensual es normal con desvío $6$ miles de pesos, y se sabe que el $90\%$ de los casos queda por debajo de $147{,}69$ miles de pesos. Hallá la media.

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1. Planteamos la estandarización con la media como incógnita. $z = \dfrac{147{,}69 - \mu}{6}$

2. Buscamos el $z$ que corresponde a la probabilidad. $P(Z \leq z) = 0{,}9$ da $z = 1{,}2816$ , positivo porque la probabilidad supera a $0{,}5$ .

3. Igualamos y despejamos. $\dfrac{147{,}69 - \mu}{6} = 1{,}2816$ , así que $\mu = 147{,}69 - 1{,}2816 \cdot 6 \approx 140{,}0007$ .

4. Verificamos. Con $\mu = 140{,}0007$ : $z = \dfrac{147{,}69 - 140{,}0007}{6} \approx 1{,}2816$ , y $P(Z \leq 1{,}2816) = 0{,}9$ .

5. El control de sentido. La media tenía que quedar por debajo de $147{,}69$ , y así fue.

Respuesta: $\mu = 140{,}0007$ miles de pesos

5. Una variable que modela el tiempo de armado es normal con media $120$ y desvío $14$ minutos. Hallá el valor que deja por debajo al $75\%$ de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca $x$ tal que $P(X \leq x) = 0{,}75$ . Es el problema inverso al de calcular una probabilidad.

2. Buscamos la probabilidad adentro de la tabla. El valor de $z$ que deja $0{,}75$ a su izquierda es $z = 0{,}6745$ .

3. Controlamos el signo. Como $0{,}75$ supera a $0{,}5$ , el $z$ tenía que salir positivo, y así fue.

4. Deshacemos la estandarización. $x = \mu + z \cdot \sigma = 120 + 0{,}6745 \cdot 14 \approx 129{,}4429$

5. Verificamos. $z = \dfrac{129{,}4429 - 120}{14} \approx 0{,}6745$ , y $P(Z \leq 0{,}6745) = 0{,}75$ : se recupera la probabilidad del enunciado.

6. El paso donde más se falla. El despeje. Hay que multiplicar el $z$ por el desvío y sumarle la media, en ese orden, y respetar el signo del $z$ .

Respuesta: El valor es $129{,}4429$ minutos

6. Una variable que modela el puntaje del examen es normal con media $160$ y desvío $8$ puntos. Hallá el valor a partir del cual queda el $10\%$ más alto de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca $x$ tal que $P(X > x) = 0{,}1$ . La tabla da acumuladas hacia la izquierda, así que primero hay que pasar a esa forma.

2. Pasamos a la acumulada. $P(X \leq x) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$

3. Buscamos el $z$ en la tabla. El $z$ que deja $0{,}9$ a su izquierda es $z = 1{,}2816$ , y sale positivo porque $0{,}9 > 0{,}5$ .

4. Deshacemos la estandarización. $x = 160 + 1{,}2816 \cdot 8 \approx 170{,}2524$

5. Verificamos. $P(X > 170{,}2524) = 1 - P(Z \leq 1{,}2816) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$ , que es la probabilidad pedida.

6. Cómo se llama este valor. Es el percentil $90$ de la distribución: deja ese porcentaje por debajo.

Respuesta: El valor es $170{,}2524$ puntos

7. Una variable que modela la duración de las baterías es normal con media $60$ y desvío $10$ horas. Hallá el intervalo centrado en la media que contiene al $99\%$ de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca un intervalo simétrico $[\mu - z\sigma; \mu + z\sigma]$ que encierre $0{,}99$ de probabilidad.

2. Repartimos lo que queda afuera. Fuera del intervalo queda $1 - 0{,}99 = 0{,}01$ , y por la simetría de la normal se divide en dos colas iguales de $0{,}005$ cada una.

3. Buscamos el $z$ en la tabla. El $z$ que deja $1 - 0{,}005 = 0{,}995$ a su izquierda es $z = 2{,}5758$ .

4. Deshacemos la estandarización en los dos extremos. $\mu - z\sigma = 60 - 2{,}5758 \cdot 10 \approx 34{,}2417$ y $\mu + z\sigma = 60 + 2{,}5758 \cdot 10 \approx 85{,}7583$ .

5. Verificamos. $P(34{,}2417 \leq X \leq 85{,}7583) = 0{,}99$ , el nivel pedido.

6. Comparamos con la regla empírica. Para el $95\%$ la regla usa $z = 2$ y el valor exacto es $z = 1{,}96$ : la regla es una aproximación cómoda, no el número exacto.

Respuesta: El intervalo es $[34{,}2417; 85{,}7583]$

8. Una variable que modela el puntaje del examen es normal con media $70$ puntos, y el $10\%$ de los casos queda por debajo de $57{,}18$ puntos. Hallá el desvío estándar.

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1. Planteamos la estandarización con el desvío como incógnita. $z = \dfrac{57{,}18 - 70}{\sigma}$

2. Buscamos el $z$ que corresponde a la probabilidad. $P(Z \leq z) = 0{,}1$ da $z = -1{,}2816$ .

3. Despejamos. $\sigma = \dfrac{57{,}18 - 70}{-1{,}2816} = \dfrac{-12{,}82}{-1{,}2816} \approx 10{,}0035$

4. Verificamos que sea admisible. El desvío da positivo, como tiene que ser. Numerador y denominador tienen el mismo signo, y eso siempre pasa si el $z$ se leyó bien.

