Distribución conjunta

Cuando se observan dos variables a la vez sobre el mismo experimento, hace falta describir cómo se comportan juntas.

En el caso discreto eso se hace con una tabla de doble entrada, donde cada casillero da la probabilidad de que las dos variables tomen ciertos valores simultáneamente.

La condición sigue siendo la misma: todas las probabilidades no negativas y la suma de la tabla completa igual a uno.

En el caso continuo la conjunta se describe con una densidad de dos variables, y las probabilidades se calculan con integrales dobles sobre la región que interesa.

A partir de la conjunta se puede calcular todo lo demás: las distribuciones de cada variable por separado, las condicionales, y las medidas de asociación.

Un punto conceptual importante: la conjunta contiene más información que las dos distribuciones por separado. Conocer cómo se comporta cada variable sola no alcanza para saber cómo se comportan juntas.

Dos situaciones distintas pueden tener exactamente las mismas distribuciones individuales y conjuntas completamente diferentes.

p(x, y) = P(X = x e Y = y)

\sum p(x, y) = 1

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da una tabla con dos variables o una densidad de dos variables. Verificá que la suma total o la integral doble den uno.

Ejemplo 1

Una conjunta tiene las probabilidades $0{,}10, 0{,}20, 0{,}10$ en la primera fila $y 0{,}15, 0{,}25, 0{,}20$ en la segunda. Verificar que sea una distribución.

Sumamos la primera fila. $0{,}10 + 0{,}20 + 0{,}10 = 0{,}40$ .
Sumamos la segunda. $0{,}15 + 0{,}25 + 0{,}20 = 0{,}60$ .
Controlamos el total. $0{,}40 + 0{,}60 = 1$ , así que la tabla es una distribución conjunta válida.
Respuesta: Sí, las celdas suman $1$

Ejemplo 2

Con la misma tabla, calcular la probabilidad de que X valga $1 y Y$ valga $0, y$ la de que X valga $1$ sin condición sobre Y.

Buscamos la celda del cruce. Es la segunda de la primera fila: $0{,}20$ .
Sumamos la columna entera para la segunda pregunta. $0{,}20 + 0{,}25 = 0{,}45$ .
Comparamos. La conjunta vale $0{,}20$ y la marginal $0{,}45$ : la segunda incluye los dos valores posibles de Y.
Respuesta: $0{,}20$ y $0{,}45$

Error típico

Sumar mal las marginales por sumar en la dirección equivocada. La marginal de X sale de sumar la columna de X sobre todos los valores de Y, no la fila.

Practicar

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