Ejercicios: Distribución conjunta

1. Dos variables discretas tienen distribución conjunta $p(0; 1) = 0{,}1071$ · $p(0; 3) = 0{,}1429$ · $p(3; 1) = 0{,}25$ · $p(3; 2) = 0{,}0714$ · $p(3; 3) = 0{,}2857$ , y falta el valor de $p(0; 2)$ . Hallalo y verificá que la tabla sea válida.

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1. Escribimos la condición de una conjunta. Todas las probabilidades no negativas, y la suma de la tabla completa igual a $1$ .

2. Sumamos las celdas conocidas. $0{,}1071 + 0{,}1429 + 0{,}25 + 0{,}0714 + 0{,}2857 = 0{,}8571$

3. Despejamos la que falta. $p(0; 2) = 1 - 0{,}8571 = 0{,}1429$

4. Verificamos que sea admisible. $0{,}1429$ queda entre $0$ y $1$ , así que la tabla es válida. Si hubiera dado negativa, los datos serían inconsistentes.

5. Qué es cada celda. $p(0; 2)$ es la probabilidad de que las dos cosas pasen a la vez: $P(X = 0 \text{ e } Y = 2)$ . Es una intersección, no una condicional.

Respuesta: $p(0; 2) = 0{,}1429$

2. Dos variables discretas tienen conjunta $p(1; 1) = 0{,}05$ · $p(1; 2) = 0{,}2$ · $p(1; 4) = 0{,}4$ · $p(2; 1) = 0{,}1$ · $p(2; 2) = 0{,}1$ · $p(2; 4) = 0{,}15$ . Calculá la probabilidad de que $X + Y = 3$ .

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1. Verificamos la tabla. Las seis celdas suman $1$ , así que es una conjunta válida.

2. Identificamos las celdas que cumplen la condición. $(1; 2)$ · $(2; 1)$

3. Sumamos sus probabilidades. $0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$

4. Verificamos el sentido. El resultado $0{,}3$ queda entre $0$ y $1$ , y no supera la suma total de la tabla.

5. Cómo se resuelve cualquier pregunta de este tipo. Todo suceso definido sobre las dos variables es un conjunto de celdas. Se identifican las celdas y se suman: no hay otra cuenta.

Respuesta: $P(X + Y = 3) = 0{,}3$

3. Dos variables discretas tienen conjunta $p(0; 0) = 0{,}1613$ · $p(0; 1) = 0{,}2258$ · $p(0; 2) = 0{,}2258$ · $p(2; 0) = 0{,}129$ · $p(2; 1) = 0{,}2258$ · $p(2; 2) = 0{,}0323$ . Calculá $E(XY)$ .

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1. Escribimos la definición. $E(XY) = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot p(x; y)$ : cada producto de valores, pesado por la probabilidad conjunta.

2. Calculamos los productos celda por celda. $0 \cdot 0 \cdot 0{,}1613 = 0$ · $0 \cdot 1 \cdot 0{,}2258 = 0$ · $0 \cdot 2 \cdot 0{,}2258 = 0$ · $2 \cdot 0 \cdot 0{,}129 = 0$ · $2 \cdot 1 \cdot 0{,}2258 = 0{,}4516$ · $2 \cdot 2 \cdot 0{,}0323 \approx 0{,}129$

3. Sumamos. $E(XY) = 0{,}5806$

4. Por qué hace falta la conjunta. Para calcular $E(XY)$ no alcanza con conocer cada variable por separado: hay que saber cómo se combinan, y esa información está solo en la tabla conjunta.

5. Para qué se usa este número. Es el ingrediente principal de la covarianza, que se calcula como $E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$ .

Respuesta: $E(XY) = 0{,}5806$

4. Dos variables discretas tienen conjunta $p(3; 1) = 0{,}1944$ · $p(3; 2) = 0{,}1389$ · $p(3; 3) = 0{,}1944$ · $p(4; 1) = 0{,}1667$ · $p(4; 2) = 0{,}1667$ · $p(4; 3) = 0{,}1389$ . Calculá la distribución condicional de $Y$ dado que $X = 3$ .

