Ejercicios: La desigualdad de Chebyshev

1. Una variable que modela el gasto mensual de un hogar tiene media $65$ y desvío $10$ miles de pesos, y no se conoce su distribución. Acotá la probabilidad de que se aleje de la media en $4$ desvíos o más.

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1. Escribimos la desigualdad. $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^{2}}$ , válida para cualquier distribución con media y desvío finitos.

2. Identificamos los datos. $\mu = 65$ , $\sigma = 10$ y $k = 4$ .

3. Traducimos el suceso a valores concretos. $k\sigma = 4 \cdot 10 = 40$ , así que alejarse $4$ desvíos significa quedar fuera del intervalo $[25; 105]$ .

4. Aplicamos la cota. $P(|X - 65| \geq 40) \leq \dfrac{1}{4^{2}} = 0{,}0625$ , o sea a lo sumo el $6{,}25\%$ .

5. Marcamos qué tipo de resultado es. Es una cota, no un valor. La probabilidad real puede ser mucho menor; lo único que se garantiza es que no supera $0{,}0625$ .

6. Por qué vale la pena una cota tan floja. No pide ningún supuesto sobre la forma de la distribución. Con solo la media y el desvío ya dice algo, y eso es exactamente lo que la hace útil cuando no se conoce el modelo.

Respuesta: $P(|X - 65| \geq 40) \leq 0{,}0625$

2. Una variable que modela el tiempo de armado de una pieza tiene media $40$ y desvío $4$ minutos. Hallá una cota inferior para la probabilidad de que caiga dentro del intervalo $[20; 60]$ .

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1. Identificamos el $k$ del intervalo. El intervalo va de $\mu - k\sigma$ a $\mu + k\sigma$ , y su semiancho es $20$ . Como $\sigma = 4$ , resulta $k = \dfrac{20}{4} = 5$ .

2. Escribimos la versión complementaria de Chebyshev. $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{k^{2}}$ : es el complemento de la desigualdad original.

3. Reemplazamos. $1 - \dfrac{1}{5^{2}} = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$

4. Escribimos la conclusión. $P(20 < X < 60) \geq 0{,}96$ , o sea al menos el $96\%$ de la probabilidad cae dentro de ese intervalo.

5. Verificamos el sentido. Es una cota inferior: la probabilidad real es al menos $0{,}96$ y puede ser mayor. Cuanto más ancho el intervalo, más fuerte la garantía.

6. El caso que no sirve. Con $k = 1$ la cota da cero y no informa nada. Chebyshev recién dice algo útil a partir de $k > 1$ .

Respuesta: $P(20 < X < 60) \geq 0{,}96$

3. Una variable que modela el gasto mensual de un hogar se reparte de forma uniforme entre $10$ y $40$ miles de pesos. Calculá la cota de Chebyshev para el intervalo de $2$ desvíos alrededor de la media, calculá la probabilidad real y comparalas.

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1. Calculamos la media y el desvío de la uniforme. $\mu = \dfrac{10 + 40}{2} = 25$ y $\sigma = \sqrt{\dfrac{(40 - 10)^{2}}{12}} = \sqrt{75} \approx 8{,}6603$ .

2. Aplicamos Chebyshev. $P(|X - \mu| < 2\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{4} = 0{,}75$

3. Armamos el intervalo. $[\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma] = [7{,}6795; 42{,}3205]$ , que contiene por completo al soporte $[10; 40]$ .

4. Calculamos la probabilidad real. Como el intervalo cubre todo el soporte, la probabilidad real es $1$ .

5. Comparamos. Chebyshev garantiza al menos $0{,}75$ y la realidad da $1$ . La cota se cumple, pero deja $0{,}25$ de margen sin usar.

6. Por qué la cota es tan floja. Está construida para valer en el peor caso posible entre todas las distribuciones con esa media y ese desvío. Si se conoce la distribución, siempre conviene calcular la probabilidad exacta.

