Ejercicios: Estandarización y la tabla Z

1. Una variable que modela el puntaje del examen es normal con media $70$ y desvío $14$ puntos. Calculá el valor $z$ que le corresponde a $56$ puntos e interpretalo.

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1. Escribimos la fórmula de estandarización. $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$

2. Reemplazamos. $z = \dfrac{56 - 70}{14} = \dfrac{-14}{14} = -1$

3. Interpretamos el resultado. El valor $56$ está a $1$ desvíos por debajo de la media.

4. Notamos que el $z$ no tiene unidades. Arriba y abajo están en puntos, así que se cancelan. Por eso un $z$ se puede comparar entre problemas de variables completamente distintas.

5. Ubicamos el valor con la regla empírica. Está dentro del intervalo del $68\%$ .

Respuesta: $z = -1$ : el valor está a $1$ desvíos por debajo de la media

2. Una variable que modela el gasto mensual es normal con media $140$ y desvío $11$ miles de pesos. Calculá la probabilidad de que un hogar tomado al azar no supere $125$ miles de pesos.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(X \leq 125)$ .

2. Estandarizamos. $z = \dfrac{125 - 140}{11} \approx -1{,}3636$

3. Pasamos a la normal estándar. $P(X \leq 125) = P(Z \leq -1{,}3636)$ . Estandarizar no cambia la probabilidad: mueve y estira el eje, pero el área bajo la curva a la izquierda del punto es la misma.

4. Buscamos en la tabla. $P(Z \leq -1{,}3636) = 0{,}0863$

5. Interpretamos. Alrededor del $8{,}63\%$ de los casos no supera $125$ miles de pesos. La cola de arriba vale $1 - 0{,}0863 = 0{,}9137$ .

6. El control de sentido. Como $125$ está por debajo de la media, la probabilidad tenía que salir menor que $0{,}5$ , y así fue.

Respuesta: $P(X \leq 125) = 0{,}0863$

3. Una variable que modela la altura de los alumnos es normal con media $150$ y desvío $10$ cm. Calculá la probabilidad de que un alumno quede entre $140$ y $154$ cm.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(140 \leq X \leq 154)$ .

2. Estandarizamos los dos extremos. $z_1 = \dfrac{140 - 150}{10} = -1$ y $z_2 = \dfrac{154 - 150}{10} = 0{,}4$ .

3. Escribimos la probabilidad como diferencia de acumuladas. $P(140 \leq X \leq 154) = P(Z \leq 0{,}4) - P(Z \leq -1)$

4. Buscamos los dos valores en la tabla. $P(Z \leq 0{,}4) = 0{,}6554$ y $P(Z \leq -1) = 0{,}1587$ .

5. Restamos. $P = 0{,}6554 - 0{,}1587 \approx 0{,}4968$

6. El error que hay que evitar. Restar los $z$ en vez de restar las probabilidades. La tabla no es lineal: a distancias iguales en $z$ les corresponden áreas distintas según dónde estén.

Respuesta: $P(140 \leq X \leq 154) = 0{,}4968$

4. En un grupo, el gasto mensual es normal con media $110$ y desvío $12$ miles de pesos. En otro, el puntaje del examen es normal con media $450$ y desvío $32$ puntos. Un caso del primer grupo dio $122$ y uno del segundo dio $496$ . Decidí cuál de los dos está en mejor posición relativa dentro de su grupo.

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1. Vemos por qué no se pueden comparar directo. Los dos valores están en unidades distintas y sobre distribuciones con medias y desvíos muy distintos. $496 > 122$ no dice nada sobre la posición relativa.

2. Estandarizamos el primero. $z_1 = \dfrac{122 - 110}{12} = 1$

3. Estandarizamos el segundo. $z_2 = \dfrac{496 - 450}{32} = 1{,}4375$

4. Comparamos. $1{,}4375 > 1$ , así que el segundo está en mejor posición relativa.

5. Traducimos a percentiles. $P(Z \leq 1) = 0{,}8413$ y $P(Z \leq 1{,}4375) = 0{,}9247$ : el primero supera al $84{,}13\%$ de su grupo y el segundo al $92{,}47\%$ del suyo.

6. Por qué el $z$ permite esta comparación. No tiene unidades y mide en desvíos. Un $z$ de $2$ es igual de raro en alturas que en sueldos.

