Ejercicios: La acumulada y el cálculo de probabilidades

1. Una variable continua que modela el tiempo de atención, en horas tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{18} \, x$ en $[0; 6]$ y $0$ fuera. Hallá su función de distribución acumulada y evaluala en $x = 3$ .

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1. Escribimos la definición. $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ : la acumulada es la integral de la densidad desde el extremo izquierdo hasta el punto.

2. Integramos dentro del intervalo. Para $0 \leq x \leq 6$ : $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{1}{18} \, x \, dt = \dfrac{x^{2}}{36}$

3. Completamos los tramos de afuera. $F(x) = 0$ para $x < 0$ , y $F(x) = 1$ para $x > 6$ , porque ya se acumuló toda la probabilidad.

4. Verificamos los extremos. $F(0) = 0$ y $F(6) = 1$ : la acumulada arranca en cero y termina en uno, como corresponde.

5. Evaluamos. $F(3) = 0{,}25$ , o sea que hay un $25\%$ de probabilidad de que $X$ no supere $3$ .

6. Por qué la acumulada es tan útil. Es la única función que se define igual para variables discretas y continuas, y con ella cualquier probabilidad de intervalo se calcula con una resta.

Respuesta: $F(x) = \dfrac{x^{2}}{36}$ en $[0; 6]$ , con $F(3) = 0{,}25$

2. Una variable continua tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x^{2}}{9}$ en $[0; 3]$ , con $F(x) = 0$ antes y $1$ después. Calculá $P(1 < X \leq 3)$ , $P(X > 3)$ y $P(X = 3)$ .

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1. Usamos la fórmula del intervalo. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ , que vale igual para discretas y continuas.

2. Calculamos la primera. $F(3) - F(1) = 1 - 0{,}1111 = 0{,}8889$

3. Calculamos la cola derecha. $P(X > 3) = 1 - F(3) = 1 - 1 = 0$

4. Calculamos la probabilidad puntual. $P(X = 3) = 0$ : en una variable continua todo valor exacto tiene probabilidad cero, porque la acumulada no tiene saltos.

5. Sacamos la consecuencia. $P(1 < X \leq 3)$ , $P(1 \leq X \leq 3)$ y $P(1 < X < 3)$ valen todas $0{,}8889$ . En una continua el signo del extremo no cambia nada.

6. La diferencia con el caso discreto. En una discreta la acumulada salta en cada valor del recorrido, y ahí sí cambia el resultado según se incluya o no el extremo. Es la confusión que más se arrastra entre los dos bloques.

Respuesta: $P(1 < X \leq 3) = 0{,}8889$ , $P(X > 3) = 0$ y $P(X = 3) = 0$

3. Una variable continua tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x^{3}}{64}$ en $[0; 4]$ . Hallá su función de densidad y verificá el resultado.

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1. Usamos la relación entre las dos funciones. La acumulada es la integral de la densidad, así que la densidad es la derivada de la acumulada: $f(x) = F'(x)$ . Son función y primitiva.

2. Derivamos. $f(x) = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{3}}{64}\right) = \dfrac{3x^{2}}{64}$ en $[0; 4]$ , y $0$ fuera.

3. Verificamos que sea una densidad válida. Es no negativa en el intervalo, y su integral entre $0$ y $4$ devuelve $F(4) - F(0) = 1 - 0 = 1$ .

4. Verificamos en el otro sentido. Integrando $f$ desde $0$ hasta $x$ se recupera $\dfrac{x^{3}}{64}$ , que es la acumulada del enunciado.

5. Para qué sirve poder ir y volver. Muchos problemas dan una de las dos funciones y piden algo que se calcula más fácil con la otra. Derivar o integrar es todo lo que hace falta para cambiar de una a la otra.

Respuesta: $f(x) = \dfrac{3x^{2}}{64}$ en $[0; 4]$ y $0$ fuera

4. Una variable continua que modela el tiempo de atención, en horas tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x}{6}$ en $[0; 6]$ . Hallá el valor $c$ tal que $P(X \leq c) = 0{,}9$ .

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1. Traducimos la pregunta. Se busca el cuantil de orden $0{,}9$ : el punto que deja el $90\%$ de la probabilidad a su izquierda.

2. Planteamos la ecuación. $F(c) = 0{,}9$

3. Despejamos. $\dfrac{c}{6} = 0{,}9$ , así que $c = 0{,}9 \cdot 6 = 5{,}4$

4. Verificamos que esté en el rango. $0 \leq 5{,}4 \leq 6$ , así que el valor pertenece al soporte de la variable.

5. Interpretamos. El $90\%$ de las observaciones queda por debajo de $5{,}4$ horas.

6. La diferencia con el ejercicio anterior. Antes se conocía el valor y se buscaba la probabilidad. Acá es al revés: se conoce la probabilidad y se busca el valor, así que hay que invertir la acumulada.