5. Verificamos el resultado. Con $\sigma = 10{,}0035$ : $z = \dfrac{57{,}18 - 70}{10{,}0035} \approx -1{,}2816$ , y $P(Z \leq -1{,}2816) = 0{,}1$ .

6. El control que atrapa el error típico. Si el desvío sale negativo, el signo del $z$ se leyó mal.

Respuesta: $\sigma = 10{,}0035$ puntos

9. Una variable que modela la altura de los alumnos es normal con media $130$ y desvío $14$ cm. Hallá el valor que deja por debajo al $75\%$ de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca $x$ tal que $P(X \leq x) = 0{,}75$ . Es el problema inverso al de calcular una probabilidad.

2. Buscamos la probabilidad adentro de la tabla. El valor de $z$ que deja $0{,}75$ a su izquierda es $z = 0{,}6745$ .

3. Controlamos el signo. Como $0{,}75$ supera a $0{,}5$ , el $z$ tenía que salir positivo, y así fue.

4. Deshacemos la estandarización. $x = \mu + z \cdot \sigma = 130 + 0{,}6745 \cdot 14 \approx 139{,}4429$

5. Verificamos. $z = \dfrac{139{,}4429 - 130}{14} \approx 0{,}6745$ , y $P(Z \leq 0{,}6745) = 0{,}75$ : se recupera la probabilidad del enunciado.

6. El paso donde más se falla. El despeje. Hay que multiplicar el $z$ por el desvío y sumarle la media, en ese orden, y respetar el signo del $z$ .

Respuesta: El valor es $139{,}4429$ cm

10. Una variable que modela el tiempo de armado es normal con media $130$ y desvío $11$ minutos. Hallá el valor a partir del cual queda el $5\%$ más alto de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca $x$ tal que $P(X > x) = 0{,}05$ . La tabla da acumuladas hacia la izquierda, así que primero hay que pasar a esa forma.

2. Pasamos a la acumulada. $P(X \leq x) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$

3. Buscamos el $z$ en la tabla. El $z$ que deja $0{,}95$ a su izquierda es $z = 1{,}6449$ , y sale positivo porque $0{,}95 > 0{,}5$ .

4. Deshacemos la estandarización. $x = 130 + 1{,}6449 \cdot 11 \approx 148{,}0934$

5. Verificamos. $P(X > 148{,}0934) = 1 - P(Z \leq 1{,}6449) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$ , que es la probabilidad pedida.

6. Cómo se llama este valor. Es el percentil $95$ de la distribución: deja ese porcentaje por debajo.

Respuesta: El valor es $148{,}0934$ minutos

11. Una variable que modela el puntaje del examen es normal con media $70$ y desvío $8$ puntos. Hallá el intervalo centrado en la media que contiene al $90\%$ de los casos.

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1. Traducimos la pregunta. Se busca un intervalo simétrico $[\mu - z\sigma; \mu + z\sigma]$ que encierre $0{,}9$ de probabilidad.

2. Repartimos lo que queda afuera. Fuera del intervalo queda $1 - 0{,}9 = 0{,}1$ , y por la simetría de la normal se divide en dos colas iguales de $0{,}05$ cada una.

3. Buscamos el $z$ en la tabla. El $z$ que deja $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ a su izquierda es $z = 1{,}6449$ .

4. Deshacemos la estandarización en los dos extremos. $\mu - z\sigma = 70 - 1{,}6449 \cdot 8 \approx 56{,}8412$ y $\mu + z\sigma = 70 + 1{,}6449 \cdot 8 \approx 83{,}1588$ .

5. Verificamos. $P(56{,}8412 \leq X \leq 83{,}1588) = 0{,}9$ , el nivel pedido.

6. Comparamos con la regla empírica. Para el $95\%$ la regla usa $z = 2$ y el valor exacto es $z = 1{,}96$ : la regla es una aproximación cómoda, no el número exacto.

Respuesta: El intervalo es $[56{,}8412; 83{,}1588]$

12. Una variable que modela el peso de los envases es normal con desvío $9$ gramos, y se sabe que el $80\%$ de los casos queda por debajo de $87{,}57$ gramos. Hallá la media.

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1. Planteamos la estandarización con la media como incógnita. $z = \dfrac{87{,}57 - \mu}{9}$

2. Buscamos el $z$ que corresponde a la probabilidad. $P(Z \leq z) = 0{,}8$ da $z = 0{,}8416$ , positivo porque la probabilidad supera a $0{,}5$ .

3. Igualamos y despejamos. $\dfrac{87{,}57 - \mu}{9} = 0{,}8416$ , así que $\mu = 87{,}57 - 0{,}8416 \cdot 9 \approx 79{,}9954$ .

4. Verificamos. Con $\mu = 79{,}9954$ : $z = \dfrac{87{,}57 - 79{,}9954}{9} \approx 0{,}8416$ , y $P(Z \leq 0{,}8416) = 0{,}8$ .

5. El control de sentido. La media tenía que quedar por debajo de $87{,}57$ , y así fue.

Respuesta: $\mu = 79{,}9954$ gramos