Ejercicios: La uniforme y la exponencial

1. El tiempo de espera de un colectivo se reparte de forma uniforme entre $10$ y $35$ minutos. Calculá la probabilidad de esperar entre $18$ y $34$ minutos, la espera esperada y el desvío.

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1. Escribimos la densidad. Es constante: $f(x) = \dfrac{1}{35 - 10} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$ en $[10; 35]$ . La altura es el inverso del ancho, para que el área valga uno.

2. Calculamos la probabilidad como proporción. Con densidad constante no hace falta integrar: la probabilidad es la proporción que el tramo representa del total. $P(18 \leq X \leq 34) = \dfrac{34 - 18}{35 - 10} = \dfrac{16}{25} = 0{,}64$

3. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{10 + 35}{2} = 22{,}5$ minutos, que es el punto medio porque la distribución es simétrica.

4. Calculamos la varianza y el desvío. $V(X) = \dfrac{(b - a)^{2}}{12} = \dfrac{625}{12} \approx 52{,}0833$ y $\sigma = 7{,}2169$ minutos.

5. El chequeo rápido. En una uniforme, cualquier probabilidad es un cociente de longitudes. Si el resultado no queda entre cero y uno, el intervalo se salió del soporte.

Respuesta: $P = 0{,}64$ , $E(X) = 22{,}5$ minutos y $\sigma = 7{,}2169$ minutos

2. El tiempo entre dos llegadas consecutivas a un local sigue una distribución exponencial con una media de $17$ minutos. Calculá la probabilidad de esperar más de $14$ minutos y la de esperar a lo sumo $14$ .

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1. Hallamos el parámetro. En una exponencial $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ , así que $\lambda = \dfrac{1}{17} \approx 0{,}0588$ llegadas por minuto.

2. Escribimos la cola derecha. $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ : es la fórmula más útil de la exponencial y evita integrar.

3. Calculamos. $P(X > 14) = e^{-0{,}0588 \cdot 14} = e^{-0{,}8235} = 0{,}4389$

4. Calculamos la otra por complemento. $P(X \leq 14) = 1 - 0{,}4389 = 0{,}5611$ , que es el valor de la acumulada en $14$ .

5. Verificamos con la media. La media es $17$ minutos. Como el tiempo pedido es menor que la media, la probabilidad de superarlo es alta.

6. Qué modela esta distribución. El tiempo entre eventos que ocurren a tasa constante. Es la contracara continua de la Poisson: si los eventos por hora son Poisson, el tiempo entre eventos es exponencial.

Respuesta: $P(X > 14) = 0{,}4389$ y $P(X \leq 14) = 0{,}5611$

3. La duración de un componente sigue una exponencial de media $15$ meses. Un componente ya lleva $11$ meses funcionando. Calculá la probabilidad de que dure al menos $3$ meses más y compará con la de un componente nuevo.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(X > 11 + 3 \mid X > 11)$ : que supere $14$ meses, sabiendo que ya superó $11$ .

2. Aplicamos la definición de condicional. $P(X > 14 \mid X > 11) = \dfrac{P(X > 14)}{P(X > 11)}$ , porque el suceso $X > 14$ está contenido en $X > 11$ .

3. Reemplazamos con la cola exponencial. $\dfrac{e^{-\lambda \cdot 14}}{e^{-\lambda \cdot 11}} = e^{-\lambda \cdot 3}$ : la parte que corresponde a los $11$ meses ya vividos se cancela.

4. Calculamos. $e^{-0{,}0667 \cdot 3} = 0{,}8187$

5. Comparamos con el componente nuevo. Para uno nuevo, $P(X > 3) = 0{,}8187$ : exactamente el mismo número.

6. Nombramos la propiedad. La exponencial no tiene memoria: la probabilidad de durar un tiempo más no depende de lo que ya duró. Es una propiedad del modelo, no de todos los componentes reales, y por eso la exponencial no sirve cuando hay desgaste.

Respuesta: $P = 0{,}8187$ , igual que para un componente nuevo: la exponencial no tiene memoria

4. Decidí si corresponde modelar la situación con una uniforme o con una exponencial, y calculá la esperanza: Un colectivo pasa exactamente cada $12$ minutos y una persona llega a la parada en un momento cualquiera, sin saber los horarios. Se mide cuánto espera.

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1. Vemos qué distingue a los dos modelos. La uniforme reparte la misma densidad en todo un intervalo acotado. La exponencial modela tiempos de espera hasta un evento, con densidad decreciente y sin límite superior.

2. Miramos la forma de la variable del enunciado. Acá todos los instantes de llegada dentro del ciclo son igual de probables, así que la espera se reparte pareja entre $0$ y $12$ minutos.

3. Elegimos. Corresponde una uniforme.

4. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{0 + 12}{2} = 6$ minutos

5. El chequeo que confirma la elección. Si la variable tiene un máximo posible claro, no puede ser exponencial, porque la exponencial asigna probabilidad positiva a cualquier valor por grande que sea.