Respuesta: Chebyshev garantiza al menos $0{,}75$ y la probabilidad real es $1$

4. Una variable que modela el tiempo de armado de una pieza tiene media $100$ y desvío $9$ minutos, con distribución desconocida. Hallá un intervalo centrado en la media que contenga al menos el $88{,}89\%$ de la probabilidad.

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1. Escribimos la desigualdad en su forma complementaria. $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{k^{2}}$

2. Planteamos la ecuación con el nivel pedido. $1 - \dfrac{1}{k^{2}} = 0{,}8889$ , así que $\dfrac{1}{k^{2}} = 0{,}1111$ .

3. Despejamos $k$ . $k^{2} = \dfrac{1}{0{,}1111} \approx 9$ , así que $k = 3$ .

4. Armamos el intervalo. $[\mu - k\sigma; \mu + k\sigma] = [100 - 3 \cdot 9; 100 + 3 \cdot 9] = [73; 127]$

5. Verificamos. Con $k = 3$ , la cota vale $1 - \dfrac{1}{9} \approx 0{,}8889$ , que es el nivel pedido.

6. Qué tipo de garantía es. «Al menos el $88{,}89\%$ », no exactamente ese porcentaje. Y vale para cualquier distribución: si se supiera que es normal, un intervalo mucho más angosto alcanzaría para el mismo nivel.

Respuesta: El intervalo es $[73; 127]$ , con $k = 3$

5. Una variable que modela la cantidad de piezas producidas por turno tiene media $80$ y desvío $10$ piezas, y no se conoce su distribución. Acotá la probabilidad de que se aleje de la media en $2$ desvíos o más.

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1. Escribimos la desigualdad. $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^{2}}$ , válida para cualquier distribución con media y desvío finitos.

2. Identificamos los datos. $\mu = 80$ , $\sigma = 10$ y $k = 2$ .

3. Traducimos el suceso a valores concretos. $k\sigma = 2 \cdot 10 = 20$ , así que alejarse $2$ desvíos significa quedar fuera del intervalo $[60; 100]$ .

4. Aplicamos la cota. $P(|X - 80| \geq 20) \leq \dfrac{1}{2^{2}} = 0{,}25$ , o sea a lo sumo el $25\%$ .

5. Marcamos qué tipo de resultado es. Es una cota, no un valor. La probabilidad real puede ser mucho menor; lo único que se garantiza es que no supera $0{,}25$ .

6. Por qué vale la pena una cota tan floja. No pide ningún supuesto sobre la forma de la distribución. Con solo la media y el desvío ya dice algo, y eso es exactamente lo que la hace útil cuando no se conoce el modelo.

Respuesta: $P(|X - 80| \geq 20) \leq 0{,}25$

6. Una variable que modela la duración de una llamada tiene media $60$ y desvío $8$ minutos. Hallá una cota inferior para la probabilidad de que caiga dentro del intervalo $[20; 100]$ .

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1. Identificamos el $k$ del intervalo. El intervalo va de $\mu - k\sigma$ a $\mu + k\sigma$ , y su semiancho es $40$ . Como $\sigma = 8$ , resulta $k = \dfrac{40}{8} = 5$ .

2. Escribimos la versión complementaria de Chebyshev. $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{k^{2}}$ : es el complemento de la desigualdad original.

3. Reemplazamos. $1 - \dfrac{1}{5^{2}} = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$

4. Escribimos la conclusión. $P(20 < X < 100) \geq 0{,}96$ , o sea al menos el $96\%$ de la probabilidad cae dentro de ese intervalo.

5. Verificamos el sentido. Es una cota inferior: la probabilidad real es al menos $0{,}96$ y puede ser mayor. Cuanto más ancho el intervalo, más fuerte la garantía.

6. El caso que no sirve. Con $k = 1$ la cota da cero y no informa nada. Chebyshev recién dice algo útil a partir de $k > 1$ .

