La hipergeométrica

La hipergeométrica es la versión sin reposición de la binomial. Cuenta cuántos elementos de cierto tipo salen al extraer varios de un conjunto finito, sin devolverlos.

La diferencia clave es que acá las extracciones no son independientes: cada una cambia la composición de lo que queda.

Por eso la fórmula se arma con números combinatorios en vez de potencias. Se cuenta de cuántas formas se pueden elegir los elementos deseados y los no deseados, y se divide por el total de formas de elegir.

Es el modelo correcto para cartas, bolillas sin reposición, y control de calidad sobre un lote, que es donde más aparece.

Su esperanza tiene la misma forma que la de la binomial: la cantidad de extracciones por la proporción de elementos del tipo buscado.

Su varianza en cambio es menor que la de la binomial equivalente, porque el muestreo sin reposición reduce la variabilidad.

Cuando el conjunto total es muy grande comparado con lo que se extrae, la diferencia se vuelve despreciable y se puede usar la binomial como aproximación.

p(x) = C_{K,x} \cdot C_{N-K,\,n-x} / C_{N,n}

E = n K / N

Cuándo se usa

Cuando la extracción es sin reposición de un conjunto finito. Si el conjunto es muy grande comparado con la muestra, se puede aproximar con la binomial.

Ejemplo 1

Una caja tiene $20$ piezas $y 8$ son falladas. Se sacan $5$ sin reposición. Calcular la probabilidad de que exactamente $2$ sean falladas.

Contamos las maneras de elegir los éxitos. Elegir $2$ falladas entre $8$ : $C = (8 \cdot 7) / 2 = 28$ .
Contamos las maneras de completar con buenas. Elegir $3$ buenas entre $12$ : $C = (12 \cdot 11 \cdot 10) / 6 = 220$ .
Dividimos por el total de muestras. $C = 15.504$ muestras posibles, así que $28 \cdot 220 / 15.504 \approx 0{,}3973$ .
Respuesta: $P \approx 0{,}3973$

Ejemplo 2

Con la caja anterior, calcular la esperanza y compararla con la de la binomial equivalente.

Aplicamos la fórmula. $E = 5 \cdot 8 / 20 = 2$ piezas falladas.
Calculamos la binomial equivalente. Con $p = 8/20 = 0{,}4$ , da $E = 5 \cdot 0{,}4 = 2$ .
Concluimos. Las esperanzas coinciden. Lo que difiere es la varianza, que sin reposición es menor.
Respuesta: $E = 2$ en los dos casos

Error típico

Aplicar la binomial a un lote chico sin reposición. Con $20$ piezas y una muestra de $5$ la diferencia ya se nota, y con lotes menores se vuelve grande.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .