Ejercicios: Covarianza

1. Dos variables discretas tienen conjunta $p(2; 0) = 0{,}2759$ · $p(2; 1) = 0{,}1034$ · $p(2; 3) = 0{,}2069$ · $p(3; 0) = 0{,}2069$ · $p(3; 1) = 0{,}1724$ · $p(3; 3) = 0{,}0345$ . Calculá la covarianza entre $X$ e $Y$ .

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1. Elegimos la fórmula práctica. $\text{Cov}(X; Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$ . Es equivalente a la definición y mucho más corta.

2. Calculamos las marginales y las dos esperanzas. $E(X) = 2 \cdot 0{,}5862 + 3 \cdot 0{,}4138 = 2{,}4138$ y $E(Y) = 0 \cdot 0{,}4828 + 1 \cdot 0{,}2759 + 3 \cdot 0{,}2414 \approx 1$ .

3. Calculamos la esperanza del producto. $E(XY) = 2 \cdot 0 \cdot 0{,}2759 + 2 \cdot 1 \cdot 0{,}1034 + 2 \cdot 3 \cdot 0{,}2069 + 3 \cdot 0 \cdot 0{,}2069 + 3 \cdot 1 \cdot 0{,}1724 + 3 \cdot 3 \cdot 0{,}0345 = 2{,}2759$

4. Restamos. $\text{Cov}(X; Y) = 2{,}2759 - 2{,}4138 \cdot 1 = 2{,}2759 - 2{,}4138 = -0{,}1379$

5. Interpretamos el signo. Es negativa: cuando una variable está por encima de su media, la otra tiende a estar por debajo.

6. Lo que no dice la covarianza. Su tamaño depende de las unidades de las dos variables, así que no se puede comparar entre problemas distintos. Para eso está el coeficiente de correlación.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = -0{,}1379$

2. Sobre las mismas unidades se midieron $X$ , la antigüedad del equipo, e $Y$ , la cantidad de fallas, con conjunta $p(0; 1) = 0{,}125$ · $p(0; 3) = 0{,}2917$ · $p(0; 4) = 0{,}0417$ · $p(4; 1) = 0{,}125$ · $p(4; 3) = 0{,}3333$ · $p(4; 4) = 0{,}0833$ . Calculá la covarianza, determiná su signo e interpretá qué dice sobre la relación entre las dos variables.

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1. Calculamos las esperanzas. $E(X) = 2{,}1667$ y $E(Y) = 2{,}625$ , cada una con su marginal.

2. Calculamos la esperanza del producto. $E(XY) = 5{,}8333$

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 5{,}8333 - 5{,}6875 = 0{,}1458$

4. Determinamos el signo. Es positiva.

5. Interpretamos. Cuando la antigüedad del equipo está por encima de su promedio, la cantidad de fallas tiende a estar por encima del suyo: se mueven en el mismo sentido.

6. El límite de esta lectura. El signo se puede interpretar, el tamaño no. $0{,}1458$ está en unidades de la antigüedad del equipo por unidades de la cantidad de fallas, y cambiando la escala de cualquiera de las dos ese número cambia sin que cambie la relación.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = 0{,}1458$ , que es positiva

3. Sea el par de variables donde $X$ toma los valores $-1$ , $0$ y $1$ con probabilidad $\dfrac{1}{3}$ cada uno, e $Y = X^{2}$ . Calculá la covarianza y decidí si $X$ e $Y$ son independientes.

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1. Calculamos las esperanzas. $E(X) = \dfrac{1}{3} \cdot ((-1) + 0 + 1) = 0$ y $E(Y) = \dfrac{1}{3} \cdot (1 + 0 + 1) \approx 0{,}6667$ .

2. Calculamos la esperanza del producto. Los productos $x \cdot y$ son $-1$ , $0$ , $1$ , así que $E(XY) = 0$ .

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 0 - 0 \cdot 0{,}6667 = 0$

4. Verificamos si son independientes. Si lo fueran, $P(X = -1 \text{ e } Y = 0)$ tendría que ser el producto de las marginales. Pero $P(X = -1) = \dfrac{1}{3}$ y $P(Y = 1) = 0{,}6667$ , mientras que la conjunta de ese par vale $\dfrac{1}{3}$ , distinto del producto. No son independientes.

5. Concluimos. La covarianza es cero y sin embargo $Y$ queda completamente determinada por $X$ , así que la dependencia es total.

6. La implicación que vale y la que no. Independientes implica covarianza cero. La vuelta es falsa: la covarianza solo detecta relación lineal, y acá la relación es perfecta pero simétrica, así que se cancela.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = 0$ y sin embargo no son independientes

4. Dos variables discretas tienen conjunta $p(3; 0) = 0{,}0769$ · $p(3; 2) = 0{,}1538$ · $p(3; 3) = 0{,}0769$ · $p(4; 0) = 0{,}4615$ · $p(4; 2) = 0{,}1538$ · $p(4; 3) = 0{,}0769$ . Calculá $V(X + Y)$ .

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1. Escribimos la fórmula. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X; Y)$ . Las varianzas no se suman sin más: hay un término de covarianza.

2. Calculamos las varianzas marginales. $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 0{,}213$ y $V(Y) = 1{,}4556$ , cada una con su marginal.

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 3{,}7692 - 3{,}9763 = -0{,}2071$

4. Reemplazamos. $V(X + Y) = 0{,}213 + 1{,}4556 + 2 \cdot (-0{,}2071) = 1{,}2544$

5. Comparamos con la suma de las varianzas. $0{,}213 + 1{,}4556 = 1{,}6686$ , contra $1{,}2544$ . La covarianza negativa achica la dispersión de la suma: cuando una sube la otra tiende a bajar y se compensan.

6. Cuándo se pueden sumar directamente. Solo si la covarianza es cero, y eso pasa en particular si las variables son independientes. En cualquier otro caso, olvidar el término cruzado da un resultado equivocado.

Respuesta: $V(X + Y) = 1{,}2544$

5. Dos variables discretas tienen conjunta $p(1; 0) = 0{,}0769$ · $p(1; 2) = 0{,}2692$ · $p(1; 4) = 0{,}1154$ · $p(3; 0) = 0{,}1923$ · $p(3; 2) = 0{,}2308$ · $p(3; 4) = 0{,}1154$ . Calculá la covarianza entre $X$ e $Y$ .

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1. Elegimos la fórmula práctica. $\text{Cov}(X; Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$ . Es equivalente a la definición y mucho más corta.

2. Calculamos las marginales y las dos esperanzas. $E(X) = 1 \cdot 0{,}4615 + 3 \cdot 0{,}5385 \approx 2{,}0769$ y $E(Y) = 0 \cdot 0{,}2692 + 2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}2308 \approx 1{,}9231$ .

3. Calculamos la esperanza del producto. $E(XY) = 1 \cdot 0 \cdot 0{,}0769 + 1 \cdot 2 \cdot 0{,}2692 + 1 \cdot 4 \cdot 0{,}1154 + 3 \cdot 0 \cdot 0{,}1923 + 3 \cdot 2 \cdot 0{,}2308 + 3 \cdot 4 \cdot 0{,}1154 \approx 3{,}7692$

4. Restamos. $\text{Cov}(X; Y) = 3{,}7692 - 2{,}0769 \cdot 1{,}9231 \approx 3{,}7692 - 3{,}9941 = -0{,}2249$

5. Interpretamos el signo. Es negativa: cuando una variable está por encima de su media, la otra tiende a estar por debajo.

6. Lo que no dice la covarianza. Su tamaño depende de las unidades de las dos variables, así que no se puede comparar entre problemas distintos. Para eso está el coeficiente de correlación.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = -0{,}2249$

6. Sobre las mismas unidades se midieron $X$ , los años de experiencia, e $Y$ , el sueldo, con conjunta $p(2; 1) = 0{,}1379$ · $p(2; 2) = 0{,}1034$ · $p(2; 4) = 0{,}1034$ · $p(4; 1) = 0{,}2759$ · $p(4; 2) = 0{,}1379$ · $p(4; 4) = 0{,}2414$ . Calculá la covarianza, determiná su signo e interpretá qué dice sobre la relación entre las dos variables.

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1. Calculamos las esperanzas. $E(X) = 3{,}3103$ y $E(Y) = 2{,}2759$ , cada una con su marginal.

2. Calculamos la esperanza del producto. $E(XY) = 7{,}5862$

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 7{,}5862 - 7{,}5339 = 0{,}0523$

4. Determinamos el signo. Es positiva.

5. Interpretamos. Cuando los años de experiencia está por encima de su promedio, el sueldo tiende a estar por encima del suyo: se mueven en el mismo sentido.

6. El límite de esta lectura. El signo se puede interpretar, el tamaño no. $0{,}0523$ está en unidades de los años de experiencia por unidades de el sueldo, y cambiando la escala de cualquiera de las dos ese número cambia sin que cambie la relación.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = 0{,}0523$ , que es positiva

7. Sea el par de variables donde $X$ toma los valores $-2$ , $0$ y $2$ con probabilidad $\dfrac{1}{3}$ cada uno, e $Y = |X|$ . Calculá la covarianza y decidí si $X$ e $Y$ son independientes.

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1. Calculamos las esperanzas. $E(X) = \dfrac{1}{3} \cdot ((-2) + 0 + 2) = 0$ y $E(Y) = \dfrac{1}{3} \cdot (2 + 0 + 2) \approx 1{,}3333$ .

2. Calculamos la esperanza del producto. Los productos $x \cdot y$ son $-4$ , $0$ , $4$ , así que $E(XY) = 0$ .

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 0 - 0 \cdot 1{,}3333 = 0$

4. Verificamos si son independientes. Si lo fueran, $P(X = -2 \text{ e } Y = 0)$ tendría que ser el producto de las marginales. Pero $P(X = -2) = \dfrac{1}{3}$ y $P(Y = 2) = 0{,}6667$ , mientras que la conjunta de ese par vale $\dfrac{1}{3}$ , distinto del producto. No son independientes.

5. Concluimos. La covarianza es cero y sin embargo conocer $X$ determina $Y$ sin ninguna incertidumbre.

6. La implicación que vale y la que no. Independientes implica covarianza cero. La vuelta es falsa: la covarianza solo detecta relación lineal, y acá la relación es perfecta pero simétrica, así que se cancela.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = 0$ y sin embargo no son independientes

8. Dos variables discretas tienen conjunta $p(1; 1) = 0{,}12$ · $p(1; 2) = 0{,}12$ · $p(1; 4) = 0{,}12$ · $p(3; 1) = 0{,}08$ · $p(3; 2) = 0{,}24$ · $p(3; 4) = 0{,}32$ . Calculá $V(X + Y)$ .

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1. Escribimos la fórmula. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X; Y)$ . Las varianzas no se suman sin más: hay un término de covarianza.

2. Calculamos las varianzas marginales. $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 0{,}9216$ y $V(Y) = 1{,}4976$ , cada una con su marginal.

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 6{,}36 - 6{,}1104 = 0{,}2496$

4. Reemplazamos. $V(X + Y) = 0{,}9216 + 1{,}4976 + 2 \cdot 0{,}2496 = 2{,}9184$

5. Comparamos con la suma de las varianzas. $0{,}9216 + 1{,}4976 = 2{,}4192$ , contra $2{,}9184$ . La covarianza positiva agranda la dispersión de la suma: las dos variables suben y bajan juntas.

6. Cuándo se pueden sumar directamente. Solo si la covarianza es cero, y eso pasa en particular si las variables son independientes. En cualquier otro caso, olvidar el término cruzado da un resultado equivocado.

Respuesta: $V(X + Y) = 2{,}9184$

9. Dos variables discretas tienen conjunta $p(3; 1) = 0{,}2609$ · $p(3; 2) = 0{,}1304$ · $p(3; 4) = 0{,}2609$ · $p(4; 1) = 0{,}0435$ · $p(4; 2) = 0{,}087$ · $p(4; 4) = 0{,}2174$ . Calculá la covarianza entre $X$ e $Y$ .

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1. Elegimos la fórmula práctica. $\text{Cov}(X; Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$ . Es equivalente a la definición y mucho más corta.

2. Calculamos las marginales y las dos esperanzas. $E(X) = 3 \cdot 0{,}6522 + 4 \cdot 0{,}3478 = 3{,}3478$ y $E(Y) = 1 \cdot 0{,}3043 + 2 \cdot 0{,}2174 + 4 \cdot 0{,}4783 \approx 2{,}6522$ .

3. Calculamos la esperanza del producto. $E(XY) = 3 \cdot 1 \cdot 0{,}2609 + 3 \cdot 2 \cdot 0{,}1304 + 3 \cdot 4 \cdot 0{,}2609 + 4 \cdot 1 \cdot 0{,}0435 + 4 \cdot 2 \cdot 0{,}087 + 4 \cdot 4 \cdot 0{,}2174 \approx 9{,}0435$

4. Restamos. $\text{Cov}(X; Y) = 9{,}0435 - 3{,}3478 \cdot 2{,}6522 \approx 9{,}0435 - 8{,}879 = 0{,}1645$

5. Interpretamos el signo. Es positiva: cuando una variable está por encima de su media, la otra tiende a estarlo también.