Respuesta: $c = 5{,}4$

5. Una variable continua que modela el error de medición, en milímetros tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{4}$ en $[0; 4]$ y $0$ fuera. Hallá su función de distribución acumulada y evaluala en $x = 1$ .

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1. Escribimos la definición. $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ : la acumulada es la integral de la densidad desde el extremo izquierdo hasta el punto.

2. Integramos dentro del intervalo. Para $0 \leq x \leq 4$ : $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{1}{4} \, dt = \dfrac{x}{4}$

3. Completamos los tramos de afuera. $F(x) = 0$ para $x < 0$ , y $F(x) = 1$ para $x > 4$ , porque ya se acumuló toda la probabilidad.

4. Verificamos los extremos. $F(0) = 0$ y $F(4) = 1$ : la acumulada arranca en cero y termina en uno, como corresponde.

5. Evaluamos. $F(1) = 0{,}25$ , o sea que hay un $25\%$ de probabilidad de que $X$ no supere $1$ .

6. Por qué la acumulada es tan útil. Es la única función que se define igual para variables discretas y continuas, y con ella cualquier probabilidad de intervalo se calcula con una resta.

Respuesta: $F(x) = \dfrac{x}{4}$ en $[0; 4]$ , con $F(1) = 0{,}25$

6. Una variable continua tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x^{3}}{64}$ en $[0; 4]$ , con $F(x) = 0$ antes y $1$ después. Calculá $P(0 < X \leq 2)$ , $P(X > 2)$ y $P(X = 2)$ .

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1. Usamos la fórmula del intervalo. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ , que vale igual para discretas y continuas.

2. Calculamos la primera. $F(2) - F(0) = 0{,}125 - 0 = 0{,}125$

3. Calculamos la cola derecha. $P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0{,}125 = 0{,}875$

4. Calculamos la probabilidad puntual. $P(X = 2) = 0$ : en una variable continua todo valor exacto tiene probabilidad cero, porque la acumulada no tiene saltos.

5. Sacamos la consecuencia. $P(0 < X \leq 2)$ , $P(0 \leq X \leq 2)$ y $P(0 < X < 2)$ valen todas $0{,}125$ . En una continua el signo del extremo no cambia nada.

6. La diferencia con el caso discreto. En una discreta la acumulada salta en cada valor del recorrido, y ahí sí cambia el resultado según se incluya o no el extremo. Es la confusión que más se arrastra entre los dos bloques.

Respuesta: $P(0 < X \leq 2) = 0{,}125$ , $P(X > 2) = 0{,}875$ y $P(X = 2) = 0$

7. Una variable continua tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x^{3}}{27}$ en $[0; 3]$ . Hallá su función de densidad y verificá el resultado.

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1. Usamos la relación entre las dos funciones. La acumulada es la integral de la densidad, así que la densidad es la derivada de la acumulada: $f(x) = F'(x)$ . Son función y primitiva.

2. Derivamos. $f(x) = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{3}}{27}\right) = \dfrac{3x^{2}}{27}$ en $[0; 3]$ , y $0$ fuera.

3. Verificamos que sea una densidad válida. Es no negativa en el intervalo, y su integral entre $0$ y $3$ devuelve $F(3) - F(0) = 1 - 0 = 1$ .

4. Verificamos en el otro sentido. Integrando $f$ desde $0$ hasta $x$ se recupera $\dfrac{x^{3}}{27}$ , que es la acumulada del enunciado.

5. Para qué sirve poder ir y volver. Muchos problemas dan una de las dos funciones y piden algo que se calcula más fácil con la otra. Derivar o integrar es todo lo que hace falta para cambiar de una a la otra.

Respuesta: $f(x) = \dfrac{3x^{2}}{27}$ en $[0; 3]$ y $0$ fuera

8. Una variable continua que modela el error de medición, en milímetros tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x}{4}$ en $[0; 4]$ . Hallá el valor $c$ tal que $P(X \leq c) = 0{,}25$ .

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1. Traducimos la pregunta. Se busca el cuantil de orden $0{,}25$ : el punto que deja el $25\%$ de la probabilidad a su izquierda.

2. Planteamos la ecuación. $F(c) = 0{,}25$

3. Despejamos. $\dfrac{c}{4} = 0{,}25$ , así que $c = 0{,}25 \cdot 4 = 1$

4. Verificamos que esté en el rango. $0 \leq 1 \leq 4$ , así que el valor pertenece al soporte de la variable.

5. Interpretamos. El $25\%$ de las observaciones queda por debajo de $1$ mm.

6. La diferencia con el ejercicio anterior. Antes se conocía el valor y se buscaba la probabilidad. Acá es al revés: se conoce la probabilidad y se busca el valor, así que hay que invertir la acumulada.

