Ejercicios: Esperanza y varianza de una continua

1. Una variable continua que modela el tiempo de atención, en horas tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{18} \, x$ en $[0; 6]$ y $0$ fuera. Calculá su esperanza.

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1. Escribimos la definición. $E(X) = \displaystyle\int x \cdot f(x) \, dx$ sobre todo el rango donde la densidad no es nula. Es la misma idea del caso discreto, con una integral en lugar de una suma.

2. Planteamos la integral. $E(X) = \displaystyle\int_{0}^{6} x \cdot \dfrac{1}{18} \, x \, dx$

3. Calculamos la primitiva. $\left[\dfrac{2}{36} \cdot \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{6}$

4. Evaluamos. $E(X) = 4$ horas.

5. Verificamos que el resultado tenga sentido. $4$ cae dentro del intervalo $[0; 6]$ , como tiene que pasar: la esperanza es un punto de equilibrio y no puede quedar fuera del soporte. Está corrida hacia la derecha porque la densidad crece con $x$ .

Respuesta: $E(X) = 4$ horas

2. Una variable continua tiene densidad $f(x) = \dfrac{2}{25} \, x$ en $[0; 5]$ y $0$ fuera, con $E(X) = \dfrac{10}{3}$ . Calculá su varianza y su desvío estándar.

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1. Elegimos la fórmula práctica. $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2}$ . Es la misma que en el caso discreto, y ahorra restar la media adentro de la integral.

2. Planteamos la integral del momento de segundo orden. $E(X^{2}) = \displaystyle\int_{0}^{5} x^{2} \cdot \dfrac{2}{25} \, x \, dx = \left[\dfrac{2}{25} \cdot \dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{5} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5$

3. Restamos el cuadrado de la esperanza. $V(X) = 12{,}5 - \left(\dfrac{10}{3}\right)^{2} \approx 12{,}5 - 11{,}1111 = 1{,}3889$

4. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{1{,}3889} \approx 1{,}1785$ horas.

5. Verificamos el sentido. $E(X^{2}) = 12{,}5$ es mayor que $\mu^{2} = 11{,}1111$ , así que la varianza queda positiva. Si diera negativa, hay un error de cuentas.

6. Lo que no cambia respecto del bloque discreto. Ninguna fórmula. Solo se reemplazan dos sumas por dos integrales.

Respuesta: $V(X) = 1{,}3889$ y $\sigma = 1{,}1785$ horas

3. Una variable continua tiene $E(X) = \dfrac{10}{3}$ y $V(X) = 1{,}3889$ . Se define $Y = 4X + 25$ . Calculá la esperanza, la varianza y el desvío de $Y$ .

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1. Usamos las propiedades de la transformación lineal. $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$ y $V(aX + b) = a^{2} \cdot V(X)$ . Valen igual para continuas y discretas.

2. Calculamos la esperanza. $E(Y) = 4 \cdot 3{,}3333 + 25 \approx 38{,}3333$

3. Calculamos la varianza. $V(Y) = 4^{2} \cdot 1{,}3889 = 16 \cdot 1{,}3889 \approx 22{,}2222$

4. Calculamos el desvío. $\sigma_Y = \sqrt{22{,}2222} \approx 4{,}714 = 4 \cdot \sigma_X$

5. Por qué la constante no afecta a la dispersión. Sumar $25$ corre todos los valores y también la media, así que las distancias a la media quedan iguales. Lo único que cambió es dónde está el centro.

6. Un aviso. Estas propiedades valen para transformaciones lineales. Con una no lineal hay que volver a integrar.

Respuesta: $E(Y) = 38{,}3333$ , $V(Y) = 22{,}2222$ y $\sigma_Y = 4{,}714$

4. Una variable continua que modela la proporción de un tanque que se usa por día tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{18} \, x$ en $[0; 6]$ , con $E(X) = 4$ y $V(X) = 2$ . Calculá el desvío estándar y la probabilidad de que $X$ caiga a menos de un desvío de la media.

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1. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}4142$ , en las mismas unidades que la variable.

2. Armamos el intervalo central. $[\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [2{,}5858; 5{,}4142]$

3. Recortamos por el soporte. La variable solo toma valores en $[0; 6]$ , así que el intervalo efectivo es $[2{,}5858; 5{,}4142]$ .

4. Calculamos la probabilidad con la acumulada. $F(5{,}4142) - F(2{,}5858) = 0{,}8143 - 0{,}1857 \approx 0{,}6285$

5. Interpretamos. Es la proporción de la probabilidad que cae cerca del centro. En una distribución muy dispersa ese número es chico, y en una concentrada es grande.

6. Por qué se informa el desvío y no la varianza. La varianza está en unidades al cuadrado y no se puede comparar con los valores de la variable. El desvío sí, y por eso se lo usa para armar intervalos.

Respuesta: $\sigma = 1{,}4142$ y la probabilidad del intervalo central es $0{,}6285$

5. Una variable continua que modela la proporción de un tanque que se usa por día tiene densidad $f(x) = \dfrac{2}{9} \, x$ en $[0; 3]$ y $0$ fuera. Calculá su esperanza.

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1. Escribimos la definición. $E(X) = \displaystyle\int x \cdot f(x) \, dx$ sobre todo el rango donde la densidad no es nula. Es la misma idea del caso discreto, con una integral en lugar de una suma.

2. Planteamos la integral. $E(X) = \displaystyle\int_{0}^{3} x \cdot \dfrac{2}{9} \, x \, dx$

3. Calculamos la primitiva. $\left[\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}$

4. Evaluamos. $E(X) = 2$ .

5. Verificamos que el resultado tenga sentido. $2$ cae dentro del intervalo $[0; 3]$ , como tiene que pasar: la esperanza es un punto de equilibrio y no puede quedar fuera del soporte. Está corrida hacia la derecha porque la densidad crece con $x$ .

Respuesta: $E(X) = 2$

6. Una variable continua tiene densidad $f(x) = \dfrac{2}{9} \, x$ en $[0; 3]$ y $0$ fuera, con $E(X) = 2$ . Calculá su varianza y su desvío estándar.

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1. Elegimos la fórmula práctica. $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2}$ . Es la misma que en el caso discreto, y ahorra restar la media adentro de la integral.

2. Planteamos la integral del momento de segundo orden. $E(X^{2}) = \displaystyle\int_{0}^{3} x^{2} \cdot \dfrac{2}{9} \, x \, dx = \left[\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{3} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$

3. Restamos el cuadrado de la esperanza. $V(X) = 4{,}5 - \left(2\right)^{2} = 4{,}5 - 4 = 0{,}5$

4. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}7071$ mm.

5. Verificamos el sentido. $E(X^{2}) = 4{,}5$ es mayor que $\mu^{2} = 4$ , así que la varianza queda positiva. Si diera negativa, hay un error de cuentas.

6. Lo que no cambia respecto del bloque discreto. Ninguna fórmula. Solo se reemplazan dos sumas por dos integrales.

Respuesta: $V(X) = 0{,}5$ y $\sigma = 0{,}7071$ mm

7. Una variable continua tiene $E(X) = 4$ y $V(X) = 2$ . Se define $Y = 2X + 25$ . Calculá la esperanza, la varianza y el desvío de $Y$ .

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1. Usamos las propiedades de la transformación lineal. $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$ y $V(aX + b) = a^{2} \cdot V(X)$ . Valen igual para continuas y discretas.

2. Calculamos la esperanza. $E(Y) = 2 \cdot 4 + 25 = 33$

3. Calculamos la varianza. $V(Y) = 2^{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$

4. Calculamos el desvío. $\sigma_Y = \sqrt{8} \approx 2{,}8284 = 2 \cdot \sigma_X$

5. Por qué la constante no afecta a la dispersión. Sumar $25$ corre todos los valores y también la media, así que las distancias a la media quedan iguales. Lo único que cambió es dónde está el centro.

6. Un aviso. Estas propiedades valen para transformaciones lineales. Con una no lineal hay que volver a integrar.

Respuesta: $E(Y) = 33$ , $V(Y) = 8$ y $\sigma_Y = 2{,}8284$

8. Una variable continua que modela la duración de una llamada, en minutos tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{4}$ en $[0; 4]$ , con $E(X) = 2$ y $V(X) = 1{,}3333$ . Calculá el desvío estándar y la probabilidad de que $X$ caiga a menos de un desvío de la media.

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1. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{1{,}3333} \approx 1{,}1547$ minutos, en las mismas unidades que la variable.

2. Armamos el intervalo central. $[\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [0{,}8453; 3{,}1547]$

3. Recortamos por el soporte. La variable solo toma valores en $[0; 4]$ , así que el intervalo efectivo es $[0{,}8453; 3{,}1547]$ .

4. Calculamos la probabilidad con la acumulada. $F(3{,}1547) - F(0{,}8453) = 0{,}7887 - 0{,}2113 = 0{,}5774$

5. Interpretamos. Es la proporción de la probabilidad que cae cerca del centro. En una distribución muy dispersa ese número es chico, y en una concentrada es grande.

6. Por qué se informa el desvío y no la varianza. La varianza está en minutos al cuadrado y no se puede comparar con los valores de la variable. El desvío sí, y por eso se lo usa para armar intervalos.

Respuesta: $\sigma = 1{,}1547$ y la probabilidad del intervalo central es $0{,}5774$

9. Una variable continua que modela la duración de una llamada, en minutos tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{3}$ en $[0; 3]$ y $0$ fuera. Calculá su esperanza.

