Ejercicios: La distribución normal

1. Una variable que modela el peso de los envases se distribuye normal con media $150$ y desvío $13$ gramos. Usando la regla empírica, dá los tres intervalos centrados en la media y el porcentaje de casos que contiene cada uno.

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1. Recordamos la regla empírica. En toda distribución normal, el $68\%$ de los casos cae entre $\mu \pm \sigma$ , el $95\%$ entre $\mu \pm 2\sigma$ y el $99{,}7\%$ entre $\mu \pm 3\sigma$ .

2. Armamos el primer intervalo. $[150 - 13; 150 + 13] = [137; 163]$ , que contiene alrededor del $68\%$ de los casos.

3. Armamos el segundo. $[150 - 2 \cdot 13; 150 + 2 \cdot 13] = [124; 176]$ , con el $95\%$ .

4. Armamos el tercero. $[111; 189]$ , con el $99{,}7\%$ : prácticamente todos los casos.

5. Usamos la simetría para las colas. Fuera del segundo intervalo queda el $5\%$ , repartido en partes iguales: un $2{,}5\%$ por debajo de $124$ y otro $2{,}5\%$ por encima de $176$ .

6. Qué hace cada parámetro. La media $150$ dice dónde está el centro y el desvío $13$ dice qué tan ancha es la campana. Cambiar la media corre la curva sin deformarla; cambiar el desvío la achata o la afina.

Respuesta: $[137; 163]$ con el $68\%$ , $[124; 176]$ con el $95\%$ y $[111; 189]$ con el $99{,}7\%$

2. Dos variables que modelan el puntaje del examen son normales: la primera con media $60$ y desvío $7$ , la segunda con media $80$ y desvío $7$ puntos. Describí en qué se diferencian las dos curvas y calculá el intervalo del $95\%$ de cada una.

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1. Comparamos los parámetros. La media pasa de $60$ a $80$ y el desvío de $7$ a $7$ : lo que cambia es la media.

2. Traducimos el cambio a la forma de la curva. Las dos campanas tienen exactamente la misma forma y el mismo ancho. La segunda está corrida $20$ puntos hacia la derecha, sin deformarse.

3. Calculamos el intervalo del $95\%$ de la primera. $[60 - 2 \cdot 7; 60 + 2 \cdot 7] = [46; 74]$ , de ancho $28$ .

4. Calculamos el de la segunda. $[66; 94]$ , de ancho $28$ .

5. Sacamos la conclusión general. Todas las normales son la misma curva estirada y corrida. Por eso alcanza con una sola tabla para todas: estandarizando, cualquiera de las dos se convierte en la misma normal estándar.

Respuesta: Solo cambia el centro: la segunda campana está corrida $20$ puntos a la derecha, con la misma forma

3. Una variable que modela el gasto mensual es normal con media $120$ y desvío $14$ miles de pesos. Usando la regla empírica y la simetría, calculá la probabilidad de que un hogar supere $148$ miles de pesos y la de que quede por debajo de $92$ .

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1. Ubicamos los dos valores respecto de la media. $148 = \mu + 2 \sigma$ y $92 = \mu - 2 \sigma$ : están a la misma distancia del centro, uno de cada lado.

2. Usamos la regla empírica. Entre $\mu - 2\sigma$ y $\mu + 2\sigma$ cae el $95\%$ de los casos, así que fuera de ese intervalo queda el $5\%$ .

3. Repartimos por simetría. La normal es simétrica respecto de la media, así que ese $5\%$ se divide en partes iguales: $2{,}5\%$ de cada lado.

4. Escribimos las dos probabilidades. $P(X > 148) = 0{,}025$ y $P(X < 92) = 0{,}025$ .

5. Verificamos con la acumulada. $P(X < 148) = 1 - 0{,}025 = 0{,}975$ , y sumado a la cola derecha da $1$ .

6. La propiedad que se usó. La simetría permite calcular una cola conociendo la otra. Es lo que hace que la tabla necesite solo la mitad de los valores.

Respuesta: Las dos valen $0{,}025$

4. Una variable que modela el gasto mensual es normal con media $70$ miles de pesos. Se sabe que el $95\%$ de los casos cae entre $56$ y $84$ . Hallá el desvío estándar.

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1. Reconocemos el intervalo. El intervalo que contiene el $95\%$ de una normal es $\mu \pm 2\sigma$ , por la regla empírica.

2. Verificamos que esté centrado en la media. $\dfrac{56 + 84}{2} = 70$ , que es la media. El intervalo es simétrico, así que la identificación es correcta.

3. Calculamos el semiancho. $\dfrac{84 - 56}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$

4. Despejamos el desvío. $2\sigma = 14$ , así que $\sigma = 7$ miles de pesos.

5. Verificamos con otro intervalo. Con $\sigma = 7$ , el intervalo del $68\%$ sería $[63; 77]$ , y el del $99{,}7\%$ sería $[49; 91]$ .

6. El control de sentido. El desvío tiene que dar positivo y en las mismas unidades que la variable. Si el intervalo dado no fuera simétrico respecto de la media, no podría venir de la regla empírica.