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1. Escribimos la definición. $p(y \mid x) = \dfrac{p(x; y)}{p_X(x)}$ : la conjunta dividida por la marginal del condicionante.

2. Calculamos la marginal del condicionante. $p_X(3) = 0{,}1944 + 0{,}1389 + 0{,}1944 \approx 0{,}5278$ . Es la suma de esa fila, y pasa a ser el nuevo total.

3. Dividimos cada celda de la fila. $p(1 \mid 3) = \dfrac{0{,}1944}{0{,}5278} \approx 0{,}3684$ · $p(2 \mid 3) = \dfrac{0{,}1389}{0{,}5278} \approx 0{,}2632$ · $p(3 \mid 3) = \dfrac{0{,}1944}{0{,}5278} \approx 0{,}3684$

4. Verificamos. $0{,}3684 + 0{,}2632 + 0{,}3684 = 1$ : toda distribución condicional tiene que sumar uno.

5. La diferencia con la conjunta. $p(3; 1) = 0{,}1944$ es una probabilidad sobre el total general. $p(1 \mid 3) = 0{,}3684$ es sobre el total de la fila. Confundir cuál es el denominador es el error más común del tema.

Respuesta: $p(1 \mid 3) = 0{,}3684$ · $p(2 \mid 3) = 0{,}2632$ · $p(3 \mid 3) = 0{,}3684$

5. Dos variables discretas tienen distribución conjunta $p(1; 1) = 0{,}0968$ · $p(1; 2) = 0{,}1613$ · $p(3; 1) = 0{,}1935$ · $p(3; 2) = 0{,}0968$ · $p(3; 3) = 0{,}2258$ , y falta el valor de $p(1; 3)$ . Hallalo y verificá que la tabla sea válida.

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1. Escribimos la condición de una conjunta. Todas las probabilidades no negativas, y la suma de la tabla completa igual a $1$ .

2. Sumamos las celdas conocidas. $0{,}0968 + 0{,}1613 + 0{,}1935 + 0{,}0968 + 0{,}2258 = 0{,}7742$

3. Despejamos la que falta. $p(1; 3) = 1 - 0{,}7742 = 0{,}2258$

4. Verificamos que sea admisible. $0{,}2258$ queda entre $0$ y $1$ , así que la tabla es válida. Si hubiera dado negativa, los datos serían inconsistentes.

5. Qué es cada celda. $p(1; 3)$ es la probabilidad de que las dos cosas pasen a la vez: $P(X = 1 \text{ e } Y = 3)$ . Es una intersección, no una condicional.

Respuesta: $p(1; 3) = 0{,}2258$

6. Dos variables discretas tienen conjunta $p(1; 1) = 0{,}1818$ · $p(1; 2) = 0{,}0909$ · $p(1; 3) = 0{,}2727$ · $p(2; 1) = 0{,}0455$ · $p(2; 2) = 0{,}0455$ · $p(2; 3) = 0{,}3636$ . Calculá la probabilidad de que $X = Y$ .

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1. Verificamos la tabla. Las seis celdas suman $1$ , así que es una conjunta válida.

2. Identificamos las celdas que cumplen la condición. $(1; 1)$ · $(2; 2)$

3. Sumamos sus probabilidades. $0{,}1818 + 0{,}0455 = 0{,}2273$

4. Verificamos el sentido. El resultado $0{,}2273$ queda entre $0$ y $1$ , y no supera la suma total de la tabla.

5. Cómo se resuelve cualquier pregunta de este tipo. Todo suceso definido sobre las dos variables es un conjunto de celdas. Se identifican las celdas y se suman: no hay otra cuenta.

Respuesta: $P(X = Y) = 0{,}2273$

7. Dos variables discretas tienen conjunta $p(1; 0) = 0{,}0476$ · $p(1; 1) = 0{,}2857$ · $p(1; 4) = 0{,}2857$ · $p(3; 0) = 0{,}0952$ · $p(3; 1) = 0{,}1905$ · $p(3; 4) = 0{,}0952$ . Calculá $E(XY)$ .

