Ejercicios: Coeficiente de correlación lineal

2. Calculamos la covarianza. $E(X) = 2{,}4815$, $E(Y) = 1$ y $E(XY) = 2{,}4444$, así que $\text{Cov}(X; Y) = -0{,}037$.

3. Calculamos los desvíos. $V(X) = 0{,}2497$ y $V(Y) = 1{,}5556$, así que $\sigma_X = 0{,}4997$ y $\sigma_Y = 1{,}2472$.

4. Dividimos. $\rho = \dfrac{-0{,}037}{0{,}4997 \cdot 1{,}2472} \approx \dfrac{-0{,}037}{0{,}6232} \approx -0{,}0594$

5. Verificamos el rango. $-1 \leq -0{,}0594 \leq 1$, como tiene que ser siempre. Si el resultado se hubiera ido de ese rango, habría un error en alguna de las tres cuentas anteriores.

6. Qué resuelve la división. La covarianza depende de las unidades de las dos variables. Dividir por los desvíos cancela esas unidades, y por eso $\rho$ se puede interpretar y comparar entre problemas distintos.

Respuesta: $\rho = -0{,}0594$

2. Leemos el signo. Es positivo, así que la relación lineal es creciente: cuando el precio crece, la cantidad vendida tiende a crecer.

3. Leemos la magnitud. $|\rho| = 0{,}92$, así que la relación lineal es fuerte. Cuanto más cerca de $1$ en valor absoluto, más se acercan los puntos a una recta.

4. Calculamos qué proporción de la variabilidad explica. $\rho^{2} = 0{,}8464$, o sea el $84{,}64\%$. Ese número aparece más adelante como coeficiente de determinación.

5. Marcamos lo que $\rho$ no dice. Solo mide relación lineal. Un $\rho$ cercano a cero no descarta una relación fuerte pero curva, y hay pares de variables perfectamente relacionadas con $\rho = 0$.

6. Y lo que tampoco dice. Nada sobre causa. Que el precio y la cantidad vendida se muevan juntas no dice cuál empuja a cuál.

Respuesta: Relación lineal fuerte y creciente, con $\rho^{2} = 0{,}8464$

2. Vemos cómo cambia la covarianza al reescalar. $\text{Cov}(aX + b; Y) = a \cdot \text{Cov}(X; Y)$: la constante no aporta y el factor sale afuera. Acá da $4 \cdot (-0{,}1765) \approx -0{,}7059$.

3. Vemos cómo cambia el desvío. $\sigma_Z = 4 \cdot \sigma_X = 4 \cdot 1{,}4974 = 5{,}9896$, porque la varianza se multiplica por el cuadrado del factor.

4. Calculamos la nueva correlación. $\rho_{ZY} = \dfrac{-0{,}7059}{5{,}9896 \cdot 1{,}3284} \approx -0{,}0887$: el factor $4$ aparece arriba y abajo y se cancela.

5. Comparamos. Las dos correlaciones son iguales. El coeficiente no cambia ante transformaciones lineales con pendiente positiva.

6. Por qué esto importa. Medir en centímetros o en pulgadas, en pesos o en miles de pesos, no cambia la correlación. La covarianza sí cambiaría, y por eso no sirve para comparar.

Respuesta: $\rho_{XY} = \rho_{ZY} = -0{,}0887$: la correlación no cambia al reescalar

2. Calculamos la proporción de variabilidad explicada. $\rho^{2} = 0{,}87^{2} = 0{,}7569$, o sea el $75{,}69\%$. Es un ajuste lineal muy bueno.

3. Separamos las dos cosas. Que el ajuste sea bueno dice que las dos variables se mueven juntas de forma casi lineal. No dice nada sobre cuál empuja a cuál, ni descarta que las empuje una tercera.

4. Buscamos la variable oculta. Acá la explicación razonable es la temperatura: los meses de calor aumentan las dos cosas a la vez, sin que una cause a la otra.

5. Evaluamos la afirmación. El dato no la sostiene. La correlación es real y alta, pero la conclusión causal no se sigue de ella.

6. Qué haría falta para afirmar causa. Un experimento donde se controle la tercera variable, o al menos un diseño que la mida y la incluya. Con datos observacionales y un solo coeficiente no alcanza.