Respuesta: $c = 1$

9. Una variable continua que modela la proporción de un tanque que se usa por día tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{18} \, x$ en $[0; 6]$ y $0$ fuera. Hallá su función de distribución acumulada y evaluala en $x = 2$ .

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1. Escribimos la definición. $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ : la acumulada es la integral de la densidad desde el extremo izquierdo hasta el punto.

2. Integramos dentro del intervalo. Para $0 \leq x \leq 6$ : $F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{1}{18} \, x \, dt = \dfrac{x^{2}}{36}$

3. Completamos los tramos de afuera. $F(x) = 0$ para $x < 0$ , y $F(x) = 1$ para $x > 6$ , porque ya se acumuló toda la probabilidad.

4. Verificamos los extremos. $F(0) = 0$ y $F(6) = 1$ : la acumulada arranca en cero y termina en uno, como corresponde.

5. Evaluamos. $F(2) = 0{,}1111$ , o sea que hay un $11{,}11\%$ de probabilidad de que $X$ no supere $2$ .

6. Por qué la acumulada es tan útil. Es la única función que se define igual para variables discretas y continuas, y con ella cualquier probabilidad de intervalo se calcula con una resta.

Respuesta: $F(x) = \dfrac{x^{2}}{36}$ en $[0; 6]$ , con $F(2) = 0{,}1111$

10. Una variable continua tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x^{2}}{36}$ en $[0; 6]$ , con $F(x) = 0$ antes y $1$ después. Calculá $P(2 < X \leq 4)$ , $P(X > 4)$ y $P(X = 4)$ .

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1. Usamos la fórmula del intervalo. $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ , que vale igual para discretas y continuas.

2. Calculamos la primera. $F(4) - F(2) = 0{,}4444 - 0{,}1111 = 0{,}3333$

3. Calculamos la cola derecha. $P(X > 4) = 1 - F(4) = 1 - 0{,}4444 = 0{,}5556$

4. Calculamos la probabilidad puntual. $P(X = 4) = 0$ : en una variable continua todo valor exacto tiene probabilidad cero, porque la acumulada no tiene saltos.

5. Sacamos la consecuencia. $P(2 < X \leq 4)$ , $P(2 \leq X \leq 4)$ y $P(2 < X < 4)$ valen todas $0{,}3333$ . En una continua el signo del extremo no cambia nada.

6. La diferencia con el caso discreto. En una discreta la acumulada salta en cada valor del recorrido, y ahí sí cambia el resultado según se incluya o no el extremo. Es la confusión que más se arrastra entre los dos bloques.

Respuesta: $P(2 < X \leq 4) = 0{,}3333$ , $P(X > 4) = 0{,}5556$ y $P(X = 4) = 0$

11. Una variable continua tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x^{2}}{16}$ en $[0; 4]$ . Hallá su función de densidad y verificá el resultado.

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1. Usamos la relación entre las dos funciones. La acumulada es la integral de la densidad, así que la densidad es la derivada de la acumulada: $f(x) = F'(x)$ . Son función y primitiva.

2. Derivamos. $f(x) = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{2}}{16}\right) = \dfrac{2x}{16}$ en $[0; 4]$ , y $0$ fuera.

3. Verificamos que sea una densidad válida. Es no negativa en el intervalo, y su integral entre $0$ y $4$ devuelve $F(4) - F(0) = 1 - 0 = 1$ .

4. Verificamos en el otro sentido. Integrando $f$ desde $0$ hasta $x$ se recupera $\dfrac{x^{2}}{16}$ , que es la acumulada del enunciado.

5. Para qué sirve poder ir y volver. Muchos problemas dan una de las dos funciones y piden algo que se calcula más fácil con la otra. Derivar o integrar es todo lo que hace falta para cambiar de una a la otra.

Respuesta: $f(x) = \dfrac{2x}{16}$ en $[0; 4]$ y $0$ fuera

12. Una variable continua que modela la duración de una llamada, en minutos tiene acumulada $F(x) = \dfrac{x}{2}$ en $[0; 2]$ . Hallá el valor $c$ tal que $P(X \leq c) = 0{,}25$ .

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1. Traducimos la pregunta. Se busca el cuantil de orden $0{,}25$ : el punto que deja el $25\%$ de la probabilidad a su izquierda.

2. Planteamos la ecuación. $F(c) = 0{,}25$

3. Despejamos. $\dfrac{c}{2} = 0{,}25$ , así que $c = 0{,}25 \cdot 2 = 0{,}5$

4. Verificamos que esté en el rango. $0 \leq 0{,}5 \leq 2$ , así que el valor pertenece al soporte de la variable.

5. Interpretamos. El $25\%$ de las observaciones queda por debajo de $0{,}5$ minutos.

6. La diferencia con el ejercicio anterior. Antes se conocía el valor y se buscaba la probabilidad. Acá es al revés: se conoce la probabilidad y se busca el valor, así que hay que invertir la acumulada.

Respuesta: $c = 0{,}5$