La Poisson

La Poisson cuenta cuántas veces ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo, espacio o volumen.

Los casos típicos son llamadas que llegan a una central en una hora, fallas en un metro de cable, o clientes que entran a un local por minuto.

Se caracteriza por un solo parámetro, que es la cantidad promedio de ocurrencias en ese intervalo. Ese parámetro es a la vez la esperanza y la varianza, lo que es una particularidad de esta distribución.

Que esperanza y varianza coincidan es un buen chequeo para saber si unos datos se ajustan a una Poisson.

Las condiciones son que los eventos ocurran de forma independiente, que la tasa promedio sea constante, y que dos eventos no ocurran exactamente al mismo tiempo.

El detalle más importante para los ejercicios es ajustar el parámetro al intervalo que se pregunta. Si el promedio es por hora y se pregunta por media hora, hay que dividir por dos antes de aplicar la fórmula. Ese ajuste es el error más común del tema.

También sirve para aproximar una binomial con muchos intentos y probabilidad chica, tomando como parámetro el producto de los dos.

p(x) = e^{-}

ᵗ

\cdot t^{x} / x

! ·

E = t

V = t

Cuándo se usa

Cuando se cuentan eventos en un intervalo de tiempo o espacio y se conoce el promedio. Ajustá siempre el parámetro al intervalo que pregunta el enunciado.

Ejemplo 1

A un conmutador llegan $6$ llamadas por hora en promedio. Calcular la probabilidad de que en $20$ minutos lleguen exactamente $3$ .

Llevamos la tasa al intervalo. Veinte minutos es un tercio de hora: $t = 6 / 3 = 2$ .
Aplicamos la fórmula. $p(3) = e^{-2} \cdot 2^{3} / 3!$ .
Resolvemos. $0{,}1353 \cdot 8 / 6 = 0{,}1804$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}1804$

Ejemplo 2

Con el mismo conmutador, calcular la probabilidad de que en $20$ minutos no llegue ninguna llamada y la de que llegue al menos una.

Calculamos el caso de ninguna. $p(0) = e^{-2} \cdot 2^{0} / 0! = e^{-2} \approx 0{,}1353$ .
Pasamos al complemento. «Al menos una» es lo contrario de «ninguna».
Restamos de uno. $1 - 0{,}1353 = 0{,}8647$ .
Respuesta: $0{,}1353$ y $0{,}8647$

Error típico

Usar la tasa sin convertirla al intervalo de la pregunta. Es el error más frecuente del subtema y no se detecta mirando el resultado, porque el número que sale también es plausible.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .