Covarianza

La covarianza mide si dos variables tienden a moverse en la misma dirección o en direcciones opuestas.

Si es positiva, cuando una está por encima de su media la otra también tiende a estarlo. Si es negativa, se mueven al revés. Si es cero, no hay tendencia lineal en ninguna dirección.

Se calcula como la esperanza del producto de las dos variables menos el producto de sus esperanzas. Esa fórmula es la práctica y la que conviene usar.

Su problema es que su valor depende de las unidades, así que no se puede interpretar el tamaño. Una covarianza de cien puede ser mucho o poco según en qué escala estén las variables.

Por eso se usa sobre todo para dos cosas: para saber el signo de la relación, y para calcular la varianza de una suma cuando las variables no son independientes.

Si las variables son independientes, la covarianza vale cero. Pero la vuelta no es cierta: covarianza cero no implica independencia, porque puede haber una relación fuerte que no sea lineal.

La covarianza de una variable consigo misma es su propia varianza.

\operatorname{Cov}(X, Y) = E(X Y) - E(X) \cdot E(Y)

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular la varianza de una suma de variables no independientes, o determinar el signo de la relación. Usá la esperanza del producto menos el producto de las esperanzas.

Ejemplo 1

Con la conjunta del subtema $15$ , calcular E(X Y).

Identificamos las celdas que aportan. Solo las que tienen $x$ e $y$ distintos de cero: las de la segunda fila con $x = 1$ y $x = 2$ .
Multiplicamos valor por valor por probabilidad. $1 \cdot 1 \cdot 0{,}25 = 0{,}25$ y $2 \cdot 1 \cdot 0{,}20 = 0{,}40$ .
Sumamos. $0{,}25 + 0{,}40 = 0{,}65$ .
Respuesta: $E(X Y) = 0{,}65$

Ejemplo 2

Con las esperanzas $E(X) = 1{,}05 y E(Y) = 0{,}60$ , calcular la covarianza.

Aplicamos la fórmula corta. $Cov = E(X Y) - E(X) \cdot E(Y)$ .
Calculamos el producto de las esperanzas. $1{,}05 \cdot 0{,}60 = 0{,}63$ .
Restamos. $0{,}65 - 0{,}63 = 0{,}02$ . Es positiva, así que las dos variables tienden a moverse juntas.
Respuesta: $Cov = 0{,}02$

Error típico

Concluir que dos variables son independientes porque la covarianza dio cero. Solo se detecta la relación lineal; una relación en forma de U da covarianza cero y dependencia total.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

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