Respuesta: Corresponde una uniforme, con $E(X) = \dfrac{0 + 12}{2} = 6$ minutos

5. El tiempo de espera de un colectivo se reparte de forma uniforme entre $25$ y $50$ minutos. Calculá la probabilidad de esperar entre $42$ y $46$ minutos, la espera esperada y el desvío.

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1. Escribimos la densidad. Es constante: $f(x) = \dfrac{1}{50 - 25} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$ en $[25; 50]$ . La altura es el inverso del ancho, para que el área valga uno.

2. Calculamos la probabilidad como proporción. Con densidad constante no hace falta integrar: la probabilidad es la proporción que el tramo representa del total. $P(42 \leq X \leq 46) = \dfrac{46 - 42}{50 - 25} = \dfrac{4}{25} = 0{,}16$

3. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{25 + 50}{2} = 37{,}5$ minutos, que es el punto medio porque la distribución es simétrica.

4. Calculamos la varianza y el desvío. $V(X) = \dfrac{(b - a)^{2}}{12} = \dfrac{625}{12} \approx 52{,}0833$ y $\sigma = 7{,}2169$ minutos.

5. El chequeo rápido. En una uniforme, cualquier probabilidad es un cociente de longitudes. Si el resultado no queda entre cero y uno, el intervalo se salió del soporte.

Respuesta: $P = 0{,}16$ , $E(X) = 37{,}5$ minutos y $\sigma = 7{,}2169$ minutos

6. El tiempo entre dos llegadas consecutivas a un local sigue una distribución exponencial con una media de $12$ minutos. Calculá la probabilidad de esperar más de $4$ minutos y la de esperar a lo sumo $4$ .

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1. Hallamos el parámetro. En una exponencial $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ , así que $\lambda = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}0833$ llegadas por minuto.

2. Escribimos la cola derecha. $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ : es la fórmula más útil de la exponencial y evita integrar.

3. Calculamos. $P(X > 4) = e^{-0{,}0833 \cdot 4} = e^{-0{,}3333} = 0{,}7165$

4. Calculamos la otra por complemento. $P(X \leq 4) = 1 - 0{,}7165 = 0{,}2835$ , que es el valor de la acumulada en $4$ .

5. Verificamos con la media. La media es $12$ minutos. Como el tiempo pedido es menor que la media, la probabilidad de superarlo es alta.

6. Qué modela esta distribución. El tiempo entre eventos que ocurren a tasa constante. Es la contracara continua de la Poisson: si los eventos por hora son Poisson, el tiempo entre eventos es exponencial.

Respuesta: $P(X > 4) = 0{,}7165$ y $P(X \leq 4) = 0{,}2835$

7. La duración de un componente sigue una exponencial de media $7$ meses. Un componente ya lleva $6$ meses funcionando. Calculá la probabilidad de que dure al menos $5$ meses más y compará con la de un componente nuevo.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(X > 6 + 5 \mid X > 6)$ : que supere $11$ meses, sabiendo que ya superó $6$ .

2. Aplicamos la definición de condicional. $P(X > 11 \mid X > 6) = \dfrac{P(X > 11)}{P(X > 6)}$ , porque el suceso $X > 11$ está contenido en $X > 6$ .

3. Reemplazamos con la cola exponencial. $\dfrac{e^{-\lambda \cdot 11}}{e^{-\lambda \cdot 6}} = e^{-\lambda \cdot 5}$ : la parte que corresponde a los $6$ meses ya vividos se cancela.

4. Calculamos. $e^{-0{,}1429 \cdot 5} = 0{,}4895$

5. Comparamos con el componente nuevo. Para uno nuevo, $P(X > 5) = 0{,}4895$ : exactamente el mismo número.

6. Nombramos la propiedad. La exponencial no tiene memoria: la probabilidad de durar un tiempo más no depende de lo que ya duró. Es una propiedad del modelo, no de todos los componentes reales, y por eso la exponencial no sirve cuando hay desgaste.

Respuesta: $P = 0{,}4895$ , igual que para un componente nuevo: la exponencial no tiene memoria

8. Decidí si corresponde modelar la situación con una uniforme o con una exponencial, y calculá la esperanza: A un local entran clientes a una tasa constante de $5$ por hora y se mide el tiempo entre dos entradas consecutivas.

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1. Vemos qué distingue a los dos modelos. La uniforme reparte la misma densidad en todo un intervalo acotado. La exponencial modela tiempos de espera hasta un evento, con densidad decreciente y sin límite superior.

2. Miramos la forma de la variable del enunciado. Acá es el tiempo entre eventos que ocurren a tasa constante, y esos tiempos se concentran cerca del cero y tienen cola larga a la derecha.

3. Elegimos. Corresponde una exponencial.

4. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{1}{5}$ de hora, o sea $12$ minutos

5. El chequeo que confirma la elección. Si la variable tiene un máximo posible claro, no puede ser exponencial, porque la exponencial asigna probabilidad positiva a cualquier valor por grande que sea.