Respuesta: $z_1 = 1$ y $z_2 = 1{,}4375$ : está en mejor posición el segundo

5. Una variable que modela el peso de los envases es normal con media $140$ y desvío $13$ gramos. Calculá el valor $z$ que le corresponde a $120$ gramos e interpretalo.

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1. Escribimos la fórmula de estandarización. $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$

2. Reemplazamos. $z = \dfrac{120 - 140}{13} = \dfrac{-20}{13} \approx -1{,}5385$

3. Interpretamos el resultado. El valor $120$ está a $1{,}5385$ desvíos por debajo de la media.

4. Notamos que el $z$ no tiene unidades. Arriba y abajo están en gramos, así que se cancelan. Por eso un $z$ se puede comparar entre problemas de variables completamente distintas.

5. Ubicamos el valor con la regla empírica. Está fuera del intervalo del $68\%$ pero dentro del $95\%$ .

Respuesta: $z = -1{,}5385$ : el valor está a $1{,}5385$ desvíos por debajo de la media

6. Una variable que modela el puntaje del examen es normal con media $110$ y desvío $5$ puntos. Calculá la probabilidad de que un aspirante tomado al azar no supere $102$ puntos.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(X \leq 102)$ .

2. Estandarizamos. $z = \dfrac{102 - 110}{5} = -1{,}6$

3. Pasamos a la normal estándar. $P(X \leq 102) = P(Z \leq -1{,}6)$ . Estandarizar no cambia la probabilidad: mueve y estira el eje, pero el área bajo la curva a la izquierda del punto es la misma.

4. Buscamos en la tabla. $P(Z \leq -1{,}6) = 0{,}0548$

5. Interpretamos. Alrededor del $5{,}48\%$ de los casos no supera $102$ puntos. La cola de arriba vale $1 - 0{,}0548 = 0{,}9452$ .

6. El control de sentido. Como $102$ está por debajo de la media, la probabilidad tenía que salir menor que $0{,}5$ , y así fue.

Respuesta: $P(X \leq 102) = 0{,}0548$

7. Una variable que modela el tiempo de armado es normal con media $80$ y desvío $11$ minutos. Calculá la probabilidad de que una pieza quede entre $67$ y $86$ minutos.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(67 \leq X \leq 86)$ .

2. Estandarizamos los dos extremos. $z_1 = \dfrac{67 - 80}{11} \approx -1{,}1818$ y $z_2 = \dfrac{86 - 80}{11} \approx 0{,}5455$ .

3. Escribimos la probabilidad como diferencia de acumuladas. $P(67 \leq X \leq 86) = P(Z \leq 0{,}5455) - P(Z \leq -1{,}1818)$

4. Buscamos los dos valores en la tabla. $P(Z \leq 0{,}5455) = 0{,}7073$ y $P(Z \leq -1{,}1818) = 0{,}1186$ .

5. Restamos. $P = 0{,}7073 - 0{,}1186 \approx 0{,}5886$

6. El error que hay que evitar. Restar los $z$ en vez de restar las probabilidades. La tabla no es lineal: a distancias iguales en $z$ les corresponden áreas distintas según dónde estén.

Respuesta: $P(67 \leq X \leq 86) = 0{,}5886$

8. En un grupo, el peso de los envases es normal con media $60$ y desvío $10$ gramos. En otro, el tiempo de armado es normal con media $500$ y desvío $50$ minutos. Un caso del primer grupo dio $77$ y uno del segundo dio $567$ . Decidí cuál de los dos está en mejor posición relativa dentro de su grupo.

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1. Vemos por qué no se pueden comparar directo. Los dos valores están en unidades distintas y sobre distribuciones con medias y desvíos muy distintos. $567 > 77$ no dice nada sobre la posición relativa.

2. Estandarizamos el primero. $z_1 = \dfrac{77 - 60}{10} = 1{,}7$

3. Estandarizamos el segundo. $z_2 = \dfrac{567 - 500}{50} = 1{,}34$

4. Comparamos. $1{,}7 > 1{,}34$ , así que el primero está en mejor posición relativa.

5. Traducimos a percentiles. $P(Z \leq 1{,}7) = 0{,}9554$ y $P(Z \leq 1{,}34) = 0{,}9099$ : el primero supera al $95{,}54\%$ de su grupo y el segundo al $90{,}99\%$ del suyo.

6. Por qué el $z$ permite esta comparación. No tiene unidades y mide en desvíos. Un $z$ de $2$ es igual de raro en alturas que en sueldos.