Respuesta: $P(20 < X < 100) \geq 0{,}96$

7. Una variable que modela el peso de un envase se reparte de forma uniforme entre $10$ y $30$ gramos. Calculá la cota de Chebyshev para el intervalo de $2$ desvíos alrededor de la media, calculá la probabilidad real y comparalas.

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1. Calculamos la media y el desvío de la uniforme. $\mu = \dfrac{10 + 30}{2} = 20$ y $\sigma = \sqrt{\dfrac{(30 - 10)^{2}}{12}} = \sqrt{33{,}3333} \approx 5{,}7735$ .

2. Aplicamos Chebyshev. $P(|X - \mu| < 2\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{4} = 0{,}75$

3. Armamos el intervalo. $[\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma] = [8{,}453; 31{,}547]$ , que contiene por completo al soporte $[10; 30]$ .

4. Calculamos la probabilidad real. Como el intervalo cubre todo el soporte, la probabilidad real es $1$ .

5. Comparamos. Chebyshev garantiza al menos $0{,}75$ y la realidad da $1$ . La cota se cumple, pero deja $0{,}25$ de margen sin usar.

6. Por qué la cota es tan floja. Está construida para valer en el peor caso posible entre todas las distribuciones con esa media y ese desvío. Si se conoce la distribución, siempre conviene calcular la probabilidad exacta.

Respuesta: Chebyshev garantiza al menos $0{,}75$ y la probabilidad real es $1$

8. Una variable que modela el gasto mensual de un hogar tiene media $110$ y desvío $9$ miles de pesos, con distribución desconocida. Hallá un intervalo centrado en la media que contenga al menos el $88{,}89\%$ de la probabilidad.

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1. Escribimos la desigualdad en su forma complementaria. $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{k^{2}}$

2. Planteamos la ecuación con el nivel pedido. $1 - \dfrac{1}{k^{2}} = 0{,}8889$ , así que $\dfrac{1}{k^{2}} = 0{,}1111$ .

3. Despejamos $k$ . $k^{2} = \dfrac{1}{0{,}1111} \approx 9$ , así que $k = 3$ .

4. Armamos el intervalo. $[\mu - k\sigma; \mu + k\sigma] = [110 - 3 \cdot 9; 110 + 3 \cdot 9] = [83; 137]$

5. Verificamos. Con $k = 3$ , la cota vale $1 - \dfrac{1}{9} \approx 0{,}8889$ , que es el nivel pedido.

6. Qué tipo de garantía es. «Al menos el $88{,}89\%$ », no exactamente ese porcentaje. Y vale para cualquier distribución: si se supiera que es normal, un intervalo mucho más angosto alcanzaría para el mismo nivel.

Respuesta: El intervalo es $[83; 137]$ , con $k = 3$

9. Una variable que modela el peso de un envase tiene media $25$ y desvío $5$ gramos, y no se conoce su distribución. Acotá la probabilidad de que se aleje de la media en $2$ desvíos o más.

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1. Escribimos la desigualdad. $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^{2}}$ , válida para cualquier distribución con media y desvío finitos.

2. Identificamos los datos. $\mu = 25$ , $\sigma = 5$ y $k = 2$ .

3. Traducimos el suceso a valores concretos. $k\sigma = 2 \cdot 5 = 10$ , así que alejarse $2$ desvíos significa quedar fuera del intervalo $[15; 35]$ .

4. Aplicamos la cota. $P(|X - 25| \geq 10) \leq \dfrac{1}{2^{2}} = 0{,}25$ , o sea a lo sumo el $25\%$ .

5. Marcamos qué tipo de resultado es. Es una cota, no un valor. La probabilidad real puede ser mucho menor; lo único que se garantiza es que no supera $0{,}25$ .

6. Por qué vale la pena una cota tan floja. No pide ningún supuesto sobre la forma de la distribución. Con solo la media y el desvío ya dice algo, y eso es exactamente lo que la hace útil cuando no se conoce el modelo.