Respuesta: Corresponde una exponencial, con $E(X) = \dfrac{1}{5}$ de hora, o sea $12$ minutos

9. El tiempo de espera de un colectivo se reparte de forma uniforme entre $25$ y $45$ minutos. Calculá la probabilidad de esperar entre $35$ y $39$ minutos, la espera esperada y el desvío.

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1. Escribimos la densidad. Es constante: $f(x) = \dfrac{1}{45 - 25} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$ en $[25; 45]$ . La altura es el inverso del ancho, para que el área valga uno.

2. Calculamos la probabilidad como proporción. Con densidad constante no hace falta integrar: la probabilidad es la proporción que el tramo representa del total. $P(35 \leq X \leq 39) = \dfrac{39 - 35}{45 - 25} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2$

3. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{25 + 45}{2} = 35$ minutos, que es el punto medio porque la distribución es simétrica.

4. Calculamos la varianza y el desvío. $V(X) = \dfrac{(b - a)^{2}}{12} = \dfrac{400}{12} \approx 33{,}3333$ y $\sigma = 5{,}7735$ minutos.

5. El chequeo rápido. En una uniforme, cualquier probabilidad es un cociente de longitudes. Si el resultado no queda entre cero y uno, el intervalo se salió del soporte.

Respuesta: $P = 0{,}2$ , $E(X) = 35$ minutos y $\sigma = 5{,}7735$ minutos

10. El tiempo entre dos llegadas consecutivas a un local sigue una distribución exponencial con una media de $9$ minutos. Calculá la probabilidad de esperar más de $2$ minutos y la de esperar a lo sumo $2$ .

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1. Hallamos el parámetro. En una exponencial $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ , así que $\lambda = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}1111$ llegadas por minuto.

2. Escribimos la cola derecha. $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ : es la fórmula más útil de la exponencial y evita integrar.

3. Calculamos. $P(X > 2) = e^{-0{,}1111 \cdot 2} = e^{-0{,}2222} = 0{,}8007$

4. Calculamos la otra por complemento. $P(X \leq 2) = 1 - 0{,}8007 = 0{,}1993$ , que es el valor de la acumulada en $2$ .

5. Verificamos con la media. La media es $9$ minutos. Como el tiempo pedido es menor que la media, la probabilidad de superarlo es alta.

6. Qué modela esta distribución. El tiempo entre eventos que ocurren a tasa constante. Es la contracara continua de la Poisson: si los eventos por hora son Poisson, el tiempo entre eventos es exponencial.

Respuesta: $P(X > 2) = 0{,}8007$ y $P(X \leq 2) = 0{,}1993$

11. La duración de un componente sigue una exponencial de media $4$ meses. Un componente ya lleva $10$ meses funcionando. Calculá la probabilidad de que dure al menos $2$ meses más y compará con la de un componente nuevo.

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1. Traducimos la pregunta. Se pide $P(X > 10 + 2 \mid X > 10)$ : que supere $12$ meses, sabiendo que ya superó $10$ .

2. Aplicamos la definición de condicional. $P(X > 12 \mid X > 10) = \dfrac{P(X > 12)}{P(X > 10)}$ , porque el suceso $X > 12$ está contenido en $X > 10$ .

3. Reemplazamos con la cola exponencial. $\dfrac{e^{-\lambda \cdot 12}}{e^{-\lambda \cdot 10}} = e^{-\lambda \cdot 2}$ : la parte que corresponde a los $10$ meses ya vividos se cancela.

4. Calculamos. $e^{-0{,}25 \cdot 2} = 0{,}6065$

5. Comparamos con el componente nuevo. Para uno nuevo, $P(X > 2) = 0{,}6065$ : exactamente el mismo número.

6. Nombramos la propiedad. La exponencial no tiene memoria: la probabilidad de durar un tiempo más no depende de lo que ya duró. Es una propiedad del modelo, no de todos los componentes reales, y por eso la exponencial no sirve cuando hay desgaste.

Respuesta: $P = 0{,}6065$ , igual que para un componente nuevo: la exponencial no tiene memoria

12. Decidí si corresponde modelar la situación con una uniforme o con una exponencial, y calculá la esperanza: Una máquina corta varillas cuyo largo cae con la misma probabilidad en cualquier punto entre $98$ y $102$ milímetros.

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1. Vemos qué distingue a los dos modelos. La uniforme reparte la misma densidad en todo un intervalo acotado. La exponencial modela tiempos de espera hasta un evento, con densidad decreciente y sin límite superior.

2. Miramos la forma de la variable del enunciado. Acá el enunciado dice explícitamente que todos los valores del intervalo son igual de probables.

3. Elegimos. Corresponde una uniforme.

4. Calculamos la esperanza. $E(X) = \dfrac{98 + 102}{2} = 100$ mm

5. El chequeo que confirma la elección. Si la variable tiene un máximo posible claro, no puede ser exponencial, porque la exponencial asigna probabilidad positiva a cualquier valor por grande que sea.

Respuesta: Corresponde una uniforme, con $E(X) = \dfrac{98 + 102}{2} = 100$ mm