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1. Escribimos la definición. $E(X) = \displaystyle\int x \cdot f(x) \, dx$ sobre todo el rango donde la densidad no es nula. Es la misma idea del caso discreto, con una integral en lugar de una suma.

2. Planteamos la integral. $E(X) = \displaystyle\int_{0}^{3} x \cdot \dfrac{1}{3} \, dx$

3. Calculamos la primitiva. $\left[\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}$

4. Evaluamos. $E(X) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ minutos.

5. Verificamos que el resultado tenga sentido. $1{,}5$ cae dentro del intervalo $[0; 3]$ , como tiene que pasar: la esperanza es un punto de equilibrio y no puede quedar fuera del soporte. Coincide con el punto medio porque la densidad es constante.

Respuesta: $E(X) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ minutos

10. Una variable continua tiene densidad $f(x) = \dfrac{3}{64} \, x^{2}$ en $[0; 4]$ y $0$ fuera, con $E(X) = 3$ . Calculá su varianza y su desvío estándar.

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1. Elegimos la fórmula práctica. $V(X) = E(X^{2}) - \mu^{2}$ . Es la misma que en el caso discreto, y ahorra restar la media adentro de la integral.

2. Planteamos la integral del momento de segundo orden. $E(X^{2}) = \displaystyle\int_{0}^{4} x^{2} \cdot \dfrac{3}{64} \, x^{2} \, dx = \left[\dfrac{3}{64} \cdot \dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{4} = \dfrac{48}{5} = 9{,}6$

3. Restamos el cuadrado de la esperanza. $V(X) = 9{,}6 - \left(3\right)^{2} = 9{,}6 - 9 = 0{,}6$

4. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{0{,}6} \approx 0{,}7746$ .

5. Verificamos el sentido. $E(X^{2}) = 9{,}6$ es mayor que $\mu^{2} = 9$ , así que la varianza queda positiva. Si diera negativa, hay un error de cuentas.

6. Lo que no cambia respecto del bloque discreto. Ninguna fórmula. Solo se reemplazan dos sumas por dos integrales.

Respuesta: $V(X) = 0{,}6$ y $\sigma = 0{,}7746$

11. Una variable continua tiene $E(X) = 4$ y $V(X) = 2$ . Se define $Y = 5X - 4$ . Calculá la esperanza, la varianza y el desvío de $Y$ .

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1. Usamos las propiedades de la transformación lineal. $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$ y $V(aX + b) = a^{2} \cdot V(X)$ . Valen igual para continuas y discretas.

2. Calculamos la esperanza. $E(Y) = 5 \cdot 4 - 4 = 16$

3. Calculamos la varianza. $V(Y) = 5^{2} \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50$

4. Calculamos el desvío. $\sigma_Y = \sqrt{50} \approx 7{,}0711 = 5 \cdot \sigma_X$

5. Por qué la constante no afecta a la dispersión. Sumar $-4$ corre todos los valores y también la media, así que las distancias a la media quedan iguales. Lo único que cambió es dónde está el centro.

6. Un aviso. Estas propiedades valen para transformaciones lineales. Con una no lineal hay que volver a integrar.

Respuesta: $E(Y) = 16$ , $V(Y) = 50$ y $\sigma_Y = 7{,}0711$

12. Una variable continua que modela el tiempo de atención, en horas tiene densidad $f(x) = \dfrac{1}{5}$ en $[0; 5]$ , con $E(X) = \dfrac{5}{2}$ y $V(X) = 2{,}0833$ . Calculá el desvío estándar y la probabilidad de que $X$ caiga a menos de un desvío de la media.

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1. Calculamos el desvío. $\sigma = \sqrt{2{,}0833} \approx 1{,}4434$ horas, en las mismas unidades que la variable.

2. Armamos el intervalo central. $[\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [1{,}0566; 3{,}9434]$

3. Recortamos por el soporte. La variable solo toma valores en $[0; 5]$ , así que el intervalo efectivo es $[1{,}0566; 3{,}9434]$ .

4. Calculamos la probabilidad con la acumulada. $F(3{,}9434) - F(1{,}0566) = 0{,}7887 - 0{,}2113 = 0{,}5774$

5. Interpretamos. Es la proporción de la probabilidad que cae cerca del centro. En una distribución muy dispersa ese número es chico, y en una concentrada es grande.

6. Por qué se informa el desvío y no la varianza. La varianza está en horas al cuadrado y no se puede comparar con los valores de la variable. El desvío sí, y por eso se lo usa para armar intervalos.

Respuesta: $\sigma = 1{,}4434$ y la probabilidad del intervalo central es $0{,}5774$