Respuesta: $\sigma = 7$ miles de pesos

5. Una variable que modela el puntaje del examen se distribuye normal con media $90$ y desvío $11$ puntos. Usando la regla empírica, dá los tres intervalos centrados en la media y el porcentaje de casos que contiene cada uno.

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1. Recordamos la regla empírica. En toda distribución normal, el $68\%$ de los casos cae entre $\mu \pm \sigma$ , el $95\%$ entre $\mu \pm 2\sigma$ y el $99{,}7\%$ entre $\mu \pm 3\sigma$ .

2. Armamos el primer intervalo. $[90 - 11; 90 + 11] = [79; 101]$ , que contiene alrededor del $68\%$ de los casos.

3. Armamos el segundo. $[90 - 2 \cdot 11; 90 + 2 \cdot 11] = [68; 112]$ , con el $95\%$ .

4. Armamos el tercero. $[57; 123]$ , con el $99{,}7\%$ : prácticamente todos los casos.

5. Usamos la simetría para las colas. Fuera del segundo intervalo queda el $5\%$ , repartido en partes iguales: un $2{,}5\%$ por debajo de $68$ y otro $2{,}5\%$ por encima de $112$ .

6. Qué hace cada parámetro. La media $90$ dice dónde está el centro y el desvío $11$ dice qué tan ancha es la campana. Cambiar la media corre la curva sin deformarla; cambiar el desvío la achata o la afina.

Respuesta: $[79; 101]$ con el $68\%$ , $[68; 112]$ con el $95\%$ y $[57; 123]$ con el $99{,}7\%$

6. Dos variables que modelan el peso de los envases son normales: la primera con media $110$ y desvío $6$ , la segunda con media $110$ y desvío $12$ gramos. Describí en qué se diferencian las dos curvas y calculá el intervalo del $95\%$ de cada una.

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1. Comparamos los parámetros. La media pasa de $110$ a $110$ y el desvío de $6$ a $12$ : lo que cambia es el desvío.

2. Traducimos el cambio a la forma de la curva. Las dos campanas están centradas en el mismo punto, pero la segunda es $2$ veces más ancha y por lo tanto más baja, porque el área total tiene que seguir valiendo uno.

3. Calculamos el intervalo del $95\%$ de la primera. $[110 - 2 \cdot 6; 110 + 2 \cdot 6] = [98; 122]$ , de ancho $24$ .

4. Calculamos el de la segunda. $[86; 134]$ , de ancho $48$ .

5. Sacamos la conclusión general. Todas las normales son la misma curva estirada y corrida. Por eso alcanza con una sola tabla para todas: estandarizando, cualquiera de las dos se convierte en la misma normal estándar.

Respuesta: Solo cambia el ancho: la segunda es $2$ veces más ancha y más baja, con el mismo centro

7. Una variable que modela el puntaje del examen es normal con media $150$ y desvío $8$ puntos. Usando la regla empírica y la simetría, calculá la probabilidad de que un aspirante supere $166$ puntos y la de que quede por debajo de $134$ .

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1. Ubicamos los dos valores respecto de la media. $166 = \mu + 2 \sigma$ y $134 = \mu - 2 \sigma$ : están a la misma distancia del centro, uno de cada lado.

2. Usamos la regla empírica. Entre $\mu - 2\sigma$ y $\mu + 2\sigma$ cae el $95\%$ de los casos, así que fuera de ese intervalo queda el $5\%$ .

3. Repartimos por simetría. La normal es simétrica respecto de la media, así que ese $5\%$ se divide en partes iguales: $2{,}5\%$ de cada lado.

4. Escribimos las dos probabilidades. $P(X > 166) = 0{,}025$ y $P(X < 134) = 0{,}025$ .

5. Verificamos con la acumulada. $P(X < 166) = 1 - 0{,}025 = 0{,}975$ , y sumado a la cola derecha da $1$ .

6. La propiedad que se usó. La simetría permite calcular una cola conociendo la otra. Es lo que hace que la tabla necesite solo la mitad de los valores.

Respuesta: Las dos valen $0{,}025$

8. Una variable que modela el tiempo de armado es normal con media $100$ minutos. Se sabe que el $95\%$ de los casos cae entre $92$ y $108$ . Hallá el desvío estándar.

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1. Reconocemos el intervalo. El intervalo que contiene el $95\%$ de una normal es $\mu \pm 2\sigma$ , por la regla empírica.

2. Verificamos que esté centrado en la media. $\dfrac{92 + 108}{2} = 100$ , que es la media. El intervalo es simétrico, así que la identificación es correcta.

3. Calculamos el semiancho. $\dfrac{108 - 92}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$

4. Despejamos el desvío. $2\sigma = 8$ , así que $\sigma = 4$ minutos.

5. Verificamos con otro intervalo. Con $\sigma = 4$ , el intervalo del $68\%$ sería $[96; 104]$ , y el del $99{,}7\%$ sería $[88; 112]$ .

6. El control de sentido. El desvío tiene que dar positivo y en las mismas unidades que la variable. Si el intervalo dado no fuera simétrico respecto de la media, no podría venir de la regla empírica.