6. Lo que no dice la covarianza. Su tamaño depende de las unidades de las dos variables, así que no se puede comparar entre problemas distintos. Para eso está el coeficiente de correlación.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = 0{,}1645$

10. Sobre las mismas unidades se midieron $X$ , las horas de estudio, e $Y$ , la nota del parcial, con conjunta $p(1; 0) = 0{,}1429$ · $p(1; 1) = 0{,}2$ · $p(1; 2) = 0{,}1714$ · $p(2; 0) = 0{,}1714$ · $p(2; 1) = 0{,}1429$ · $p(2; 2) = 0{,}1714$ . Calculá la covarianza, determiná su signo e interpretá qué dice sobre la relación entre las dos variables.

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1. Calculamos las esperanzas. $E(X) = 1{,}4857$ y $E(Y) = 1{,}0286$ , cada una con su marginal.

2. Calculamos la esperanza del producto. $E(XY) = 1{,}5143$

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 1{,}5143 - 1{,}5282 = -0{,}0139$

4. Determinamos el signo. Es negativa.

5. Interpretamos. Cuando las horas de estudio está por encima de su promedio, la nota del parcial tiende a estar por debajo del suyo: se mueven en sentidos opuestos.

6. El límite de esta lectura. El signo se puede interpretar, el tamaño no. $-0{,}0139$ está en unidades de las horas de estudio por unidades de la nota del parcial, y cambiando la escala de cualquiera de las dos ese número cambia sin que cambie la relación.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = -0{,}0139$ , que es negativa

11. Sea el par de variables donde $X$ toma los valores $-3$ , $0$ y $3$ con probabilidad $\dfrac{1}{3}$ cada uno, e $Y = X^{2} + 1$ . Calculá la covarianza y decidí si $X$ e $Y$ son independientes.

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1. Calculamos las esperanzas. $E(X) = \dfrac{1}{3} \cdot ((-3) + 0 + 3) = 0$ y $E(Y) = \dfrac{1}{3} \cdot (10 + 1 + 10) = 7$ .

2. Calculamos la esperanza del producto. Los productos $x \cdot y$ son $-30$ , $0$ , $30$ , así que $E(XY) = 0$ .

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 0 - 0 \cdot 7 = 0$

4. Verificamos si son independientes. Si lo fueran, $P(X = -3 \text{ e } Y = 1)$ tendría que ser el producto de las marginales. Pero $P(X = -3) = \dfrac{1}{3}$ y $P(Y = 10) = 0{,}6667$ , mientras que la conjunta de ese par vale $\dfrac{1}{3}$ , distinto del producto. No son independientes.

5. Concluimos. La covarianza es cero y sin embargo $Y$ es una función exacta de $X$ , así que las dos variables están todo lo relacionadas que pueden estar.

6. La implicación que vale y la que no. Independientes implica covarianza cero. La vuelta es falsa: la covarianza solo detecta relación lineal, y acá la relación es perfecta pero simétrica, así que se cancela.

Respuesta: $\text{Cov}(X; Y) = 0$ y sin embargo no son independientes

12. Dos variables discretas tienen conjunta $p(0; 0) = 0{,}15$ · $p(0; 2) = 0{,}35$ · $p(0; 4) = 0{,}05$ · $p(2; 0) = 0{,}25$ · $p(2; 2) = 0{,}05$ · $p(2; 4) = 0{,}15$ . Calculá $V(X + Y)$ .

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1. Escribimos la fórmula. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X; Y)$ . Las varianzas no se suman sin más: hay un término de covarianza.

2. Calculamos las varianzas marginales. $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 0{,}99$ y $V(Y) = 2{,}24$ , cada una con su marginal.

3. Calculamos la covarianza. $\text{Cov}(X; Y) = 1{,}4 - 1{,}44 = -0{,}04$

4. Reemplazamos. $V(X + Y) = 0{,}99 + 2{,}24 + 2 \cdot (-0{,}04) = 3{,}15$

5. Comparamos con la suma de las varianzas. $0{,}99 + 2{,}24 = 3{,}23$ , contra $3{,}15$ . La covarianza negativa achica la dispersión de la suma: cuando una sube la otra tiende a bajar y se compensan.

6. Cuándo se pueden sumar directamente. Solo si la covarianza es cero, y eso pasa en particular si las variables son independientes. En cualquier otro caso, olvidar el término cruzado da un resultado equivocado.

Respuesta: $V(X + Y) = 3{,}15$