Respuesta: $P(|X - 25| \geq 10) \leq 0{,}25$

10. Una variable que modela el gasto mensual de un hogar tiene media $40$ y desvío $9$ miles de pesos. Hallá una cota inferior para la probabilidad de que caiga dentro del intervalo $[-5; 85]$ .

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1. Identificamos el $k$ del intervalo. El intervalo va de $\mu - k\sigma$ a $\mu + k\sigma$ , y su semiancho es $45$ . Como $\sigma = 9$ , resulta $k = \dfrac{45}{9} = 5$ .

2. Escribimos la versión complementaria de Chebyshev. $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{k^{2}}$ : es el complemento de la desigualdad original.

3. Reemplazamos. $1 - \dfrac{1}{5^{2}} = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$

4. Escribimos la conclusión. $P(-5 < X < 85) \geq 0{,}96$ , o sea al menos el $96\%$ de la probabilidad cae dentro de ese intervalo.

5. Verificamos el sentido. Es una cota inferior: la probabilidad real es al menos $0{,}96$ y puede ser mayor. Cuanto más ancho el intervalo, más fuerte la garantía.

6. El caso que no sirve. Con $k = 1$ la cota da cero y no informa nada. Chebyshev recién dice algo útil a partir de $k > 1$ .

Respuesta: $P(-5 < X < 85) \geq 0{,}96$

11. Una variable que modela el tiempo de armado de una pieza se reparte de forma uniforme entre $0$ y $20$ minutos. Calculá la cota de Chebyshev para el intervalo de $2$ desvíos alrededor de la media, calculá la probabilidad real y comparalas.

Ver solución

1. Calculamos la media y el desvío de la uniforme. $\mu = \dfrac{0 + 20}{2} = 10$ y $\sigma = \sqrt{\dfrac{(20 - 0)^{2}}{12}} = \sqrt{33{,}3333} \approx 5{,}7735$ .

2. Aplicamos Chebyshev. $P(|X - \mu| < 2\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{4} = 0{,}75$

3. Armamos el intervalo. $[\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma] = [-1{,}547; 21{,}547]$ , que contiene por completo al soporte $[0; 20]$ .

4. Calculamos la probabilidad real. Como el intervalo cubre todo el soporte, la probabilidad real es $1$ .

5. Comparamos. Chebyshev garantiza al menos $0{,}75$ y la realidad da $1$ . La cota se cumple, pero deja $0{,}25$ de margen sin usar.

6. Por qué la cota es tan floja. Está construida para valer en el peor caso posible entre todas las distribuciones con esa media y ese desvío. Si se conoce la distribución, siempre conviene calcular la probabilidad exacta.

Respuesta: Chebyshev garantiza al menos $0{,}75$ y la probabilidad real es $1$

12. Una variable que modela la duración de una llamada tiene media $80$ y desvío $5$ minutos, con distribución desconocida. Hallá un intervalo centrado en la media que contenga al menos el $96\%$ de la probabilidad.

Ver solución

1. Escribimos la desigualdad en su forma complementaria. $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \dfrac{1}{k^{2}}$

2. Planteamos la ecuación con el nivel pedido. $1 - \dfrac{1}{k^{2}} = 0{,}96$ , así que $\dfrac{1}{k^{2}} = 0{,}04$ .

3. Despejamos $k$ . $k^{2} = \dfrac{1}{0{,}04} = 25$ , así que $k = 5$ .

4. Armamos el intervalo. $[\mu - k\sigma; \mu + k\sigma] = [80 - 5 \cdot 5; 80 + 5 \cdot 5] = [55; 105]$

5. Verificamos. Con $k = 5$ , la cota vale $1 - \dfrac{1}{25} = 0{,}96$ , que es el nivel pedido.

6. Qué tipo de garantía es. «Al menos el $96\%$ », no exactamente ese porcentaje. Y vale para cualquier distribución: si se supiera que es normal, un intervalo mucho más angosto alcanzaría para el mismo nivel.

Respuesta: El intervalo es $[55; 105]$ , con $k = 5$