Respuesta: $\rho^{2} = 0{,}7569$: el ajuste lineal es bueno, pero la afirmación causal no se sostiene, porque la temperatura explica el movimiento conjunto

2. Calculamos la covarianza. $E(X) = 2{,}5217$, $E(Y) = 1{,}5652$ y $E(XY) = 3{,}913$, así que $\text{Cov}(X; Y) = -0{,}034$.

3. Calculamos los desvíos. $V(X) = 0{,}2495$ y $V(Y) = 2{,}4197$, así que $\sigma_X = 0{,}4995$ y $\sigma_Y = 1{,}5555$.

4. Dividimos. $\rho = \dfrac{-0{,}034}{0{,}4995 \cdot 1{,}5555} \approx \dfrac{-0{,}034}{0{,}777} \approx -0{,}0438$

5. Verificamos el rango. $-1 \leq -0{,}0438 \leq 1$, como tiene que ser siempre. Si el resultado se hubiera ido de ese rango, habría un error en alguna de las tres cuentas anteriores.

6. Qué resuelve la división. La covarianza depende de las unidades de las dos variables. Dividir por los desvíos cancela esas unidades, y por eso $\rho$ se puede interpretar y comparar entre problemas distintos.

Respuesta: $\rho = -0{,}0438$

2. Leemos el signo. Es positivo, así que la relación lineal es creciente: cuando la temperatura crece, el consumo de gas tiende a crecer.

3. Leemos la magnitud. $|\rho| = 0{,}92$, así que la relación lineal es fuerte. Cuanto más cerca de $1$ en valor absoluto, más se acercan los puntos a una recta.

4. Calculamos qué proporción de la variabilidad explica. $\rho^{2} = 0{,}8464$, o sea el $84{,}64\%$. Ese número aparece más adelante como coeficiente de determinación.

5. Marcamos lo que $\rho$ no dice. Solo mide relación lineal. Un $\rho$ cercano a cero no descarta una relación fuerte pero curva, y hay pares de variables perfectamente relacionadas con $\rho = 0$.

6. Y lo que tampoco dice. Nada sobre causa. Que la temperatura y el consumo de gas se muevan juntas no dice cuál empuja a cuál.

Respuesta: Relación lineal fuerte y creciente, con $\rho^{2} = 0{,}8464$

2. Vemos cómo cambia la covarianza al reescalar. $\text{Cov}(aX + b; Y) = a \cdot \text{Cov}(X; Y)$: la constante no aporta y el factor sale afuera. Acá da $3 \cdot (-0{,}3846) = -1{,}1538$.

3. Vemos cómo cambia el desvío. $\sigma_Z = 3 \cdot \sigma_X = 3 \cdot 1 = 3$, porque la varianza se multiplica por el cuadrado del factor.

4. Calculamos la nueva correlación. $\rho_{ZY} = \dfrac{-1{,}1538}{3 \cdot 0{,}8635} \approx -0{,}4454$: el factor $3$ aparece arriba y abajo y se cancela.

5. Comparamos. Las dos correlaciones son iguales. El coeficiente no cambia ante transformaciones lineales con pendiente positiva.

6. Por qué esto importa. Medir en centímetros o en pulgadas, en pesos o en miles de pesos, no cambia la correlación. La covarianza sí cambiaría, y por eso no sirve para comparar.

Respuesta: $\rho_{XY} = \rho_{ZY} = -0{,}4454$: la correlación no cambia al reescalar

2. Calculamos la proporción de variabilidad explicada. $\rho^{2} = 0{,}79^{2} = 0{,}6241$, o sea el $62{,}41\%$. Es un ajuste lineal muy bueno.

3. Separamos las dos cosas. Que el ajuste sea bueno dice que las dos variables se mueven juntas de forma casi lineal. No dice nada sobre cuál empuja a cuál, ni descarta que las empuje una tercera.

4. Buscamos la variable oculta. Acá la explicación razonable es el tamaño del incendio: un incendio más grande produce más daños y además hace que se envíen más bomberos.

5. Evaluamos la afirmación. El dato no la sostiene. La correlación es real y alta, pero la conclusión causal no se sigue de ella.

6. Qué haría falta para afirmar causa. Un experimento donde se controle la tercera variable, o al menos un diseño que la mida y la incluya. Con datos observacionales y un solo coeficiente no alcanza.