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1. Escribimos la definición. $E(XY) = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot p(x; y)$ : cada producto de valores, pesado por la probabilidad conjunta.

2. Calculamos los productos celda por celda. $1 \cdot 0 \cdot 0{,}0476 = 0$ · $1 \cdot 1 \cdot 0{,}2857 = 0{,}2857$ · $1 \cdot 4 \cdot 0{,}2857 \approx 1{,}1429$ · $3 \cdot 0 \cdot 0{,}0952 = 0$ · $3 \cdot 1 \cdot 0{,}1905 \approx 0{,}5714$ · $3 \cdot 4 \cdot 0{,}0952 \approx 1{,}1429$

3. Sumamos. $E(XY) = 3{,}1429$

4. Por qué hace falta la conjunta. Para calcular $E(XY)$ no alcanza con conocer cada variable por separado: hay que saber cómo se combinan, y esa información está solo en la tabla conjunta.

5. Para qué se usa este número. Es el ingrediente principal de la covarianza, que se calcula como $E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$ .

Respuesta: $E(XY) = 3{,}1429$

8. Dos variables discretas tienen conjunta $p(2; 1) = 0{,}0909$ · $p(2; 2) = 0{,}2273$ · $p(2; 3) = 0{,}0455$ · $p(3; 1) = 0{,}3636$ · $p(3; 2) = 0{,}0455$ · $p(3; 3) = 0{,}2273$ . Calculá la distribución condicional de $Y$ dado que $X = 3$ .

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1. Escribimos la definición. $p(y \mid x) = \dfrac{p(x; y)}{p_X(x)}$ : la conjunta dividida por la marginal del condicionante.

2. Calculamos la marginal del condicionante. $p_X(3) = 0{,}3636 + 0{,}0455 + 0{,}2273 = 0{,}6364$ . Es la suma de esa fila, y pasa a ser el nuevo total.

3. Dividimos cada celda de la fila. $p(1 \mid 3) = \dfrac{0{,}3636}{0{,}6364} \approx 0{,}5714$ · $p(2 \mid 3) = \dfrac{0{,}0455}{0{,}6364} \approx 0{,}0714$ · $p(3 \mid 3) = \dfrac{0{,}2273}{0{,}6364} \approx 0{,}3571$

4. Verificamos. $0{,}5714 + 0{,}0714 + 0{,}3571 \approx 1$ : toda distribución condicional tiene que sumar uno.

5. La diferencia con la conjunta. $p(3; 1) = 0{,}3636$ es una probabilidad sobre el total general. $p(1 \mid 3) = 0{,}5714$ es sobre el total de la fila. Confundir cuál es el denominador es el error más común del tema.

Respuesta: $p(1 \mid 3) = 0{,}5714$ · $p(2 \mid 3) = 0{,}0714$ · $p(3 \mid 3) = 0{,}3571$

9. Dos variables discretas tienen distribución conjunta $p(1; 1) = 0{,}2381$ · $p(1; 2) = 0{,}1905$ · $p(1; 3) = 0{,}1905$ · $p(3; 1) = 0{,}0476$ · $p(3; 3) = 0{,}2381$ , y falta el valor de $p(3; 2)$ . Hallalo y verificá que la tabla sea válida.

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1. Escribimos la condición de una conjunta. Todas las probabilidades no negativas, y la suma de la tabla completa igual a $1$ .

2. Sumamos las celdas conocidas. $0{,}2381 + 0{,}1905 + 0{,}1905 + 0{,}0476 + 0{,}2381 = 0{,}9048$

3. Despejamos la que falta. $p(3; 2) = 1 - 0{,}9048 = 0{,}0952$

4. Verificamos que sea admisible. $0{,}0952$ queda entre $0$ y $1$ , así que la tabla es válida. Si hubiera dado negativa, los datos serían inconsistentes.

5. Qué es cada celda. $p(3; 2)$ es la probabilidad de que las dos cosas pasen a la vez: $P(X = 3 \text{ e } Y = 2)$ . Es una intersección, no una condicional.