Respuesta: $\sigma = 4$ minutos

9. Una variable que modela el tiempo de armado se distribuye normal con media $140$ y desvío $9$ minutos. Usando la regla empírica, dá los tres intervalos centrados en la media y el porcentaje de casos que contiene cada uno.

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1. Recordamos la regla empírica. En toda distribución normal, el $68\%$ de los casos cae entre $\mu \pm \sigma$ , el $95\%$ entre $\mu \pm 2\sigma$ y el $99{,}7\%$ entre $\mu \pm 3\sigma$ .

2. Armamos el primer intervalo. $[140 - 9; 140 + 9] = [131; 149]$ , que contiene alrededor del $68\%$ de los casos.

3. Armamos el segundo. $[140 - 2 \cdot 9; 140 + 2 \cdot 9] = [122; 158]$ , con el $95\%$ .

4. Armamos el tercero. $[113; 167]$ , con el $99{,}7\%$ : prácticamente todos los casos.

5. Usamos la simetría para las colas. Fuera del segundo intervalo queda el $5\%$ , repartido en partes iguales: un $2{,}5\%$ por debajo de $122$ y otro $2{,}5\%$ por encima de $158$ .

6. Qué hace cada parámetro. La media $140$ dice dónde está el centro y el desvío $9$ dice qué tan ancha es la campana. Cambiar la media corre la curva sin deformarla; cambiar el desvío la achata o la afina.

Respuesta: $[131; 149]$ con el $68\%$ , $[122; 158]$ con el $95\%$ y $[113; 167]$ con el $99{,}7\%$

10. Dos variables que modelan el gasto mensual son normales: la primera con media $60$ y desvío $8$ , la segunda con media $100$ y desvío $8$ miles de pesos. Describí en qué se diferencian las dos curvas y calculá el intervalo del $95\%$ de cada una.

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1. Comparamos los parámetros. La media pasa de $60$ a $100$ y el desvío de $8$ a $8$ : lo que cambia es la media.

2. Traducimos el cambio a la forma de la curva. Las dos campanas tienen exactamente la misma forma y el mismo ancho. La segunda está corrida $40$ miles de pesos hacia la derecha, sin deformarse.

3. Calculamos el intervalo del $95\%$ de la primera. $[60 - 2 \cdot 8; 60 + 2 \cdot 8] = [44; 76]$ , de ancho $32$ .

4. Calculamos el de la segunda. $[84; 116]$ , de ancho $32$ .

5. Sacamos la conclusión general. Todas las normales son la misma curva estirada y corrida. Por eso alcanza con una sola tabla para todas: estandarizando, cualquiera de las dos se convierte en la misma normal estándar.

Respuesta: Solo cambia el centro: la segunda campana está corrida $40$ miles de pesos a la derecha, con la misma forma

11. Una variable que modela la altura de los alumnos es normal con media $100$ y desvío $10$ cm. Usando la regla empírica y la simetría, calculá la probabilidad de que un alumno supere $110$ cm y la de que quede por debajo de $90$ .

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1. Ubicamos los dos valores respecto de la media. $110 = \mu + 1 \sigma$ y $90 = \mu - 1 \sigma$ : están a la misma distancia del centro, uno de cada lado.

2. Usamos la regla empírica. Entre $\mu - 1\sigma$ y $\mu + 1\sigma$ cae el $68\%$ de los casos, así que fuera de ese intervalo queda el $32\%$ .

3. Repartimos por simetría. La normal es simétrica respecto de la media, así que ese $32\%$ se divide en partes iguales: $16\%$ de cada lado.

4. Escribimos las dos probabilidades. $P(X > 110) = 0{,}16$ y $P(X < 90) = 0{,}16$ .

5. Verificamos con la acumulada. $P(X < 110) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84$ , y sumado a la cola derecha da $1$ .

6. La propiedad que se usó. La simetría permite calcular una cola conociendo la otra. Es lo que hace que la tabla necesite solo la mitad de los valores.

Respuesta: Las dos valen $0{,}16$

12. Una variable que modela el puntaje del examen es normal con media $100$ puntos. Se sabe que el $95\%$ de los casos cae entre $92$ y $108$ . Hallá el desvío estándar.

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1. Reconocemos el intervalo. El intervalo que contiene el $95\%$ de una normal es $\mu \pm 2\sigma$ , por la regla empírica.

2. Verificamos que esté centrado en la media. $\dfrac{92 + 108}{2} = 100$ , que es la media. El intervalo es simétrico, así que la identificación es correcta.

3. Calculamos el semiancho. $\dfrac{108 - 92}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$

4. Despejamos el desvío. $2\sigma = 8$ , así que $\sigma = 4$ puntos.

5. Verificamos con otro intervalo. Con $\sigma = 4$ , el intervalo del $68\%$ sería $[96; 104]$ , y el del $99{,}7\%$ sería $[88; 112]$ .

6. El control de sentido. El desvío tiene que dar positivo y en las mismas unidades que la variable. Si el intervalo dado no fuera simétrico respecto de la media, no podría venir de la regla empírica.

Respuesta: $\sigma = 4$ puntos