La acumulada y el cálculo de probabilidades

En variables continuas la probabilidad de caer en un intervalo es el área bajo la curva de densidad en ese intervalo.

Formalmente es la integral de la densidad entre los dos extremos, y esa es la conexión directa entre este tema y el cálculo integral.

La función acumulada es la integral de la densidad desde el extremo izquierdo hasta el punto. Por eso derivar la acumulada devuelve la densidad: son función y primitiva.

Tener la acumulada calculada ahorra muchísimo trabajo. Con ella, la probabilidad de un intervalo es una simple resta, sin volver a integrar cada vez.

Los límites de integración son el rango donde la densidad no es nula, que casi siempre está dado por la definición de la función. Integrar sobre todo el eje cuando la densidad es cero fuera de un intervalo es un error de planteo.

Para hallar el valor que deja cierta probabilidad por debajo se plantea la acumulada igualada a esa probabilidad y se despeja. Ese es el problema inverso y aparece seguido.

P(a \leq X \leq b) = \int f(x)

dx ·

F(x) = P(X \leq x)

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular probabilidades con una densidad. Calculá la acumulada una vez y usala para todos los intervalos: es más rápido que integrar cada vez.

Ejemplo 1

Con $f(x) = 2x$ entre $0$ y $1$ , hallar la acumulada y calcular la probabilidad de que X sea menor que $0{,}5$ .

Integramos la densidad desde el extremo izquierdo. La primitiva de $2x$ es $x^{2}$ , y en $0$ vale $0$ .
Escribimos la acumulada. $F(x) = x^{2}$ entre $0$ y $1$ .
Evaluamos. $F(0{,}5) = 0{,}25$ , así que el $25 \%$ de la probabilidad está en la mitad izquierda.
Respuesta: $P = 0{,}25$

Ejemplo 2

Con la misma densidad, calcular la probabilidad de que X esté entre $0{,}5$ y $0{,}8$ .

Usamos la acumulada. $P = F(0{,}8) - F(0{,}5)$ .
Evaluamos las dos. $0{,}8^{2} = 0{,}64$ y $0{,}5^{2} = 0{,}25$ .
Restamos. $0{,}64 - 0{,}25 = 0{,}39$ .
Respuesta: $P = 0{,}39$

Error típico

Traer del bloque anterior la costumbre de que el signo importe. En una continua, incluir o no el extremo no cambia nada porque el punto aporta área cero.

Practicar

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Otros subtemas de Variables aleatorias

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