Respuesta: $z_1 = 1{,}7$ y $z_2 = 1{,}34$ : está en mejor posición el primero

9. Una variable que modela el tiempo de armado es normal con media $80$ y desvío $8$ minutos. Calculá el valor $z$ que le corresponde a $88$ minutos e interpretalo.

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1. Escribimos la fórmula de estandarización. $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$

2. Reemplazamos. $z = \dfrac{88 - 80}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$

3. Interpretamos el resultado. El valor $88$ está a $1$ desvíos por encima de la media.

4. Notamos que el $z$ no tiene unidades. Arriba y abajo están en minutos, así que se cancelan. Por eso un $z$ se puede comparar entre problemas de variables completamente distintas.

5. Ubicamos el valor con la regla empírica. Está dentro del intervalo del $68\%$ .

Respuesta: $z = 1$ : el valor está a $1$ desvíos por encima de la media

10. Una variable que modela la altura de los alumnos es normal con media $110$ y desvío $5$ cm. Calculá la probabilidad de que un alumno tomado al azar no supere $105$ cm.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(X \leq 105)$ .

2. Estandarizamos. $z = \dfrac{105 - 110}{5} = -1$

3. Pasamos a la normal estándar. $P(X \leq 105) = P(Z \leq -1)$ . Estandarizar no cambia la probabilidad: mueve y estira el eje, pero el área bajo la curva a la izquierda del punto es la misma.

4. Buscamos en la tabla. $P(Z \leq -1) = 0{,}1587$

5. Interpretamos. Alrededor del $15{,}87\%$ de los casos no supera $105$ cm. La cola de arriba vale $1 - 0{,}1587 = 0{,}8413$ .

6. El control de sentido. Como $105$ está por debajo de la media, la probabilidad tenía que salir menor que $0{,}5$ , y así fue.

Respuesta: $P(X \leq 105) = 0{,}1587$

11. Una variable que modela el peso de los envases es normal con media $90$ y desvío $5$ gramos. Calculá la probabilidad de que un envase quede entre $83$ y $115$ gramos.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(83 \leq X \leq 115)$ .

2. Estandarizamos los dos extremos. $z_1 = \dfrac{83 - 90}{5} = -1{,}4$ y $z_2 = \dfrac{115 - 90}{5} = 5$ .

3. Escribimos la probabilidad como diferencia de acumuladas. $P(83 \leq X \leq 115) = P(Z \leq 5) - P(Z \leq -1{,}4)$

4. Buscamos los dos valores en la tabla. $P(Z \leq 5) = 1$ y $P(Z \leq -1{,}4) = 0{,}0808$ .

5. Restamos. $P = 1 - 0{,}0808 = 0{,}9192$

6. El error que hay que evitar. Restar los $z$ en vez de restar las probabilidades. La tabla no es lineal: a distancias iguales en $z$ les corresponden áreas distintas según dónde estén.

Respuesta: $P(83 \leq X \leq 115) = 0{,}9192$

12. En un grupo, la altura de los alumnos es normal con media $50$ y desvío $10$ cm. En otro, el tiempo de armado es normal con media $450$ y desvío $53$ minutos. Un caso del primer grupo dio $68$ y uno del segundo dio $481$ . Decidí cuál de los dos está en mejor posición relativa dentro de su grupo.

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1. Vemos por qué no se pueden comparar directo. Los dos valores están en unidades distintas y sobre distribuciones con medias y desvíos muy distintos. $481 > 68$ no dice nada sobre la posición relativa.

2. Estandarizamos el primero. $z_1 = \dfrac{68 - 50}{10} = 1{,}8$

3. Estandarizamos el segundo. $z_2 = \dfrac{481 - 450}{53} \approx 0{,}5849$

4. Comparamos. $1{,}8 > 0{,}5849$ , así que el primero está en mejor posición relativa.

5. Traducimos a percentiles. $P(Z \leq 1{,}8) = 0{,}9641$ y $P(Z \leq 0{,}5849) = 0{,}7207$ : el primero supera al $96{,}41\%$ de su grupo y el segundo al $72{,}07\%$ del suyo.

6. Por qué el $z$ permite esta comparación. No tiene unidades y mide en desvíos. Un $z$ de $2$ es igual de raro en alturas que en sueldos.

Respuesta: $z_1 = 1{,}8$ y $z_2 = 0{,}5849$ : está en mejor posición el primero