Respuesta: $\rho^{2} = 0{,}6241$: el ajuste lineal es bueno, pero la afirmación causal no se sostiene, porque el tamaño del incendio explica el movimiento conjunto

2. Calculamos la covarianza. $E(X) = 1{,}9091$, $E(Y) = 2$ y $E(XY) = 3{,}2727$, así que $\text{Cov}(X; Y) = -0{,}5455$.

3. Calculamos los desvíos. $V(X) = 2{,}0826$ y $V(Y) = 2{,}9091$, así que $\sigma_X = 1{,}4431$ y $\sigma_Y = 1{,}7056$.

4. Dividimos. $\rho = \dfrac{-0{,}5455}{1{,}4431 \cdot 1{,}7056} \approx \dfrac{-0{,}5455}{2{,}4614} \approx -0{,}2216$

5. Verificamos el rango. $-1 \leq -0{,}2216 \leq 1$, como tiene que ser siempre. Si el resultado se hubiera ido de ese rango, habría un error en alguna de las tres cuentas anteriores.

6. Qué resuelve la división. La covarianza depende de las unidades de las dos variables. Dividir por los desvíos cancela esas unidades, y por eso $\rho$ se puede interpretar y comparar entre problemas distintos.

Respuesta: $\rho = -0{,}2216$

2. Leemos el signo. Es positivo, así que la relación lineal es creciente: cuando la antigüedad del equipo crece, la cantidad de fallas tiende a crecer.

3. Leemos la magnitud. $|\rho| = 0{,}05$, así que la relación lineal es prácticamente nula. Cuanto más cerca de $1$ en valor absoluto, más se acercan los puntos a una recta.

4. Calculamos qué proporción de la variabilidad explica. $\rho^{2} = 0{,}0025$, o sea el $0{,}25\%$. Ese número aparece más adelante como coeficiente de determinación.

5. Marcamos lo que $\rho$ no dice. Solo mide relación lineal. Un $\rho$ cercano a cero no descarta una relación fuerte pero curva, y hay pares de variables perfectamente relacionadas con $\rho = 0$.

6. Y lo que tampoco dice. Nada sobre causa. Que la antigüedad del equipo y la cantidad de fallas se muevan juntas no dice cuál empuja a cuál.

Respuesta: Relación lineal prácticamente nula y creciente, con $\rho^{2} = 0{,}0025$

2. Vemos cómo cambia la covarianza al reescalar. $\text{Cov}(aX + b; Y) = a \cdot \text{Cov}(X; Y)$: la constante no aporta y el factor sale afuera. Acá da $2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5$.

3. Vemos cómo cambia el desvío. $\sigma_Z = 2 \cdot \sigma_X = 2 \cdot 0{,}493 = 0{,}986$, porque la varianza se multiplica por el cuadrado del factor.

4. Calculamos la nueva correlación. $\rho_{ZY} = \dfrac{0{,}5}{0{,}986 \cdot 1{,}6583} \approx 0{,}3058$: el factor $2$ aparece arriba y abajo y se cancela.

5. Comparamos. Las dos correlaciones son iguales. El coeficiente no cambia ante transformaciones lineales con pendiente positiva.

6. Por qué esto importa. Medir en centímetros o en pulgadas, en pesos o en miles de pesos, no cambia la correlación. La covarianza sí cambiaría, y por eso no sirve para comparar.

Respuesta: $\rho_{XY} = \rho_{ZY} = 0{,}3058$: la correlación no cambia al reescalar

2. Calculamos la proporción de variabilidad explicada. $\rho^{2} = 0{,}82^{2} = 0{,}6724$, o sea el $67{,}24\%$. Es un ajuste lineal muy bueno.

3. Separamos las dos cosas. Que el ajuste sea bueno dice que las dos variables se mueven juntas de forma casi lineal. No dice nada sobre cuál empuja a cuál, ni descarta que las empuje una tercera.

4. Buscamos la variable oculta. Acá la explicación razonable es la edad: los chicos más grandes tienen a la vez más vocabulario y pies más largos.

5. Evaluamos la afirmación. El dato no la sostiene. La correlación es real y alta, pero la conclusión causal no se sigue de ella.

6. Qué haría falta para afirmar causa. Un experimento donde se controle la tercera variable, o al menos un diseño que la mida y la incluya. Con datos observacionales y un solo coeficiente no alcanza.

Respuesta: $\rho^{2} = 0{,}6724$: el ajuste lineal es bueno, pero la afirmación causal no se sostiene, porque la edad explica el movimiento conjunto