Respuesta: $p(3; 2) = 0{,}0952$

10. Dos variables discretas tienen conjunta $p(3; 0) = 0{,}2$ · $p(3; 3) = 0{,}3$ · $p(3; 4) = 0{,}05$ · $p(4; 0) = 0{,}15$ · $p(4; 3) = 0{,}15$ · $p(4; 4) = 0{,}15$ . Calculá la probabilidad de que $X > Y$ .

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1. Verificamos la tabla. Las seis celdas suman $1$ , así que es una conjunta válida.

2. Identificamos las celdas que cumplen la condición. $(3; 0)$ · $(4; 0)$ · $(4; 3)$

3. Sumamos sus probabilidades. $0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}5$

4. Verificamos el sentido. El resultado $0{,}5$ queda entre $0$ y $1$ , y no supera la suma total de la tabla.

5. Cómo se resuelve cualquier pregunta de este tipo. Todo suceso definido sobre las dos variables es un conjunto de celdas. Se identifican las celdas y se suman: no hay otra cuenta.

Respuesta: $P(X > Y) = 0{,}5$

11. Dos variables discretas tienen conjunta $p(0; 0) = 0{,}2143$ · $p(0; 1) = 0{,}0357$ · $p(0; 4) = 0{,}25$ · $p(2; 0) = 0{,}2143$ · $p(2; 1) = 0{,}2143$ · $p(2; 4) = 0{,}0714$ . Calculá $E(XY)$ .

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1. Escribimos la definición. $E(XY) = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot p(x; y)$ : cada producto de valores, pesado por la probabilidad conjunta.

2. Calculamos los productos celda por celda. $0 \cdot 0 \cdot 0{,}2143 = 0$ · $0 \cdot 1 \cdot 0{,}0357 = 0$ · $0 \cdot 4 \cdot 0{,}25 = 0$ · $2 \cdot 0 \cdot 0{,}2143 = 0$ · $2 \cdot 1 \cdot 0{,}2143 = 0{,}4286$ · $2 \cdot 4 \cdot 0{,}0714 \approx 0{,}5714$

3. Sumamos. $E(XY) = 1$

4. Por qué hace falta la conjunta. Para calcular $E(XY)$ no alcanza con conocer cada variable por separado: hay que saber cómo se combinan, y esa información está solo en la tabla conjunta.

5. Para qué se usa este número. Es el ingrediente principal de la covarianza, que se calcula como $E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$ .

Respuesta: $E(XY) = 1$

12. Dos variables discretas tienen conjunta $p(0; 0) = 0{,}1786$ · $p(0; 1) = 0{,}1786$ · $p(0; 2) = 0{,}0357$ · $p(1; 0) = 0{,}25$ · $p(1; 1) = 0{,}25$ · $p(1; 2) = 0{,}1071$ . Calculá la distribución condicional de $Y$ dado que $X = 0$ .

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1. Escribimos la definición. $p(y \mid x) = \dfrac{p(x; y)}{p_X(x)}$ : la conjunta dividida por la marginal del condicionante.

2. Calculamos la marginal del condicionante. $p_X(0) = 0{,}1786 + 0{,}1786 + 0{,}0357 = 0{,}3929$ . Es la suma de esa fila, y pasa a ser el nuevo total.

3. Dividimos cada celda de la fila. $p(0 \mid 0) = \dfrac{0{,}1786}{0{,}3929} \approx 0{,}4545$ · $p(1 \mid 0) = \dfrac{0{,}1786}{0{,}3929} \approx 0{,}4545$ · $p(2 \mid 0) = \dfrac{0{,}0357}{0{,}3929} \approx 0{,}0909$

4. Verificamos. $0{,}4545 + 0{,}4545 + 0{,}0909 \approx 1$ : toda distribución condicional tiene que sumar uno.

5. La diferencia con la conjunta. $p(0; 0) = 0{,}1786$ es una probabilidad sobre el total general. $p(0 \mid 0) = 0{,}4545$ es sobre el total de la fila. Confundir cuál es el denominador es el error más común del tema.

Respuesta: $p(0 \mid 0) = 0{,}4545$ · $p(1 \mid 0) = 0{,}4545$ · $p(2 \mid 0) = 0{,}0909$